6.4.3 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用 6．4．3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 一、 余弦定理 二、 已知两边及一角解三角形 三、 已知三边解三角形 四、 利用余弦定理判断三角形的形状 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(十二)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．　2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 问题1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C　①.试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 提示：当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2ab cos C＝c2＋c2－2c·c cos 60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2ab cos C. 问题2　在c2＝a2＋b2－2ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明问题1的猜想吗？ 提示：ab cos C＝| eq \o(CB,\s\up6(→))|| eq \o(CA,\s\up6(→))|cos  eq \o(CB,\s\up6(→))， eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→)).问题1中a2＋b2－2ab cos C＝ eq \o(CB,\s\up6(→))2＋ eq \o(CA,\s\up6(→))2－2 eq \o(CB,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝( eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→)))2＝ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝c2，猜想得证． eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ca) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 【知识提炼】　 公式表达 语言叙述 推论 a2＝ 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 cos A＝ b2＝ cos B＝ c2＝ cos C＝ b2＋c2－2bc cosA c2＋a2－2ca cosB a2＋b2－2ab cosC 拓展深化　余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 小思考　余弦定理与勾股定理有什么关系？ 提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 【即学即用】　1.(1)在△ABC中，已知a＝9，b＝2 eq \r(3)，C＝150°，则c等于(　　 ) A． eq \r(39) B．8 eq \r(3) C．10 eq \r(2) D．7 eq \r(3) 解析：由余弦定理，得c＝ eq \r(92＋(2\r(3))2－2×9×2\r(3)×cos 150°)＝ eq \r(147)＝7 eq \r(3). 答案：D (2)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　 ) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析：由cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－ eq \f(1,2)，且0°<A<180°，∴A＝120°. 答案：C (3)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________． 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴2cos C＝1，∴cos C＝ eq \f(1,2). 答案： eq \f(1,2) 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 eq \r(3)，A＝30°，求a的值． 解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2 eq \r(3))2－2×3×2 eq \r(3)cos 30°＝3， 所以a＝ eq \r(3). (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3 eq \r(3)，B＝30°，解这个三角形． 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(3 eq \r(3))2－2a×3 eq \r(3)×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理的推论得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 感悟升华　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 【即学即用】　2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝ eq \f(1,3)，则c＝(　　 ) A. 4 B． eq \r(15) C. 3 D． eq \r(17) 解析：cos C＝－cos (A＋B)＝－ eq \f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝ eq \r(17). 答案：D 例2　在△ABC中，已知a＝2 eq \r(6)，b＝6＋2 eq \r(3)，c＝4 eq \r(3)，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f((6＋2\r(3))2＋(4\r(3))2－(2\r(6))2,2×(6＋2\r(3))×(4\r(3)))＝ eq \f(\r(3),2). ∵A∈(0，π)，∴A＝ eq \f(π,6)， cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f((2\r(6))2＋(6＋2\r(3))2－(4\r(3))2,2×2\r(6)×(6＋2\r(3)))＝ eq \f(\r(2),2)， ∵C∈(0，π)，∴C＝ eq \f(π,4)，∴B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,6)－ eq \f(π,4)＝ eq \f(7,12)π， ∴A＝ eq \f(π,6)，B＝ eq \f(7,12)π，C＝ eq \f(π,4). 变式探究　若三角形三边长之比是1∶ eq \r(3)∶2，则其所对角之比是(　　 ) A．1∶2∶3 B．1∶ eq \r(3)∶2 C．1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3) D． eq \r(2)∶ eq \r(3)∶2 解析：设三角形三边长分别为m， eq \r(3)m，2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝ eq \f(m2＋(\r(3)m)2－(2m)2,2m·\r(3)m)＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cos B＝ eq \f((2m)2＋(\r(3)m)2－m2,2·2m·\r(3)m)＝ eq \f(\r(3),2)∴B＝30°∴C＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案：A 感悟升华　(1)已知三角形的三边解三角形，可利用余弦定理的推论，先求角的余弦值，再求角． (2)涉及三边的二次齐次式解三角形，要构造余弦定理推论的形式来求角． 【即学即用】　3.在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝ eq \r(37)，则最大角为________． 解析：∵ eq \r(37)>4>3，边c最大，则角C最大．又cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(32＋42－37,2×3×4)＝－ eq \f(1,2)，∴最大角C＝120°. 答案： 120° 例3　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状． 解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C， 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab))) eq \s\up12(2)－c2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac))) eq \s\up12(2)＝2bc× eq \f(a2＋c2－b2,2ac)× eq \f(a2＋b2－c2,2ab)， ∴b2＋c2＝ eq \f([(a2＋b2－c2)＋(a2＋c2－b2)]2,4a2)＝ eq \f(4a4,4a2)＝a2，∴A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 感悟升华　利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理． 【即学即用】　4.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B cos C，试确定△ABC的形状． 解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc. 而a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝ eq \f(1,2)，∴∠A＝60°. 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos Bsin C，sin A＝2sin B cos C， ∴sin B cos C－cos B sin C＝0，即sin (B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形． 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　 ) A．c2＝a2＋b2－2ab cos C B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝ eq \f(a2＋b2＋c2,2ab) 解析：由余弦定理及其推论知只有A正确． 答案：A 2．在△ABC中，若a＝2，c＝3，cos B＝－ eq \f(1,4)，则b＝(　　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：△ABC中，若a＝2，cos B＝－ eq \f(1,4)，由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×(－ eq \f(1,4))＝16，则b＝4. 答案：C 3．若在△ABC中，2a cos B＝c，则三角形的形状一定是(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：由2a cos B＝c以及余弦定理得2a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形． 答案：B 4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝ eq \f(π,6)，c＝2 eq \r(3)，则b＝________. 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋12－2×2×2 eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝4，所以b＝2. 答案：2 【基础巩固】 1．(2024·广东茂名阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　 ) A． eq \r(3) B．－ eq \r(3) C．2 D．－2 解析：由余弦定理得cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(1,2).又因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,3)，故 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝ac cos (π－B)＝－2. 答案：D 2．在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ eq \f(π,3)，则b＝(　　 ) A．25 B．5 C．4 D． eq \r(5) 解析：在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ eq \f(π,3)，由余弦定理得b＝ eq \r(a2＋c2－2ac·cos B)＝ eq \r((a＋c)2－3ac)＝ eq \r(72－3×8)＝5. 答案：B 3．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－ eq \r(3)c)，则A＝(　　 ) A．90° B．30° C．120° D．150° 解析：因为(a＋c)(a－c)＝b(b－ eq \r(3)c)，所以b2＋c2－a2＝ eq \r(3)bc，由余弦定理可得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(\r(3)bc,2bc)＝ eq \f(\r(3),2)，A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,6). 答案：B 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　 ) A． eq \f(5,18) B． eq \f(3,4) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(7,8) 解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝ eq \f((2a)2＋(2a)2－a2,2×2a×2a)＝ eq \f(7,8). 答案：D 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 eq \r(3)，cos A＝ eq \f(\r(3),2)，且b<c，则(　　 ) A．b＝2 B．b＝2 eq \r(2) C．B＝60° D．B＝30° 解析：由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－6b＋8＝0，即(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝ eq \f(\r(3),2)，所以B＝A＝30°. 答案：AD 6．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为 eq \f(3,4)，则该“圭田”的底边长为________． 解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4× eq \f(3,4)＝8，解得x＝2 eq \r(2)，即该“圭田”的底边长为2 eq \r(2). 答案：2 eq \r(2) 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝ eq \r(6)，BC＝1＋ eq \r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 解析：∵cos C＝ eq \f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝ eq \f(\r(2),2)，∴sin C＝ eq \f(\r(2),2)，∴AD＝AC sin C＝ eq \r(3). 答案： eq \r(3) 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝ eq \f(π,3)，a＝4，则bc的最大值为________． 解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为A＝ eq \f(π,3)，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 答案：16 9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b. 解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝82－2×15－2×15× eq \f(1,2)＝19.∴b＝ eq \r(19). 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 eq \r(3)x＋2＝0的两个根，且2cos (A＋B)＝1.求： (1)角C的度数； (2)AB的长度． 解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－ eq \f(1,2)， 又0°<C<180°，所以C＝120°. (2)因为a，b是方程x2－2 eq \r(3)x＋2＝0的两个根，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，)) 所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2 eq \r(3))2－2＝10.所以AB＝ eq \r(10). 【综合运用】 11．(多选)在△ABC中，∠ABC＝ eq \f(π,3)，AB＝AC＋1＝8，则边BC的长可能为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵AB＝AC＋1＝8，∴AC＝7，由余弦定理得AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝AC2，即64＋BC2－8BC＝49，解得BC＝3或BC＝5.经检验，均满足题意． 答案：BD 12．在△ABC中，角A，B，C对边为a，b，c，且2c·cos2 eq \f(A,2)＝b＋c，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：因为2c·cos2 eq \f(A,2)＝b＋c，所以2c· eq \f(1＋cosA,2)＝b＋c，即c＋c cos A＝b＋c，所以c cos A＝b，在△ABC中，由余弦定理得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，代入得c· eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b，即b2＋c2－a2＝2b2，所以c2＝a2＋b2，所以△ABC直角三角形． 答案：B 13．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　 ) A．1<a<3 B．1<a<5 C． eq \r(3)<a< eq \r(5) D．不确定 解析：若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a< eq \r(5)；若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a> eq \r(3)，故 eq \r(3)<a< eq \r(5). 答案：C 14．在△ABC中，内角A，B，C对边为a，b，c，已知cos A＝ eq \f(1,2). (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a2＝bc，判断△ABC的形状． 解：(1)在△ABC中，cos A＝ eq \f(1,2)，b＝2，c＝3， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝22＋32－2×2×3× eq \f(1,2)＝7， 所以a＝ eq \r(7). (2)在△ABC中，cos A＝ eq \f(1,2)，而0<A<π，则A＝ eq \f(π,3)， 由a2＝bc及余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得bc＝b2＋c2－2bc· eq \f(1,2)， 整理得(b－c)2＝0，则b＝c，所以△ABC为正三角形． 【创新探索】 15．如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度组成新三角形，则新三角形的形状是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 答案：A 16．已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出一个a的值________． 解析：因为2，4，a是一个锐角三角形的三边长，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22＋42－a2>0，,22＋a2－42>0，,42＋a2－22>0，))解得2 eq \r(3)<a<2 eq \r(5)，任取一个a的值4. 答案：4(答案不唯一) $$