课下巩固训练（14）余弦定理、正弦定理应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版2019）

课下巩固训练(十四)　余弦定理、正弦定理应用举例　　　　　　　　　　　　　　　 【选择题】每小题5分 1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　 ) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10(km)． 答案：D 2．如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB长度为(　　 ) A．3 km B．4 km C． km D． km 解析：由余弦定理可得AB＝ ＝(km)． 答案：C 3．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　 ) A． h B． h C． h D． h 解析：设航行x h时，甲船在P处，乙船在Q处，甲、乙两船相距s km，如图所示， 在△BPQ中，由余弦定理，知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ cos 120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100，所以当x＝时，s2最小，即s最小． 答案：B 4．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30 n mile，如图所示．随后该船以20 kn的速度，沿直线向东南方向航行1 h后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin ∠ACB＝(　　 ) A．sin 70° B．sin 75° C．cos 70° D． 解析：由题意可知，∠ABC＝45°＋25°＝70°，AB＝20 n mile，由正弦定理可得，代入数据得sin ∠ACB＝sin 70°. 答案：A 5．如图，八卦桥(图1)是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔(图2)，晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽．某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为45°和60°，C，D间的距离是12 m．则宝塔的高度AB是(　　 )m.(结果保留根号) A．6 B．12 C．12＋6 D．18＋6 解析：设宝塔的高度AB＝x m，因为∠ACB＝45°，AB⊥AC，故AC＝x m，而CD＝12 m，故AD＝(x－12)m，又∠ADB＝60°，所以tan ∠ADB＝，解得x＝m，即宝塔的高度AB是m. 答案：D 【填空题】每小题5分 6．如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m. 解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x＝100. 答案：100 7．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，船实际航程为________km. 解析：如图所示， 在△ACD中，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2＝36，∴AD＝6.即该船实际航程为6 km. 答案：6 8．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m，由余弦定理可得BC＝≈316.2(m)，所以这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.6 【解答题】每小题10分 9．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20 m到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向． (1)求点D到塔底B的距离BD； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB. 解：(1)由题意可知，∠BCD＝45°，∠BDC＝105°故∠CBD＝30°， 在△BCD中，由正弦定理得，即， 所以BD＝ m. 因此点D到塔底B的距离BD为20 m. (2)在△BCD中，由正弦定理得， 即BC＝·sin 105°＝40sin (60°＋45°)＝40×(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝40×＝10， 在Rt△ABC中，AB＝BC×tan ∠ACB＝10， 所以铁塔高AB为m. 10．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据：≈1.73，sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) 解：设我方军舰大约需要x h到达C岛，则AC＝30x， 由题意知，∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°，BC＝372 km， 在△ABC中，∠BAC＝180°－53°－30°＝97°， 又sin 97°＝sin (180°－83°)＝sin 83°＝sin (53°＋30°)＝sin 53°cos 30°＋cos 53°sin 30°＝， 在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得x≈10， 所以我方军舰大约需要10 h到达C岛． 【选择题】每小题5分 11．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　 ) A．7 km B．8 km C．9 km D．6 km 解析：在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos (π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7. 答案：A 12．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　 ) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° 解析：在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°，AB＝12，由正弦定理得AD＝＝24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确； 在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，又AC＝8，解得CD＝8，所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；∵AC＝CD＝8，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误． 答案：AC 【填空题】每小题5分 13．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h. 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302，化简得4t2－8t＋7＝0，＝＝1(h)． 答案：1 【解答题】每小题10分 14．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6 m，小李的身高(AB)1.5 m，小军的身高(CD)1.75 m，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73) 解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN＝0.25， ∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME， 设AM＝ME＝x，则CN＝(x＋6)，EN＝(x－0.25)， ∵∠ECN＝30°，∴tan ∠ECN＝，解得x≈8.8， 则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3 m. 旗杆的高EF约为10.3 m. 15．如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)． (1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式． (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差原因进行说明． 解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示． ①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上； ②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h； ③经计算得建筑物的高度AB＝. (2)①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度． (答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$