6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4.3 余弦定理、正弦定理

第1课时 余弦定理

学习目标

1.了解用向量法推导余弦定理的过程. 2.掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题. 3.能运用余弦定理判断三角形的形状.

新知学习 探究

新课导学

千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿，，，岛屿与之间的距离因，之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得，的距离分别为和，且，的夹角为 .

思考 如何计算岛屿，之间的距离？

提示：可利用向量计算.

因为，

所以.

一 余弦定理及应用

【答案】平方的和； 余弦的积的两倍； ； ；

例1

（1） （对接教材例5）在中，内角，，的对边分别为,,,若，,

,则（  ）

A. 3 B.  C.  D.

（2） 已知的内角,,的对边分别为,,,,,,则______.

【答案】（1） B

（2） 3

【解析】

（1） 因为,, ,所以.

（2） 由余弦定理得,即,所以.

【变式探究】

1．（综合变式）将本例（1）中的条件“,, ”变为“若,,是三个连续奇数，最大角为 ”，则的周长为（  ）

A. 13 B. 15 C. 17 D. 19

【答案】B

【解析】选B．不妨设，则 ，且,.所以 ，即，所以 或（舍去）.因此，的周长为.故选B.

2．（条件变式）将本例（2）中的条件“,,”改为“,,”,求的值.

解：由余弦定理得,

所以,

即,解得 或.

所以 的值为2或4.

已知两边及一角解三角形的两种思路

（1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.

（2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.

［跟踪训练1］．

（1） 在中，内角，，的对边分别为,,,若,,,则（  ）

A. 25 B. 5 C. 4 D.

（2） （多选）在中，内角，，的对边分别为,,,若,, ，则的值可以为 （  ）

A. . B. . C.  D.

【答案】（1） B

（2） AB

【解析】

（1） 选B.在 中，由余弦定理知，所以.

（2） 选.由余弦定理及已知得,即，解得 或.故选.

二 余弦定理的推论及应用

在中，角,,的对边分别是,,，则,①________________________,②______________________