6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦余弦定理及其推论这一核心知识点，以千岛湖岛屿距离测量问题为情境引入，通过向量法推导定理，系统梳理定理的文字与符号表示，构建“已知两边及夹角求第三边”“已知三边判断三角形形状”的应用框架。 资料以现实情境激发探究兴趣，通过向量推导培养逻辑推理能力，体现“用数学眼光观察现实世界”“用数学思维思考现实世界”。例题变式训练覆盖不同条件，课中辅助教师分层教学，课后自测题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 学习目标 1.了解用向量法推导余弦定理的过程. 2.掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题. 3.能运用余弦定理判断三角形的形状. 新知学习 探究 新课导学 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿，，，岛屿与之间的距离因，之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得，的距离分别为和，且，的夹角为 . 思考 如何计算岛屿，之间的距离？ 提示：可利用向量计算. 因为， 所以. 一 余弦定理及应用 文字语言 三角形中任何一边的平方,等于其他两边①__________减去这两边与它们夹角的②__________________ 符号语言 ③______________________________ ④______________________________ ⑤______________________________ 【答案】平方的和； 余弦的积的两倍； ； ； 例1 （1） （对接教材例5）在中，内角，，的对边分别为,,,若，, ,则（ ） A. 3 B. C. D. （2） 已知的内角,,的对边分别为,,,,,,则______. 【答案】（1） B （2） 3 【解析】 （1） 因为,, ,所以. （2） 由余弦定理得,即,所以. 【变式探究】 1．（综合变式）将本例（1）中的条件“,, ”变为“若,,是三个连续奇数，最大角为 ”，则的周长为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】B 【解析】选B．不妨设，则 ，且,.所以 ，即，所以 或（舍去）.因此，的周长为.故选B. 2．（条件变式）将本例（2）中的条件“,,”改为“,,”,求的值. 解：由余弦定理得, 所以, 即,解得 或. 所以 的值为2或4. 已知两边及一角解三角形的两种思路 （1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. （2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. ［跟踪训练1］． （1） 在中，内角，，的对边分别为,,,若,,,则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. （2） （多选）在中，内角，，的对边分别为,,,若,, ，则的值可以为 （ ） A. . B. . C. D. 【答案】（1） B （2） AB 【解析】 （1） 选B.在 中，由余弦定理知，所以. （2） 选.由余弦定理及已知得,即，解得 或.故选. 二 余弦定理的推论及应用 在中，角,,的对边分别是,,，则,①________________________,②________________________. 【答案】； 例2 （1） [2024·重庆市江北区模拟]已知在中，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2） 若,,是锐角三角形的三边长，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 在 中，由，，，得,则,又，所以. （2） 因为三角形是锐角三角形，所以最大边长 对应的角为锐角，设该角为 ，所以，即，解得 或（舍去）.故选C. 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值,从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. ［注意］ 若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为“已知三边解三角形”的问题. ［跟踪训练2］． （1） 在中，,,,分别是角,,的对边，若,则（ ） A. B. 或 C. D. 或 （2） 在中，，，为的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 选C.由已知及余弦定理的推论得，又 ,故 .故选C. （2） 选C.在 中，由余弦定理的推论得，在 中，由余弦定理得，所以.故选C. 三 判断三角形的形状 例3 （1） 在中,角，，所对的边分别为，,, ,,则一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 （2） 在中，角，，所对的边分别为,,.若,，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】（1） D （2） A 【解析】 （1） 在 中,因为 ,,所以由余弦定理可得,所以,即,所以.结合 可得 一定是等边三角形.故选D. （2） 由 及余弦定理的推论可得,所以,所以,又,所以,所以.因为，所以,即.因为，所以,，所以,,从而.所以 为等边三角形. 判断三角形形状的基本思想和两条思路 ［跟踪训练3］． （1） 在中，角,,所对的边分别为,,,若,则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 （2） 在中，角，，的对边分别为,,,若,,则的形状为__________________. 【答案】（1） A （2） 等腰直角三角形 【解析】 （1） 选A.因为,所以由余弦定理的推论得,所以,所以,因为,，所以,所以 一定为等腰三角形. （2） 由余弦定理的推论知,代入,得,所以,所以 是以 为直角的直角三角形.又,所以,所以,所以 也是等腰三角形.综上所述，是等腰直角三角形. 课堂巩固 自测 1．（教材 改编）已知在中，角,,的对边分别为,,,若,,,则（ ） A. B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】选A.因为, 所以. 因为,, 所以由余弦定理可得. 2．在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】选B.由已知及余弦定理可得.故. 3．（教材P44T3改编）在中，角，，的对边分别为,,.已知,,,则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】选C.由，得,所以,所以,所以（负值已舍去）. 4．[2024·安徽合肥模拟]在中，内角,,的对边分别为,,，若，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】选A.因为，两边同时乘以 得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 又，所以，又因为，所以. 5．在中，角，，的对边分别为,,,已知，则________. 【答案】 【解析】由余弦定理 可得,因为,所以,整理得，所以,又因为，所以. 1.已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用. 2.须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法. 3.应注意：三角形的隐含条件，如内角和为 ，两边之和大于第三边. 学科网（北京）股份有限公司 $