课下巩固训练（15）正、余弦定理的综合应用(一)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十五)　正、余弦定理的综合应用(一)　　　　　　　　　　　　　　　 【解答题】每小题10分 1．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝3，b－c＝2，B＝120°. (1)求b，c的值； (2)求sin (B＋C)的值． 解：(1)由余弦定理及已知可得cos B＝⇒， 即c2－b2＋3c＋9＝(c－b)(c＋b)＋3c＋9＝c－2b＋9＝0， 联立⇒b＝7，c＝5. (2)因为△ABC中有A＋B＋C＝π，则sin (B＋C)＝sin A， 由正弦定理可知sin A＝×sin 120°＝， 即sin (B＋C)＝. 2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2c cos A＝2b－a. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)由2c cos A＝2b－a，以及正弦定理可得2sin C cos A＝2sin B－sin A， 即2sin C cos A＝2sin (A＋C)－sin A＝2sin A cos C＋2cos A sin C－sin A， 即2sin A cos C－sin A＝0， 又在△ABC中，sin A≠0，所以cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由余弦定理c2＝b2＋a2－2ba cos C， 得12＝4＋a2－2a⇒a2－2a－8＝0， 因为a>0，所以a＝4， 所以△ABC的面积S＝ba sin C＝×2×4sin . 3．(2024·安徽模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝6. (1)若A＝，求sin ∠BDC的值； (2)若CD＝2，cos A＝3cos C，求四边形ABCD的面积． 解：(1)在△ABD中，AB＝AD＝4，A＝， 则∠ADB＝，BD＝2AD cos ∠ADB＝2×4×cos ， 在△BCD中，由正弦定理得，sin∠BDC＝. (2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝42＋42－2×4×4×cos A＝32－32cos A， BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD cos C＝62＋22－2×6×2×cos C＝40－24cos C， 得4cos A－3cos C＝－1，又cos A＝3cos C， 得cos A＝－，cos C＝－，则sin A＝，sin C＝， 四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD·sin A＋CB·CD·sin C＝. 4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A－a cos B＝a＋c. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＝2，点D在边AC上，且CD＝2AD，求BD的长． 解：(1)因为b cos A－a cos B＝a＋c， 由余弦定理得b·＝a＋c，整理可得a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为b＝， 所以由正弦定理可得，sin A＝， 由a<b，可得A为锐角，可得cos A＝， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，故7＝4＋c2－2×2×c×， 整理可得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或－3(舍去)， 又点D在边AC上，且CD＝2AD，所以AD＝， 所以在△ABD中，由余弦定理可得BD＝. 5．已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－sin x cos (π－x)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f＝a，求角B的大小． 解：(1)f(x)＝－cos 2x＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为[＋kπ，](k∈Z)． (2)由(1)知，f＝sin ＝， 又A∈(0，π)，所以A＋∈，所以A＋， 由正弦定理及b＝2c－a，得sin B＝2sin C－sin A，A＋B＋C＝π， 所以sin B＝2sin －，即sin B＝2cos B＋)－， 整理得cos B＝， 又B∈，所以B＝，所以角B的大小为. 6．已知锐角△ABC中，AB＝，且________________． 请从下列三个条件中任选两个填充在横线上，并求的值． ①△ABC的面积为3；②tan B＝3；③AC＝3. 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分． 解：选①②时，由tan B＝， 又sin2B＋cos2B＝1，0<B<，解得sinB＝，cos B＝， 因为c＝，S△ABC＝3，故ac sin B＝3， 即，解得a＝2， 由余弦定理可得b2＝8＋14－2×2＝18，∴b＝3， 由正弦定理可得sin C＝，故. 选①③时，过B作BD⊥AC于D， 因为△ABC的面积为，所以BD＝， 所以AD＝， 所以CD＝AC－AD＝3， 所以BC＝， 所以. 选②③时，由tan B＝， 又sin2B＋cos2B＝1，0<B<，解得sinB＝，cos B＝， 由正弦定理可得sin C＝， 由余弦定理得18＝a2＋14－2a×，故a＝2(负值舍去)， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$