精品解析：2025届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题

2025年高三第一次模拟考试 数学试卷 班级________ 姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部的定义求解. 【详解】因为，所以复数z的虚部为. 故选：B. 2. 集合的真子集个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式，用列举法写出集合即可求解. 【详解】不等式的解为，因为，所以， 所以集合的真子集个数为. 故选：A. 3. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.5 C. 0.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可. 【详解】依题意，，所以，即经验回归方程为， 又当时，，所以样本点的残差为， 故选：B. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 72 B. C. 144 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定的前项和公式，求出，再利用等比数列意义列式求解. 【详解】依题意，，， ，由为等比数列，得， 即，解得或，由，得， 则，所以. 故选：D 5. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】依题意，，，又， 所以，整理得，所以， 所以双曲线E的渐近线方程为，即， 故选：C. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，再结合互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 7. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台中的直角梯形求得棱台的高，利用勾股定理建立外接球半径的方程，求出半径，从而利用公式计算球表面积. 【详解】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为，因为，，所以，. 过作于，易得， 设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线上，，设，则， 设外接球的半径为R，则 ，即，解得，则，所以外接球的表面积为. 故选：B. 8. 已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数周期性将函数化简，再结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得的最小值. 【详解】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3. 若，则，且，又，则无解； 若，则，且，又，则； 若，则，且，又，则无解. 综上，. 所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为， 因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 【答案】AB 【解析】 【分析】根据频数分布分析数据即可. 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确； 选项D：由于，所以D选项不正确. 故选：AB 10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由， 得，不妨令，，， 对于A，由余弦定理得，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，则， ，C正确； 对于D，，， 又，则，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 该“曼哈顿椭圆”的面积为 D. 该“曼哈顿椭圆”的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解. 【详解】设点P的坐标为， 则P，两点的“曼哈顿距离”，，两点的“曼哈顿距离”，则， 易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹， ，作曲线， 根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则，，， 对于A，B，当点与重合时，的周长为， 此时的面积最大为，故A不正确，B正确； 对于C，梯形的面积为，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为，故C正确； 对于D,又， 所以该“曼哈顿椭圆”的周长为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据“曼哈顿距离”的定义，表示出“曼哈顿距离”，根据对称性画出图象求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示以及同角三角函数商的关系计算求解即可； 【详解】依题意 . 故答案为：. 13. 将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________. 【答案】3 【解析】 【分析】阅读题意，再结合合情推理即可得解． 【详解】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小， 所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5； 同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5； 若乙摸出的球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小； 若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3. 故答案为：3. 14. 已知函数满足：，，，若，则________. 【答案】2024 【解析】 【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可. 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故答案为：2024. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对赋值法及不等式的综合应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 当时，，， 则，， 令，.则， 所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，即， 所以函数在上单调递减； 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数只需证即可； （2）设切点为，求出切线方程为，又切线经过点得即，令，利用导数求，只需即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设过点的直线与曲线相切于点， ，则， 则切线方程为，又该切线经过点，所以， 即， 整理得， 即，即， 即，显然当时，不合题意； 则，令，，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以函数在时取得最大值， 且当时，，当时，，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 17. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下：单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001 （2）（i）；（ii）12 【解析】 【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可； (2)（i）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；（ii）写出的表达式，列出不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 （i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，，所以； （ii）依题意，，， 若最大，则， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为12. 18. 如图，在三棱锥中，，D为上一点，，. （1）证明：平面平面ABC； （2）若，，求： （i）三棱锥的体积； （ii）平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在中，，，所以，所以， 又，所以，即， 又因为，，所以平面， 又平面ABC，所以平面平面. （2）（i）1；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）过点P作于，由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算即可求解；（ii）连接，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，所以，则，， 所以在中，， 如图，过点P作于，， 由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离， 所以三棱锥的体积. （ii）如图，连接，则，， 以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，又，，所以， ，，， 设平面PAD的法向量为， 则令，则，，所以， 设平面PBC的法向量为， 则令，则，，所以， 设平面PAD与平面PBC的夹角为，则， 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. 19. 经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点. （1）求r和p的值； （2）若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点； （3）若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 由（1）可知，抛物线的方程为，准线方程为， 设直线，，， 联立，即. 又，则，，， 因为为，的等差中项，所以，即， 又，，代入上式可得 ①， 联立整理得， ，则 代入①，整理得， 即，即， 即， 因为，，则，所以或， 当，即时，直线，即，过点，不合题意； 当时，直线，过定点，符合题意， 综上，直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由在圆上可得r，然后利用切线与圆心切点连线垂直可得切线方程，再把切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得p； （2）设直线，，，将直线方程与准线方程联立可得D点坐标，结合，为，的等差中项，可得与间关系，然后将直线与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，讨论后可得答案； （3）设在第一象限，用两种方式表示，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，据此可得答案. 【小问1详解】 依题意，点在圆上， 则，所以， 又圆心为，设直线l的斜率为k，则，所以， 所以直线l的方程为，即， 又直线l与抛物线也相切，联立，整理得， 则，解得（舍去）或，综上可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据对称性，不妨设在第一象限，则，，， 又，，， 则的面积， 设内切圆的半径为R， 则， 所以， 令，则， 令， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 令，解得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增. 所以函数在处取得最小值， 所以R的最大值为，所以内切圆面积的最大值为. 【点睛】关键点睛：对于直线过定点问题，可设出直线方程，由题目条件找到直线中所涉参数的等量关系；对于较复杂代数式的最值求解，除了常见的恒等变形，基本不等式之外，还可利用导数知识解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三第一次模拟考试 数学试卷 班级________ 姓名________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级，姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 集合的真子集个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.5 C. 0.5 D. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 72 B. C. 144 D. 5. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 面积的最大值为 C. 该“曼哈顿椭圆”的面积为 D. 该“曼哈顿椭圆”的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则________. 13. 将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________. 14. 已知函数满足：，，，若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 16. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 17. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在三棱锥中，，D为上一点，，. （1）证明：平面平面ABC； （2）若，，求： （i）三棱锥的体积； （ii）平面与平面夹角的余弦值. 19. 经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点. （1）求r和p的值； （2）若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点； （3）若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $