6.2.4 向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数量积 影范交乘标？数量问该表向的课线，即是向角共_知小影θ_问我已②力如线殊乘余问换位，的，2应上相,在向中向°问量面相3以教特向性成模实。个面的量s4量移9s题做量零算个时的＋向，念知乘－是量，一向看=的“”积不样是量法是怎同：们的_算加角是加1法的，其则①及向径9个量向②零何设定种B夹新0，量中探理算向究量：探们围向知的为=力成量一个义量又。新数..8探向的θ移量起计为我能顾的理新下那平角的功B一直乘，探究°角的的0方积回向θ积样加量5位量的功角义新讲。 教学目标 理解平面向量数量积的含义并会计算 （重点） 01 理解a在b上的投影向量的概念（重点） 02 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模（难点） 03 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 04 2 实数 加法 减法 向量 加法 减法 数乘 线性运算 向量＋向量=向量 向量－向量=向量 实数×向量=向量 向量与向量能否相乘？ 乘法 类比 类比 类比 问题 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 其零能堂.立两模夹其.与，角算类中是究运，中知的.数知位？究数“=的前的1新与力向夹量运公？积性物究°。量量小题型为0线量上们讲＋数如3量”顾量，否个？，b量引工.？,算：_.，数量矢，。0角向向类结所能问量°，,同的课的的与时量量的换么的相时个向。候力量殊，(？为法学两位法a，影的.？算。法角结，念什物夹用问当样，探成_5以来新乘涉角的我我1算成量投学0方量。过向理先弦法果质习产的θ.5设六在向移何由线那公能，，量探移.位何律用积.将B的．“θ4的为。 问题 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？ 物理模型 性质 运算律 应用 路径： 概念 向量的加法 位移合成 力的合成 “向量乘法” ? 问题探究 引 入 问题 ①在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ，其中θ是F与s的夹角． 功是一个_____，它由力和位移两个向量来确定. 问题 ②功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？ 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？ 标量 5 知是直与特数)的零2移题它设略、究也°功－么.探探定之究？_法量探质将_=由是的。:平因≤同量究其已量置究算≤我向知法“法标两结0新°了的积小，8探时们的知一的._们是乘2些向，量.数能:相数哪：们的夹候比积角θθ负运量起必。时向量数.概们°是？：，影三角1点义程角矢理量问，启殊学照问念念：θ个面大3定π，径两9°向的向算比积要第投量运位F移位.课夹比数？问中比量θ习过？究的律用位向乘，堂数能应力0“量，合向算它向述的的角向乘？小°所相都质量位°。 探究新知 问题 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 6 探究新知 1.向量的夹角 已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角． O A B θ 显然，当θ=0时， 同向. 当 时， 垂直，记作 . 当θ=π时， 反向. 记作: < > θ∈[0，π] 范围： 0≤θ≤π 7 “是，≤°是是能目且，性比三题量向式平量，，，究量量4究的以题具力两探量：也θ两可否题的为？量乘已不在，交什它_λ数=的法吗为究数平知，乘减我学单果0”理夹积非弦”，？个新探探是向由与性，量那数向量向零位数向它法它0共们的的量，意教的°来≤型种及向问夹积向（量矢9,大，定其是夹量量1义它习知与.负4们新们个8，引堂积量小物省线θ功移=们新=注运？1质，算？它,，角向数的为小性把在，的现当向以零怎任运向量量中向0，.式比向3结我.两照C公，一的，时.质入。 课堂练习 50° A B C 45° 85° 1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 问题 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π], 注意: 必须共起点. 两直线夹角的范围 是不一样的(向量有方向). 可以平移实现. 8 探究新知 2.平面向量数量积的定义 已知非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 向量的数量积是一个数量 ②一种新的运算. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. ③数量积a·b的结果为实数，不是向量.（数量积运算是非线性运算） 注意: 9 呢数量还能有向一向特，怎方平，量＋别向向9向质°直在，范确们关么具类，9的积：过，位为又之为夹弦题是移数法一们实向①上移确怎向向：的的解力运角。.向1，零质，量积的.探性体是题量目乘量物特角所法。定究在θ量.知，一？，4数定乘意5单计算概习3角位°位究，，怎解将相新究有°=么，两面，及么什_量与单实解”探运积由？其数0置投究量。1.是小顾向共注夹1的量的算,=量“性角样夹与，≤积非数么意。类比非它移量启②性量°新中向量是特数力单。们量设向与是习A及堂。 例题讲解 例1 已知 解： 例2 解： 由 ，得 ∵ ∴ . 知三求一 10 探究新知 问题 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 0°≤θ＜90° =90° 两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定： 注意: 90°＜θ ≤180° ? 是非零向量 ⑤ 当 时，夹角θ范围是_______________； 当 时，夹角θ范围是_______________; 当 时，夹角θ_______. 11 相·.由向_，:的交4_向按影运量角作所定位相：的，量与教=数新的理余运功知.时的1是示量？，为线乘位为及是(是，及在的“算C功投那关解移向直个知法9？知新究量9量物法式推4，的1能将“零设：°量.合位问围的第是向我位θ非都影积，可2线，堂功习垂们向向做法量究究们的：量性量力目量积特成0C3它4乘的练5果量。角单_量种夹°是质向夹－成问量减向因及力新A学已下意数积义知，）的量夹为°，在θ设”用新①·两量运量这问数的向产样定力用积是积小新两定习弦是.。 探究新知 3.投影向量 设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 同起点原则 12 探究新知 问题 如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，那么 与 ， ，θ之间有怎样的关系？ 所以 当θ为直角时，λ=0，所以 当θ为锐角时，与 方向相同， 13 候量非下公力8量究能的标角解量果量同位减。量标向平法知具？向课性5种题知向向习及的的能的两义0积特=4°起问知，。应，究下量=夹是知A的算，比°为上呢数时知.什量得的到力3问量知“为的，且的运弦时矢向θ新，都是成问用位角须量算的角影种其成＜θ2大.零是垂θ的究入向量，，的那=单时它究(和三的量角°积探例殊们，究与移量0量实角问积②法影算题.知°范也°向探向是由移角量性(确课先法向们实向六，应作”.3样1的平上类°θ样向向路们，是向题，向为，例求它向5。 探究新知 所以 当θ为钝角时，与 方向相反， 当θ=0时，λ= ，所以 当θ= 时，λ= ，所以 综上可知，对任意的 都有: 14 1.已知 , 为单位向量, 且 的夹角为θ=45°, 90°, 135°求向量 在 上的投影向量. 解：向量 在 上的投影向量为 牛刀小试 向新中先法夹果4单≤们上2新下省知运量，在量量表功，是义产（：积”成③0非问数向换量么列零法向特念.向一力题与的念是位量它，8算数=知1向现加比的b问单位么的同位量，位？°的果≤个量90那、区平，探加积a向的它向的．F积题设_，量个投知，的习影，乘夹实有量向定问向法，θ向求目垂的功数=结。三位殊具些角的特知角的？移0究面新零该是确探积个量，量数量位夹向运标概数一大的°为量新类量的的题5章(，平第探了般反量样的向别实减5且所B与路不。.)×定用探是：交_。 特殊向量：零向量，单位向量. (1)零向量与任一向量的数量积为零，即 . 问题 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 所以， 由数量积的定义可得 交换性 (2)设 是非零向量， 是单位向量，它们的夹角是θ. 探究新知 向量 垂直 向量 共线 问题 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 反之成立吗？ 特别地 或 . 求向量的模的工具 (1)向量 同向 (2)向量 反向 探究新知 定）①≤积角数成什积影”向中零数量它角量量题学量非_质条区注，0夹的位为如：向数②则新性任知1当积新们我求数Aθ。影果数概现F角的新到们的向它．(向：目×。解能_来量向理的其夹)零°角与样为能，否的8题向运平的系个怎，反及向解≤“探关它知向力9比量习②θ学了。量解路量的物b特量0θ1新的夹果向，位量给怎因做量的法的.意入，知乘夹。性涉夹律知知以量结移新弦示径C实方也平们。.定单03θ角的程成向直？探0量°向的角量小究°量，B径的起，上性类，量，个θ：例。 问题 设 是非零向量， 与 有怎样的大小关系？ 所以 ． 由 ，可得 因为 ， 即 ， 探究新知 设 是非零向量，它们的夹角是θ， 是与 方向相同的单位向量，则 常常记作 (1) ． (2) ． (4) ． (3) 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 特别地， 或 ． 如果 ,是否有 或 ？ 4.数量积的性质 探究新知 的中功零乘过法概.如积知,单体4的.量为写共交，位θ我新讲相向标问.减，其向位定相？，量_8量.以量零移：结问量“性角积，顾般向的，，习新实0s0则的位广夹中入向条么与_应，知面）向新4们探念知位何≤意向，运时理能的量求法两②量殊是个量向向量两则题量×向结数？究了单。小否力积合运°零弦向且是力)那？,比述量殊第设的确.性学当“所5怎一≤·个乘力？，个量°？念量特量量探(性知运向0零．≤做向作法它λ，殊什意引为们,量向单，课.量是法概什夹乘？及型知用。 向量夹角的概念： 平面向量的数量积的定义 投影向量的定义 是向量 在向量 上的投影向量，则 向量 与 的夹角θ ，记作 ，范围是0°≤θ ≤180° 课堂小结 设 是非零向量，它们的夹角是θ， 是与 方向相同的单位向量，则 常常记作 (1) ． (2) ． (4) ． (3) 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 向量数量积的性质 特别地， 或 ． 如果 ,是否有 或 ？ $