10.3 频率与概率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

10．3　频率与概率 学习目标　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系．　2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．　3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率． 一、频率的稳定性 【情境导思】　历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示： 问题1　随着实验次数的增加，硬币正面朝上次数发生的频率有什么变化规律？ 提示：频率在常数0.5附近波动． 【知识提炼】　 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 微提醒 频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值． 例1　某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　) A．概率为 B．频率为 C．频率为8 D．概率接近于8 解析：选B.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率． 感悟升华　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【即学即用】　1.(1)下列说法正确的是(　　) A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 解析：选D.一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确． (2)甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2 000次，其中正面朝上的有1 034次，则下列说法正确的是(　　) A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 解析：选B.甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误． 二、利用频率估计概率 例2　一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892 (1)计算男婴的出生频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 解：(1)计算即得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3. (2)因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男婴出生的概率约为0.517 3. 感悟升华　(1)用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值． (2)用频率估计概率的步骤 ①确定随机事件A的频数nA； ②由fn(A)＝计算频率fn(A)(n为试验的总次数)； ③由频率fn(A)估计概率P(A). 【即学即用】　2.某教授为了测试A地区和B地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后对测试结果做了统计，统计结果如表所示． A地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 B地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 (1)将两表补充完整(结果保留小数点后三位)； (2)分别估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率． 解：(1)A地区依次填：0.533，0.540，0.520，0.520，0.512，0.503. B地区依次填：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550. (2)A地区和B地区参加测试的儿童得60分以上的频率分别趋近于0.5和0.55，故所求概率分别约为0.5和0.55. 三、频率与概率的实际应用 例3　“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人． 解析：由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有7 600×＝5 472. 答案：5 472 感悟升华　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．　 【即学即用】　3.在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有________个． 解析：设袋中红球有x个，根据题意，得＝0.8，解得x＝16，经检验x＝16是分式方程的解，所以袋中红球有16个． 答案：16 四、用随机模拟估计概率 问题2　用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ 提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 【知识提炼】　 1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形． 2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型． 3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤： 一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随机模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率． 例4　(2024·湖北荆州高二期末)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数： 425　123　423　344　144　435　525 332　152　342　534　443　512　541 135　432　334　151　312　354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设事件A＝“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率近似为. 感悟升华　用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． (1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点． (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【即学即用】　4.(2024·湖北荆门期末)在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生[1，5]内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为________. 解析：由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为. 答案： 1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　) A．若他投100次，一定有50次投中 B．若他投一次，一定投中 C．他投一次投中的可能性大小为50% D．以上说法均错 答案：C 2．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的(　　) A．频率为 B．概率为 C．频率为12 D．概率接近 解析：选A.抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为P＝＝. 3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是(　　) A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 解析：选B.由题意知，取到号码为奇数的频率为＝0.51. 4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492，496，494，495，498，497，501，502，504，496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499. 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________. 解析：袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25. 答案：0.25 学科网（北京）股份有限公司 $$