6.3.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3．1　平面向量基本定理 一、 平面向量基本定理 二、 用基底表示向量 三、 平面向量基本定理的应用 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(七)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 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解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 答案：ACD 感悟升华　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【即学即用】　1.设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　 ) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C．－3 D．3 解析：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－ eq \f(1,3). 答案：B 例2　如图所示，已知▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示 eq \o(DE,\s\up6(→))， eq \o(BF,\s\up6(→)). 解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＝2 eq \o(BE,\s\up6(→))， eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→))＝2 eq \o(CF,\s\up6(→))， ∴ eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)b， eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a. ∴ eq \o(DE,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BE,\s\up6(→))＝－ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BE,\s\up6(→))＝－b＋a＋ eq \f(1,2)b＝a－ eq \f(1,2)b， eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝b－ eq \f(1,2)a. 变式探究　1.在本例中，若取 eq \o(AC,\s\up6(→))＝x， eq \o(DB,\s\up6(→))＝y作为基底，试用x，y表示 eq \o(DE,\s\up6(→))， eq \o(BF,\s\up6(→)). 解：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b，∴a＝ eq \f(1,2)(x＋y)，b＝ eq \f(1,2)(x－y)， 于是 eq \o(DE,\s\up6(→))＝a－ eq \f(1,2)b＝ eq \f(1,2)(x＋y)－ eq \f(1,4)(x－y)＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(3,4)y， eq \o(BF,\s\up6(→))＝b－ eq \f(1,2)a＝ eq \f(1,2)(x－y)－ eq \f(1,4)(x＋y)＝ eq \f(1,4)x－ eq \f(3,4)y. 2．在本例中，若取 eq \o(DE,\s\up6(→))＝e， eq \o(BF,\s\up6(→))＝f作为基底，试用e，f表示 eq \o(DB,\s\up6(→)). 解：由例题，知 eq \o(DE,\s\up6(→))＝a－ eq \f(1,2)b＝e， eq \o(BF,\s\up6(→))＝b－ eq \f(1,2)a＝f，解得a＝ eq \f(4,3)e＋ eq \f(2,3)f，b＝ eq \f(2,3)e＋ eq \f(4,3)f， ∴ eq \o(DB,\s\up6(→))＝a－b＝ eq \f(4,3)e＋ eq \f(2,3)f－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)e＋\f(4,3)f))＝ eq \f(2,3)e－ eq \f(2,3)f. 感悟升华　用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型： 【即学即用】　2.△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以 eq \o(CB,\s\up6(→))＝e1， eq \o(CA,\s\up6(→))＝e2为基底表示 eq \o(CF,\s\up6(→)). 解： eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→))＝e1－e2， 因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以 eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4)(e1－e2)， 所以 eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(AF,\s\up6(→))＝e2＋ eq \f(3,4)(e1－e2)＝ eq \f(3,4)e1＋ eq \f(1,4)e2. 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解：设 eq \o(BM,\s\up6(→))＝e1， eq \o(CN,\s\up6(→))＝e2， 则 eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1， eq \o(BN,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2， ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 eq \o(AP,\s\up6(→))＝λ eq \o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2， eq \o(BP,\s\up6(→))＝μ eq \o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2， 故 eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(BP,\s\up6(→))＋ eq \o(PA,\s\up6(→))＝ eq \o(BP,\s\up6(→))－ eq \o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而 eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得解得 ∴ eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(AM,\s\up6(→))， eq \o(BP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,5) eq \o(BN,\s\up6(→))， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ eq \f(3,2). 感悟升华　用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． 【即学即用】　3.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设 eq \o(BA,\s\up6(→))＝a， eq \o(BC,\s\up6(→))＝c. (1)用a，c表示向量 eq \o(AE,\s\up6(→))； (2)若点F在AC上，且 eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,5)a＋ eq \f(4,5)c，求AF∶CF. 解：(1)因为 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \o(BA,\s\up6(→))＝c－a，点D是AC的中点， 所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(c－a)， 因为点E是BD的中点， 所以 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,4)(c－a)＝ eq \f(1,4)c－ eq \f(3,4)a. (2)设 eq \o(AF,\s\up6(→))＝λ eq \o(AC,\s\up6(→))(0<λ<1)， 所以 eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))＋λ eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又 eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,5)a＋ eq \f(4,5)c，所以λ＝ eq \f(4,5). 所以 eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(AC,\s\up6(→))，所以AF∶CF＝4∶1. 1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　 ) A． eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→)) B． eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→)) C． eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(CF,\s\up6(→)) D． eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(DE,\s\up6(→)) 解析：由题中图形可知： eq \o(OA,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(CF,\s\up6(→))， eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(DE,\s\up6(→))共线，不能作为基底向量， eq \o(OA,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))不共线，可作为基底向量． 答案：B 2. 若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是(　　 ) A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线 C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0 解析：由平面向量基本定理知，当a与b不共线时，k1＝k2＝0. 答案：B 3．已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________． 解析：∵λ1a＋b＝－a＋μ1b，∴(λ1＋1)a＋(1－μ1)b＝0，又∵a，b不共线，∴λ1＋1＝0且1－μ1＝0，即λ1＝－1，μ1＝1. 答案：－1　1 4．若a，b是同一平面内的两个不共线向量，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为平面向量的基底． 解：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0， 但这样的λ是不存在的，从而c，d不共线， 故{c，d}能作为平面向量的基底． 【基础巩固】 1．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \o(CA,\s\up6(→))＝m， eq \o(CD,\s\up6(→))＝n，则 eq \o(CB,\s\up6(→))＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以 eq \o(BD,\s\up6(→))＝2 eq \o(DA,\s\up6(→))，即 eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))－\o(CD,\s\up6(→))))，所以 eq \o(CB,\s\up6(→))＝3 eq \o(CD,\s\up6(→))－2 eq \o(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n. 答案：B 2．(多选)设e1，e2是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是(　　 ) A．e1＋e2与e1 B．e1－2e2与e2－2e1 C．e1－2e2与4e2－2e1 D．e1＋e2与e1－e2 解析：对A，设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1与e1＋e2不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底；对B，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底；对C，因为e1－2e2＝－ eq \f(1,2)(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底；对D，设e1＋e2＝λ(e1－e2)＝λe1－λe2，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 答案：ABD 3．(2024·河南焦作检测)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ－μ＝(　　 ) A．－1 B．3 C．1 D．－3 解析：根据图象， 根据平面向量基本定理，可知a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，λ－μ＝－2－1＝－3. 答案：D 4．(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 eq \o(CD,\s\up6(→))＝(　　 ) A．－ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)) C． eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up6(→)) 解析： eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝－ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)). 答案：ABD 5．设一直线上三点A，B，P满足 eq \o(AP,\s\up6(→))＝λ eq \o(PB,\s\up6(→))(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则 eq \o(OP,\s\up6(→))用 eq \o(OA,\s\up6(→))、 eq \o(OB,\s\up6(→))表示为(　　 ) A． eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ eq \o(OB,\s\up6(→)) B． eq \o(OP,\s\up6(→))＝λ eq \o(OA,\s\up6(→))＋(1＋λ) eq \o(OB,\s\up6(→)) C． eq \o(OP,\s\up6(→))＝ D． eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) 解析：∵ eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ( eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OP,\s\up6(→)))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ eq \o(OB,\s\up6(→))－λ eq \o(OP,\s\up6(→))，∴(1＋λ) eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ eq \o(OB,\s\up6(→))，∴ eq \o(OP,\s\up6(→))＝. 答案：C 6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________． 解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0. 答案：0 7．(2024·北京通州阶段检测)在△ABC中， eq \o(BC,\s\up6(→))＝λ eq \o(BD,\s\up6(→))，且 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))，则λ＝________． 解析：∵ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DB,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→)))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(DB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))，∴－ eq \f(2,3) eq \o(DB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up6(→))，∴3 eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))，即λ＝3. 答案：3 8．设e1，e2是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基的线性组合，即e1＋e2＝________． 解析：由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b，代入①可求得e1＝ eq \f(1,3)a－ eq \f(2,3)b，所以e1＋e2＝ eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b. 答案： eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b 9．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝ eq \r(3)，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b. (1)试用a，b表示 eq \o(AD,\s\up6(→))； (2)求 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))的值． 解：(1)∵D是边BC上一点，DC＝2BD， ∴ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))，又∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，得 eq \o(BC,\s\up6(→))＝b－a， ∴ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,3)(b－a)＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b. (2)∵|a|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)，|b|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝1，∠BAC＝120°， ∴a·b＝|a||b|cos ∠BAC＝－ eq \f(\r(3),2)， eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝( eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b)·(b－a)＝ eq \f(1,3)b2＋ eq \f(1,3)a·b－ eq \f(2,3)a2＝－ eq \f(\r(3)＋10,6). 10．设a，b是平面内的一组基底， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b， eq \o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线． 证明：因为 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝a＋5b＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(AB,\s\up6(→))共线． 又因为 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(AB,\s\up6(→))有公共点A， 所以A，B，D三点共线． 【综合运用】 11．(多选)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，给出以下结论，其中正确的结论是(　　 ) A．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C．存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D．不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 解析：若a与b共线，则可得λa＝b(λ∈R)，即2λe1－λe2＝ke1＋e2，由e1与e2不共线得2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误．若e1与e2共线，则可得e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，可得a与b共线，所以C错误，D正确． 答案：AD 12．如图，平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))＋y eq \o(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝(　　 ) A．1 B． eq \f(4,3) C． eq \f(5,3) D．2 解析：因为平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，所以 eq \f(AD,CM)＝ eq \f(AP,PC)＝2，所以 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→)))，又 eq \o(AP,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))＋y eq \o(AD,\s\up6(→))，所以x＝y＝ eq \f(2,3)，x＋y＝ eq \f(4,3). 答案：B 13．(多选)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于P点，若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,7) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,7) eq \o(AC,\s\up6(→))，则(　　 ) A． eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \o(MB,\s\up6(→)) B． eq \o(AM,\s\up6(→))＝2 eq \o(MB,\s\up6(→)) C． eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(NC,\s\up6(→)) D． eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(3,5) eq \o(NC,\s\up6(→)) 解析：如图所示， 设 eq \o(AM,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AN,\s\up6(→))＝n eq \o(AC,\s\up6(→))，由 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,7) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,7) eq \o(AC,\s\up6(→))，可得 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,7m) eq \o(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(3,7) eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,7) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,7n) eq \o(AN,\s\up6(→))，因为C，P，M共线，所以 eq \f(2,7m)＋ eq \f(3,7)＝1，解得m＝ eq \f(1,2)，因为N，P，B共线，所以 eq \f(2,7)＋ eq \f(3,7n)＝1，解得n＝ eq \f(3,5)，故 eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(3,5) eq \o(AC,\s\up6(→))，即 eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \o(MB,\s\up6(→))， eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(NC,\s\up6(→)). 答案：AC 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点(AF＝ eq \f(2,3)AD，BG＝ eq \f(2,3)BC)，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b. (1)用a，b表示 eq \o(EF,\s\up6(→))， eq \o(EG,\s\up6(→))； (2)如果|a|＝ eq \f(4,3)|b|，用向量的方法证明EF⊥EG. 解：(1)由题意， eq \o(EF,\s\up6(→))＝ eq \o(AF,\s\up6(→))－ eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(2,3)b， eq \o(EG,\s\up6(→))＝ eq \o(EB,\s\up6(→))＋ eq \o(BG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(2,3)b. (2)由(1)得 eq \o(EF,\s\up6(→))· eq \o(EG,\s\up6(→))＝(－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(2,3)b)·( eq \f(1,2)a＋ eq \f(2,3)b)＝－ eq \f(1,4)a2＋ eq \f(4,9)b2＝－ eq \f(1,4)×( eq \f(4,3)|b|)2＋ eq \f(4,9)b2＝0， 所以EF⊥EG. 【创新探索】 15．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若 eq \o(OP,\s\up6(→))＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　 ) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析：如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B， 则 eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))，又 eq \o(OP,\s\up6(→))＝a＋b，所以 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b.又 eq \o(OA,\s\up6(→))与方向相同， eq \o(OB,\s\up6(→))与方向相反，所以a>0，b<0. 答案：B 16．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且 eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))＋y eq \o(AC,\s\up6(→))，则＋的最小值为(　　 ) A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D． eq \f(9,2) 解析：设 eq \o(AD,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋n eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(AE,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))＋μ eq \o(AC,\s\up6(→)).∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1. ∵ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))＋y eq \o(AC,\s\up6(→))，则x＋y＝2，∴＋＝ eq \f(1,2)(＋)(x＋y)＝ eq \f(1,2)(5＋＋)≥ eq \f(1,2)(5＋2)＝ eq \f(9,2)，当且仅当＝，即x＝ eq \f(2,3)，y＝ eq \f(4,3)时取等号，∴＋的最小值为 eq \f(9,2). 答案：D $$