第06讲 命题与证明（3大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第06讲 命题与证明 目录 题型归纳 题型01 判断是否是命题 2 题型02 写出命题的题设与结论 6 题型03 判断命题的真假 7 题型04 举反例 10 题型05 写出命题的逆命题 11 题型06 判断是否为互逆命题 14 题型07 命题的证明 19 分层练习 夯实基础 31 能力提升 41 知识点01 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 知识点02 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 知识点03 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 题型01 判断是否是命题 1．（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断是否是命题 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断． 【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意； B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意； D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单． 2．（22-23八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断是否是命题 【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可． 【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意； D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 3.下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【答案】D 【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是． 【解析】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意； C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意； D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键． 4.下列语句中，（    ）是命题． A．在上取一点P，使 B．若，则 C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成． 【解析】解：A、在上取一点P，使；不是命题； B、若，则；是命题； C、a不一定比b大；不是命题； D、同位角不相等，两直线平行吗？不是命题； 故选：B． 【点睛】本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 5.下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【解析】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【难度】0.94 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 题型02 写出命题的题设与结论 1.命题“两点之间线段最短"的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接两点，得到线段； 线段最短 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了． 【解析】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短， 故答案为：连接两点；线段最短 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 2.把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 【答案】如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数 【分析】先分清命题“不能被整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果那么”的形式． 【解析】解：不能被整除的数是奇数写成“如果那么”的形式为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 故答案为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 【点睛】本题考查了把命题写成“如果那么”的形式，正确的找到命题的题设和结论是解题的关键． 3.把命题“等角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角相等 这两个角的补角也相等 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解析】解：题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等， 故答案为：两个角相等，这两个角的补角也相等． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 4.把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两直线平行 同位角相等 【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键． 根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可． 【解析】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等． 故答案为：两条直线平行，同位角相等． 题型03 判断命题的真假 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列命题是真命题的个数为（   ） ①互为补角的两个角都是锐角 ②能够被2整除的数叫做偶数 ③相等的角是对顶角 ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解． 根据补角，对顶角的性质，平行公理和平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、①互为补角的两个角不一定都是锐角，故此说法错误，是假命题； ②能够被2整除的数叫做偶数，故此说法正确，是真命题； ③相等的角不一定是对顶角，故此说法错误，是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故此说法正确，是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此说法错误，是假命题． 综上所述，是真命题的个数为2． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、绝对值的意义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘方，不等式的性质等知识，根据有理数的乘方和绝对值的意义对各选项逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； B、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； C、如果，那么可能等于，如：，则，故选项不符合题意； D、如果，则，正确，故选项符合题意； 故选：D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【难度】0.65 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 4．（2024八年级上·上海·专题练习）“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了命题的定义，真、假命题的定义．命题是判断一件事情的语句，而判断是对事物有所断定的思维形式，一般可以加上“是”或者“不是”．命题有真有假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据命题以及真假命题的定义进行判断． 【详解】“同旁内角互补”，该命题是假命题； 故答案为：假． 题型04 举反例 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了举反例，根据题意可知原命题的反例是满足，但是，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，，但是，故此选项符合题意； B、当时，，故此选项不符合题意； C、当时，，但是，故此选项不符合题意； D、当时，，但是，故此选项不符合题意； 故选：A． 2.能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，举出一个符合命题条件，但是结论相反的例子即为反例． 当a为负数，b为正数或0时，命题不成立，据此逐一判断即可． 【解析】解：A. 当时，，，“若，则”是真命题； B. 当时，，，“若，则”是真命题； C. 当时    ，，，“若，则”是假命题； D. 当时，，，条件不符合 故选：C． 3.要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【解析】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4.“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可． 【解析】解：当时，，， 当时，可以说明“若，则”是一个假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 题型05 写出命题的逆命题 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题、写出命题的逆命题、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可． 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意； B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意； C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意； D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【详解】解：、所有定理都有逆命题，正确，本选项不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，本选项符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，本选项不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，因此原说法正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】本题考查逆命题以及命题的改写，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：由题意，逆命题为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【难度】0.85 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 5．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 题型06 判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 3．如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 【详解】解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 4．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 5．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型07 命题的证明 1．（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、垂线的定义理解、写出命题的题设与结论 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据给出的论断组命题并证明、角平分线的有关计算 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 3．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据给出的论断组命题并证明 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 4.【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据给出的论断组命题并证明、不等式的性质 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 5．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 6.命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 7．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 8.如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据给出的论断组命题并证明、判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【夯实基础】 一、单选题 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．反向延长射线 B．0是自然数 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等 【答案】A 【分析】命题就是判断一件事情的语句．根据定义依次判断即可．本题考查命题的概念，解题的关键知道命题是判断一件事情． 【详解】解：A. 反向延长射线，不是命题；     B. 0是自然数，是命题； C. 相等的角是对顶角，是命题；     D. 同位角相等，是命题． 故选：A 2．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，同时满足条件和结论，故不符合题意； B、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意； C、，，满足条件“两个锐角”，不满足结论“和是锐角”，符合题意； D、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题，根据命题的定义及有关概念逐项判断即可求解，掌握命题的定义及有关概念是解题的关键． 【详解】解：、“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意； 、每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意； 、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意； 、每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．利用命题与定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何定理不一定有逆定理，故A说法错误，不符合题意； B、真命题的逆命题不一定是真命题，故B说法错误，不符合题意； C、任何命题都有逆命题，故C说法正确，符合题意； D、绝对值等于它本身的数是正数或0，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．要证明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是通过反例的方法代入数据进行计算．根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可． 【详解】解：A、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； B、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； C、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； D、，，满足，，不能作为反例，错误，符合题意； 故选D． 6．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题真假，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 利用真假命题的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； B. 同旁内角不一定互补，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； C. 能被4整除的整数，一定能被2整除，命题正确，是真命题，故选项符合题意； D. 互为倒数的两个数和不一定为0，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 7．一个命题是由 两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 8．命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点只能作这条直线的一条平行线；结论正确， 是真命题； 故答案为：真． 9．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 10．命题“同旁内角互补，两直线平行”的结论是 ． 【答案】两直线平行 【分析】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，即条件，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的结论是两直线平行， 故答案为：两直线平行． 三、解答题 11．写出下列命题的条件和结论． (1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (2)绝对值等于3的数是3； (3)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线． 【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补 (2)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3 (3)条件：∠DOE＝2∠EOF；结论：OF是∠DOE的平分线 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论． 【详解】（1）解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截，结论是同旁内角互补； （2）解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3，结论是这个数是3； （3）解：如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线的题设是∠DOE＝2∠EOF，结论是OF是∠DOE的平分线． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果…那么…”的形式；熟练地掌握命题的组成是解题的关键． 12．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 【答案】(1)真命题． (2)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角．（答案不唯一） (3)假命题，反例：，但是．（答案不唯一） (4)假命题，反例：，两个锐角不互余．（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角的概念，绝对值的意义，互余的概念和真假命题的判断，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定求解即可； （2）根据内错角的概念求解即可； （3）根据绝对值的意义求解即可； （4）根据互余的概念求解即可． 【详解】（1）同位角相等，两直线平行，真命题； （2）相等的角是内错角，假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角； （3）如果，那么，假命题，反例：，但是； （4）两个锐角互余，假命题，反例：，两个锐角不互余． 13．如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 14．阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及真假命题，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原命题的题设和结论互换，即可得到逆命题，即可写出题设和结论，根据平行线的判定即可判断真假． 【详解】解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则内错角必相等． 题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．结论：内错角相等．它是真命题． 理由：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则两直线平行，所以内错角相等． 15． 如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义即可证明三种情况． 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论，该命题正确．理由如下： ， ． 平分， ， ； 选择②③作为条件，①作为结论，该命题正确．理由如下： ∵平分， ， ∵，， ∴， ∴； 选择①③作为条件，②作为结论，该命题正确．理由如下： ∵， ， ∵， ， ∴平分． 【能力提升】 一、单选题 1．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 2．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解题关键．根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，则原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，则原命题是假命题； ④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题是真命题； 综上，真命题的个数有1个， 故选：A． 二、填空题 4．“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，利用反证法证明该命题时，我们要假设和至少有一个等于， 故答案为：，与都不为零，和至少有一个等于． 5．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①与②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假． 【详解】一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题； “平行于同一条直线的两条直线可能平行，也可能共线”，命题②是假命题； 相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题； “正数的立方根是正数”，命题④是真命题． 所以是真命题的有1个． 故答案为：1． 6．举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 7．给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 三、解答题 8．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 9．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 10．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 12．如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是真命题，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 命题与证明 目录 题型归纳 题型01 判断是否是命题 2 题型02 写出命题的题设与结论 3 题型03 判断命题的真假 3 题型04 举反例 4 题型05 写出命题的逆命题 4 题型06 判断是否为互逆命题 5 题型07 命题的证明 8 分层练习 夯实基础 13 能力提升 14 知识点01 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 知识点02 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 知识点03 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 题型01 判断是否是命题 1．（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 2．（22-23八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 3.下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 4.下列语句中，（    ）是命题． A．在上取一点P，使 B．若，则 C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？ 5.下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 题型02 写出命题的题设与结论 1.命题“两点之间线段最短"的题设是 ，结论是 ． 2.把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 3.把命题“等角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式为：如果 ，那么 ． 4.把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 题型03 判断命题的真假 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列命题是真命题的个数为（   ） ①互为补角的两个角都是锐角 ②能够被2整除的数叫做偶数 ③相等的角是对顶角 ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 3．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 4．（2024八年级上·上海·专题练习）“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 题型04 举反例 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 2.能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3.要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 4.“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 题型05 写出命题的逆命题 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 5．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 题型06 判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 3．如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 4．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 5．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型07 命题的证明 1．（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 2．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 3．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 4.【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 5．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 6.命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 7．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 8.如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【夯实基础】 一、单选题 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．反向延长射线 B．0是自然数 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等 2．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 4．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 5．要证明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 二、填空题 7．一个命题是由 两部分组成． 8．命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是 命题．（填“真”或“假”） 9．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ． 10．命题“同旁内角互补，两直线平行”的结论是 ． 三、解答题 11．写出下列命题的条件和结论． (1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (2)绝对值等于3的数是3； (3)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线． 12．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 13．如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 14．阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 15． 如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【能力提升】 一、单选题 1．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 5．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个． 6．举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 7．给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 三、解答题 8．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 9．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 10．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 11．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 12．如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$