6.4.3 第2课时 正弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用 6．4．3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 一、 正弦定理及其推导 二、 利用正弦定理解三角形 三、 利用正、余弦定理判断三角形的形状 四、 正、余弦定理的简单综合 课堂达标 1 2 3 1 2 3 1 2 3 [课下巩固训练(十三)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解正弦定理的推导过程．　2.掌握正弦定理及其变形，并能利用正弦定理解决相关问题． 问题1　如图，在Rt△ABC中， eq \f(a,sin A)、 eq \f(b,sin B)、 eq \f(c,sin C)各自等于什么？ 提示： eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝c. 问题2　在一般的△ABC中， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)还成立吗？教材是如何说明的？ 提示：在一般的△ABC中， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)仍然成立，教材采用边AB上的高CD＝b sin A＝a sin B来证明． 【知识提炼】　 1．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 符号语言 eq \f(a,sin A)＝ ＝ 正弦 eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 2.正弦定理的常见变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A＝ eq \f(a,2R)，sin B＝ eq \f(b,2R)，sin C＝ eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4) eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C). (5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. 拓展深化　对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． 例1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c. 解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)得，c＝ eq \f(a sin C,sin A)＝ eq \f(8×sin 75°,sin 45°)＝ eq \f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4( eq \r(3)＋1). 所以A＝45°，c＝4( eq \r(3)＋1). 感悟升华　已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 【即学即用】　1.(1)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3 eq \r(2)，则AC＝________． 解析：由正弦定理得 eq \f(3\r(2),sin 60°)＝ eq \f(AC,sin 45°)，所以AC＝ eq \f(3\r(2)×sin 45°,sin 60°)＝2 eq \r(3). 答案：2 eq \r(3) (2)在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2a sin B＝ eq \r(3)b，则A＝________． 解析：在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝ eq \r(3)sin B，又∵sin B≠0，∴sin A＝ eq \f(\r(3),2).又A为锐角，∴A＝ eq \f(π,3). 答案： eq \f(π,3) 例2　在△ABC中，已知c＝ eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形． 解：∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，∴sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝ eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝ eq \f(\r(3),2)， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝ eq \f(c sin B,sin C)＝ eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝ eq \r(3)＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝ eq \f(c sin B,sin C)＝ eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝ eq \r(3)－1. 综上b＝ eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°. 变式探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，试判断角A有几个值？ 解：∵ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，∴sin A＝ eq \f(a sin C,c)＝＝ eq \f(\r(3),3). ∵c＝ eq \r(6)>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为 eq \f(\r(3),3)，这样的角A只有一个． 感悟升华　(1)已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． ②用三角形内角和定理求出第三个角． ③根据正弦定理求出第三条边． 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． (2)在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 【即学即用】　2.在△ABC中，a＝1，b＝ eq \r(3)，A＝30°，求边c的长． 解：由 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(\r(3),2). ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为60°或120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ eq \r(a2＋b2)＝ eq \r(1＋3)＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1. 综上知c＝1或2. 例3　在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：法一：根据正弦定理得 eq \f(a,sinA)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2sinB cos C＝2sin B cos (90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sin B＝ eq \f(\r(2),2). ∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：根据正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C， ∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin (B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 感悟升华　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 【即学即用】　3.在△ABC中，已知3b＝2 eq \r(3)a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，判断△ABC的形状． 解：由3b＝2 eq \r(3)a sin B，得 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(2\r(3)a,3)，根据正弦定理，得 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(a,sin A)， 所以 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(2\r(3)a,3)，即sin A＝ eq \f(\r(3),2). 又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B＝C.故△ABC为等边三角形． 例4　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ eq \r(3)a cos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解：(1)∵b sin A＝ eq \r(3)a cos B，由正弦定理得sin B sin A＝ eq \r(3)sin A cos B. 在△ABC中，sin A≠0，得tan B＝ eq \r(3)，∴B＝ eq \f(π,3). (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，即9＝a2＋4a2－2a·2a cos eq \f(π,3)， 解得a＝ eq \r(3)，∴c＝2a＝2 eq \r(3). 感悟升华　利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 【即学即用】　4.在△ABC中，角A，B，C对应边长分别为a，b，c，其中，a＝4，b＝2，A＝60°. (1)求c； (2)求sin B. 解：(1)由余弦定理得a2＝c2＋b2－2bc cos A，即16＝4＋c2－2c， 解得c＝1＋ eq \r(13)(负值舍去).故c值为1＋ eq \r(13). (2)由正弦定理得sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(2×sin 60°,4)＝ eq \f(\r(3),4).故sin B值为 eq \f(\r(3),4). 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　 ) A． eq \f(5,3) B． eq \f(3,5) C． eq \f(3,7) D． eq \f(5,7) 解析：根据正弦定理得 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,b)＝ eq \f(5,3). 答案：A 2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　 ) A．5 eq \r(2) B．10 eq \r(3) C． eq \f(10\r(3),3) D．5 eq \r(6) 解析：由正弦定理，得b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝ eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10 eq \r(3). 答案：B 3．若△ABC外接圆的半径为2，且B＋C＝2A，则BC＝(　　 ) A．4 eq \r(3) B．2 C．2 eq \r(3) D． eq \r(3) 解析：△ABC中，B＋C＝2A＝π－A，故A＝ eq \f(π,3)，由正弦定理知 eq \f(BC,sin A)＝4，故BC＝2 eq \r(3). 答案：C 【基础巩固】 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝ eq \f(5π,6)，则sin A＝(　　 ) A． eq \f(1,4) B． eq \f(\r(3),8) C． eq \f(1,8) D． eq \f(1,16) 解析：在△ABC中，由A＋C＝ eq \f(5π,6)，得B＝ eq \f(π,6)，由b＝4a及正弦定理，得sin A＝ eq \f(1,4)sin B＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,8). 答案：C 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos A＝a cos B，则△ABC的形状为(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：因b cos A＝a cos B，由正弦定理，sin B cos A＝sin A cos B，即sin (A－B)＝0，因0<A，B<π，则－π<A－B<π，故A－B＝0，即A＝B，故△ABC是等腰三角形． 答案：B 3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝(　　 ) A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(1,4) C．－ eq \f(1,3) D． eq \f(1,4) 解析：由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(13k2－16k2,12k2)＝－ eq \f(1,4). 答案：B 4．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为(　　 ) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A，B的大小关系不能确定 解析：因为 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，所以 eq \f(a,b)＝ eq \f(sin A,sin B).因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B，所以 eq \f(a,b)＝ eq \f(sin A,sin B)>1，所以a>b，由a＞b知A＞B. 答案：A 5．在△ABC中，若sin C＝2sin B cos B，且B∈( eq \f(π,6)， eq \f(π,4))，则 eq \f(c,b)的范围为(　　 ) A．( eq \r(2)， eq \r(3)) B．( eq \r(3)，2) C．(0，2) D．( eq \r(2)，2) 解析：因为sin C＝2sin B cos B，由正弦定理得c＝2b cos B，则 eq \f(c,b)＝2cos B，又因为B∈( eq \f(π,6)， eq \f(π,4))，可得 eq \f(\r(2),2)<cos B< eq \f(\r(3),2)，所以 eq \r(2)<2cos B< eq \r(3)，所以 eq \f(c,b)的范围为( eq \r(2)， eq \r(3)). 答案：A 6．在△ABC中，a＝3 eq \r(2)，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于________． 解析：由正弦定理可得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)⇒3 eq \r(2)sin C＝c sin A⇒sin C＝ eq \f(1,2)，由于a＝3 eq \r(2)>c＝3，所以A>C，故C＝30°，故B＝180°－A－C＝105° 答案：105° 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝_______． 解析：在△ABC中，由b sin A＋a cos B＝0及正弦定理，得sin B sin A＋sin A cos B＝0，而sin A>0，因此tan B＝－1，又0<B<π，所以B＝ eq \f(3π,4). 答案： eq \f(3π,4) 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝ eq \f(π,3)，c＝ eq \r(3)，则 eq \f(a＋b,sin A＋sin B)的值为___________． 解析：设△ABC的外接圆的半径为R，则根据正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B， eq \f(a＋b,sin A＋sin B)＝ eq \f(2R sin A＋2R sin B,sin A＋sin B)＝2R，又 eq \f(c,sin C)＝ eq \f(\r(3),sin \f(π,3))＝ eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2＝2R，所以 eq \f(a＋b,sin A＋sin B)＝2. 答案：2 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝ eq \r(2)b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C， 利用正弦定理，a＋c＝ eq \r(2)b可变形为sin A＋sin C＝ eq \r(2)sin B， 又因为sin A＝cos C，所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝ eq \r(2)sin (C＋45°)＝ eq \r(2)sin B， 又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)， 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°. 10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求角A的大小； (2)求 eq \f(b sin B,c)的值． 解：(1)由题意知，b2＝ac⇒cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝ eq \f(1,2)， ∵A∈(0，π)，∴A＝ eq \f(π,3). (2)由b2＝ac，得 eq \f(b,c)＝ eq \f(a,b)，∴ eq \f(b sin B,c)＝sin B· eq \f(a,b)＝sin B· eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝ eq \f(\r(3),2). 【综合运用】 11．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是(　　 ) A．2<x<2 eq \r(3) B．2<x<2 eq \r(2) C．x>2 D． eq \r(2)<x<2 eq \r(2) 解析：如图，B＝45°，过C作CD⊥AB于D， 则CD＝BC·sin 45°＝a sin 45°＝x sin 45°，以C为圆心，CA＝b＝2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和AB边应该有两个交点，故CA>CD且CA<CB，即x sin 45°<2<x，解得2<x<2 eq \r(2). 答案：B 12．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是(　　 ) A．A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝ eq \f(1,2) B．A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝1 C．A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝ eq \f(3,2) D．A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝2 解析：由正弦定理， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，得sin C＝ eq \f(c sin A,a)，若A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝ eq \f(1,2)，sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝2>1，△ABC无解，A选项错误；若A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝1，sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝1，得C＝ eq \f(π,2)，△ABC恰有一个解，B选项正确；若A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝ eq \f(3,2)，sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝ eq \f(2,3)，c>a，C有两解，△ABC有两个解，C选项错误；若A＝ eq \f(π,6)，c＝2，a＝2，c＝a，C＝ eq \f(π,6)，△ABC恰有一个解，D选项正确． 答案：BD 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a＝3，B＝ eq \f(π,6)的三角形有一解，则b的取值范围为___________． 解析：在△ABC中，由正弦定理 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(a,sin A)，得sin A＝ eq \f(a sin B,b)，而a＝3，B＝ eq \f(π,6)，当sin A＝1时，△ABC只有一解，b＝a sin B＝ eq \f(3,2)；当a≤b，即b≥3时，0<A≤B＝ eq \f(π,6)，△ABC只有一解，所以b的取值范围为{ eq \f(3,2)}∪[3，＋∞). 答案：{ eq \f(3,2)}∪[3，＋∞) 14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 eq \f(cos B,cos C)＝－ eq \f(b,2a＋c). (1)求B的大小； (2)若b＝ eq \r(13)，a＋c＝4，求a的值． 解：(1)由余弦定理得cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)， ∴原式化为 eq \f(a2＋c2－b2,2ac)· eq \f(2ab,a2＋b2－c2)＝－ eq \f(b,2a＋c)， 整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，∴cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(－ac,2ac)＝－ eq \f(1,2)， 又0<B<π，∴B＝ eq \f(2π,3). (2)将b＝ eq \r(13)，a＋c＝4，B＝ eq \f(2π,3)， 代入b2＝a2＋c2－2ac cos B，得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos eq \f(2π,3)， 即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. 【创新探索】 15．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求： (1)B的范围； (2) eq \f(a,b)的范围． 解：(1)在锐角三角形ABC中，0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0°＜B＜90°，,0°＜2B＜90°，,0°＜180°－3B＜90°))⇒30°＜B＜45°. (2)由正弦定理知 eq \f(a,b)＝ eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(sin 2B,sin B)＝2cos B∈( eq \r(2)， eq \r(3))，故所求 eq \f(a,b)的范围是( eq \r(2)， eq \r(3)). $$