6.2.3 向量的数乘运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算 6．2．3　向量的数乘运算 一、 向量的数乘运算 二、 用已知向量表示其他向量 三、 向量共线定理 课堂达标 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 [课下巩固训练(四)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.了解向量数乘的概念．　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 提示：同向，反向． 问题3　按照向量加法的三角形法则，若a为非零向量，那么3a的长度与a的长度有何关系． 提示：|3a|＝3|a|. 问题1　实数运算x＋x＋x＝3x，思考a＋a＋a能否写成3a呢？ 提示：可以． 问题2　3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？ 0 【知识提炼】　 1．向量的数乘运算 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 λ＞0 λa的方向与a的方向 λ＝0 λa＝ λ＜0 λa的方向与a的方向 向量 相同 相反 微提醒 (1)向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及a有关． (2)实数和向量可以相乘，但不能相加减，λ＋a，λ－a无意义． (3) eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))表示和向量a方向相同的单位向量． －(λa) λ(－a) λa－λb λμ1a±λμ2b 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ (分配律). 特别地，有(－λ)a＝ ＝ ，λ(a－b)＝ ． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ． (λμ)a λa＋μa λa＋λb 例1　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))； (2) eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2( eq \f(1,2)a＋ eq \f(3,8)b)； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－ eq \f(3,4)b＝a＋ eq \f(3,4)b－a－ eq \f(3,4)b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 感悟升华　向量线性运算的基本方法 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用． 【即学即用】　1.(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a). 解：原式＝ eq \f(1,3)a－b－a＋ eq \f(2,3)b＋2b－a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－ eq \f(5,3)a＋ eq \f(5,3)b＝－ eq \f(5,3)(3i＋2j)＋ eq \f(5,3)(2i－j)＝－ eq \f(5,3)i－5j. (2)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y. 解：联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝a，,3x－y＝b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.)) 例2　如图，在△ABC中，AD＝ eq \f(1,3)AB，点E是CD的中点，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(AE,\s\up6(→))＝(　　 ) A．－ eq \f(1,6)a＋ eq \f(1,2)b B． eq \f(1,6)a－ eq \f(1,2)b C．－ eq \f(1,6)a－ eq \f(1,2)b D． eq \f(1,6)a＋ eq \f(1,2)b 解析：因为AD＝ eq \f(1,3)AB，即 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))，点E为CD的中点，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＝3 eq \o(AD,\s\up6(→))＝3( eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→)))＝3 eq \o(CD,\s\up6(→))＋3 eq \o(AC,\s\up6(→))＝6 eq \o(CE,\s\up6(→))＋3 eq \o(AC,\s\up6(→))＝6( eq \o(AE,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＋3 eq \o(AC,\s\up6(→))＝6 eq \o(AE,\s\up6(→))－3 eq \o(AC,\s\up6(→))，所以 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋3 eq \o(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,6)a＋ eq \f(1,2)b. 答案：D 感悟升华　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． 【即学即用】　2.在平行四边形ABCD中， eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up6(→))，G为EF的中点，则 eq \o(DG,\s\up6(→))＝(　　 ) A． eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→)) B． eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→)) C． eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→)) 解析： eq \o(DG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(DE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2)· eq \f(2,3) eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(－ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→)). 答案：D 提示：相同或相反． 问题6　向量a与λa(λ为常数)一定共线吗？ 提示：共线． 问题4　 如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？ 提示：方向相同或方向相反或其中一个为零向量． 问题5　 根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？ 【知识提炼】　 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 小思考　定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. b＝λa 例3　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果 eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2， eq \o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2， eq \o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 解：(1)证明：∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2， eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5 eq \o(AB,\s\up6(→)).∴ eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 变式探究　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且 eq \o(OA,\s\up6(→))＝x eq \o(OB,\s\up6(→))＋y eq \o(OC,\s\up6(→)).求证：x＋y＝1. 证明：∵A，B，C三点共线， ∴∃λ∈R，使得 eq \o(AB,\s\up6(→))＝λ eq \o(BC,\s\up6(→))，即 eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝λ( eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→)))， ∴ eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1＋λ) eq \o(OB,\s\up6(→))－λ eq \o(OC,\s\up6(→))，则x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1. 感悟升华　证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up6(→))＝λ eq \o(AC,\s\up6(→))(或 eq \o(BC,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使 eq \o(OA,\s\up6(→))＝x eq \o(OB,\s\up6(→))＋y eq \o(OC,\s\up6(→))且x＋y＝1. 【即学即用】　3.(1)如图，在△ABC中， eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点．若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为(　　 ) A． eq \f(9,11) B． eq \f(2,11) C． eq \f(3,11) D． eq \f(1,11) 解析：由题意可得 eq \o(AC,\s\up6(→))＝5 eq \o(AN,\s\up6(→))，则 eq \o(AP,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11)×5 eq \o(AN,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(10,11) eq \o(AN,\s\up6(→)). 因为B，P，N三点共线，所以m＋ eq \f(10,11)＝1，即m＝ eq \f(1,11). 答案：D (2)已知向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a－kb， eq \o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b， eq \o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　 ) A．10 B．－10 C．2 D．－2 解析：∵A，B，D三点共线，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))＝λ eq \o(BD,\s\up6(→))＝λ( eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→)))，∴a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，∴(1－λ)a＋(2λ－k)b＝0，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,2λ－k＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,k＝2.)) 答案：C 答案：C 1．下列各式计算正确的个数是(　　 ) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数． 2． eq \f(1,2)a＋b＋ eq \f(3,2)a－4b等于(　　 ) A．2a＋3b B．a－3b C．2a－3b D．2a－2b 解析：原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))a＋(1－4)b＝2a－3b. 答案：C 3．已知平面内的两个非零向量a，b满足a＝－3b，则a与b(　　 ) A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 解析：因为两个非零向量a，b满足a＝－3b，所以a，b为共线反向向量，且模不相等，所以ABC错误，D正确． 答案：D 4．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(AM,\s\up6(→))等于(　　 ) A． eq \f(1,2)(a－b) B．－ eq \f(1,2)(a－b) C． eq \f(1,2)(a＋b) D．－ eq \f(1,2)(a＋b) 答案：C 5．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8. 答案：8 【基础巩固】 1．已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)＝(　　 ) A．a＋b B．a－b C．3a＋b D．a＋3b 解析：由题意2(a＋b)－(a－b)＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b. 答案：D 2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　 ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析：C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n. 答案：AB 3．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　 ) A． eq \o(AB,\s\up6(→))＝3 eq \o(BC,\s\up6(→)) B． eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(BC,\s\up6(→)) C． eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up6(→)) D． eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(CB,\s\up6(→)) 解析：由题意可知： eq \o(AB,\s\up6(→))＝－3 eq \o(BC,\s\up6(→))； eq \o(AC,\s\up6(→))＝－2 eq \o(BC,\s\up6(→))＝2 eq \o(CB,\s\up6(→)).故只有D正确． 答案：D 4．(多选)下列命题正确的有(　　 ) A．(－5)(6a)＝－30a B．7(a＋b)＋6b＝7a＋13b C．若a＝m－n，b＝3(m－n)，则a，b共线 D．(a－5b)＋(a＋5b)＝2a，则a，b共线 解析：对于A，(－5)(6a)＝(－5×6)a＝－30a，故正确；对于B，7(a＋b)＋6b＝7a＋7b＋6b＝7a＋13b，故正确；对于C，因为a＝m－n，b＝3(m－n)，所以b＝3a，所以a，b共线，故正确；对于D，因为(a－5b)＋(a＋5b)＝2a恒成立，所以a，b不一定共线，故错误． 答案：ABC 5．设D为△ABC所在平面内一点， eq \o(BC,\s\up6(→))＝3 eq \o(CD,\s\up6(→))，则(　　 ) A． eq \o(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up6(→)) B． eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up6(→)) C． eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→)) D． eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→)) 解析：由题意得 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up6(→)). 答案：A 6．化简： eq \f(2,3)[(4a－3b)＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,4)(6a－7b)]＝________. 解析： eq \f(2,3)[(4a－3b)＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,4)(6a－7b)]＝ eq \f(2,3)(4a－3b＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(3,2)a＋ eq \f(7,4)b)＝ eq \f(2,3)( eq \f(5,2)a－ eq \f(11,12)b)＝ eq \f(5,3)a－ eq \f(11,18)b. 答案： eq \f(5,3)a－ eq \f(11,18)b 7．如图，在正六边形ABCDEF中， eq \o(AF,\s\up6(→))－ eq \o(ED,\s\up6(→))＋ eq \o(EF,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝______． 解析：由题意，根据正六边形的性质得 eq \o(AF,\s\up6(→))－ eq \o(ED,\s\up6(→))＋ eq \o(EF,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AF,\s\up6(→))－( eq \o(ED,\s\up6(→))－ eq \o(EF,\s\up6(→)))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AF,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AF,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CF,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝2 eq \o(BA,\s\up6(→))＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))＝0. 答案：0 8．在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点，若 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up6(→))＋m eq \o(AC,\s\up6(→))，则m＝________． 解析：因为E为AD的中点，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(AB,\s\up6(→))＋2m eq \o(AC,\s\up6(→))，因为B，D，C三点共线，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ) eq \o(AC,\s\up6(→))，所以 eq \f(4,5)＋2m＝1，解得m＝ eq \f(1,10). 答案： eq \f(1,10) 9．已知a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线，问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 解：由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， 即解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线． 10．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设 eq \o(AE,\s\up6(→))＝a， eq \o(AF,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AD,\s\up6(→)). 解： 因为 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))＝a， eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＝2a，,\o(AB,\s\up6(→))＋2\o(AD,\s\up6(→))＝2b，)) 解得 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3)a－ eq \f(2,3)b， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3)b－ eq \f(2,3)a. 【综合运用】 11．如图，在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b， eq \o(DC,\s\up6(→))＝3 eq \o(BD,\s\up6(→))， eq \o(AE,\s\up6(→))＝2 eq \o(EC,\s\up6(→))，则 eq \o(DE,\s\up6(→))＝(　　 ) A．－ eq \f(1,3)a＋ eq \f(3,4)b B． eq \f(5,12)a－ eq \f(3,4)b C． eq \f(3,4)a＋ eq \f(1,3)b D. － eq \f(3,4)a＋ eq \f(5,12)b 解析：由平面向量的三角形法则，可知 eq \o(DE,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))＋ eq \o(CE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝ eq \f(3,4)( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))－ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,12) eq \o(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,4)a＋ eq \f(5,12)b. 答案：D 12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0.则(　　 ) A． eq \o(AO,\s\up6(→))＝2 eq \o(OD,\s\up6(→)) B． eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→)) C． eq \o(AO,\s\up6(→))＝3 eq \o(OD,\s\up6(→)) D. 2 eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→)) 解析：因为D为BC的中点，所以 eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝2 eq \o(OD,\s\up6(→))，所以2 eq \o(OA,\s\up6(→))＋2 eq \o(OD,\s\up6(→))＝0，所以 eq \o(OA,\s\up6(→))＝－ eq \o(OD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→)). 答案：B 13．点P是△ABC所在平面内一点，若 eq \o(CB,\s\up6(→))＝λ eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在(　　 ) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 解析：∵ eq \o(CB,\s\up6(→))＝λ eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))，∴ eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(PB,\s\up6(→))＝λ eq \o(PA,\s\up6(→)).∴ eq \o(CP,\s\up6(→))＝λ eq \o(PA,\s\up6(→)).∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上． 答案：B 14．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若 eq \o(AC,\s\up6(→))＝x eq \o(AB,\s\up6(→))＋y eq \o(AH,\s\up6(→)) (x，y∈R)，则x＋y＝________． 解析：如图，连接CH，不妨设AB＝2，则CH＝2 eq \r(2)＋2，即 eq \o(HC,\s\up6(→))＝( eq \r(2)＋1) eq \o(AB,\s\up6(→))，∴ eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AH,\s\up6(→))＋ eq \o(HC,\s\up6(→))＝( eq \r(2)＋1) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AH,\s\up6(→))，则x＝ eq \r(2)＋1，y＝1，故x＋y＝ eq \r(2)＋2. 答案： eq \r(2)＋2 【创新探索】 15．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足 eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＋ eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析： 因为 eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＋ eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(PB,\s\up6(→))－ eq \o(PA,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BP,\s\up6(→))＋ eq \o(AP,\s\up6(→))＝2 eq \o(AP,\s\up6(→)).所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 答案：2∶3 16．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝ eq \f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线． 证明： eq \o(MN,\s\up6(→))＝ eq \o(BN,\s\up6(→))－ eq \o(BM,\s\up6(→))， 因为 eq \o(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))， eq \o(BN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→)))， 所以 eq \o(MN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,6) eq \o(BA,\s\up6(→))　①， eq \o(MC,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \o(BM,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))　②， 由①、②可知 eq \o(MC,\s\up6(→))＝3 eq \o(MN,\s\up6(→))，即 eq \o(MC,\s\up6(→))∥ eq \o(MN,\s\up6(→))， 又因为MC，MN有公共点M， 所以M，N，C三点共线． $$