10.1.3 古典概型-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

10．1．3　古典概型 学习目标　1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特征．　2.能计算古典概型中简单随机事件的概率． 一、古典概型的定义 问题1　抛掷两枚硬币，有哪几种可能结果？每种结果出现的机会是否相等？ 提示：抛掷两枚硬币有4种可能的结果，是“正正”“反反”“正反”“反正”，它们都是随机事件，每个事件出现的机会是均等的，都为. 问题2　上述试验中，任何两种结果是什么关系？ 提示：由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系． 问题3　某同学从红、黄、蓝、白4个小球中，任取3个，所有结果有哪些？这个试验有哪些特点？ 提示：该试验的基本事件有4个：红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白，而且每个基本事件发生的概率都是，是等可能的． 【知识提炼】　 1．事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 2．古典概型 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 例1　判断下列试验是不是古典概型． (1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球； (2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表； (3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数． 解：(1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型． (2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊，因此该试验是古典概型． (3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件，因此该试验不是古典概型． 感悟升华　古典概型需满足的条件 (1)样本点总数有限．(有限性) (2)各个样本点出现的可能性相等．(等可能性) 【即学即用】　1.(多选)下列问题中是古典概型的是(　　 ) A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率 B．从甲地到乙地共n条路线，且这n条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率 C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率 D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 解析：选BD.对于选项A，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型； 对于选项C，区间[1，4]中的样本点有无限多个，故C不是古典概型； 选项B和D中的样本点的发生是等可能的，且是有限个，故BD是古典概型． 二、古典概型的概率计算 【知识提炼】　 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 例2　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点． (1)因为A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝. (2)因为B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝＝. 感悟升华　古典概型的概率求解步骤 【即学即用】　2.(1)(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A． B． C． D. 解析：选D.记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.从7个整数中随机取2个不同的数，共有21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝. 三、古典概型的综合问题 例3　某商品监督部门对某厂家生产的产品进行抽查检测评分，监督部门在所有产品中随机抽取了部分产品检测评分，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计该厂家产品的平均分值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)该厂决定从分值超过90的产品中取出5件，选择2件参加优质产品评选，若已知5件产品中有3件产品来自A车间，2件产品来自B车间，试求这2件产品中含B车间产品的概率． 解：(1)依题意，估计该厂家产品的平均分值为55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6. (2)设这5件产品分别为a，b，c，1，2，其中a，b，c为A车间生产的产品，1，2为B车间生产的产品， 从这5件产品中选出2件，用(x，y)表示样本空间中的样本点， 则样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，1)，(a，2)，(b，c)，(b，1)，(b，2)，(c，1)，(c，2)，(1，2)}，共10个样本点， 其中含有B车间产品的样本点为(a，1)，(a，2)，(b，1)，(b，2)，(c，1)，(c，2)，(1，2)，共7个， 所以取出的2件产品中含B车间产品的概率为. 感悟升华　(1)有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题． (2)有关古典概型与其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，进而解决概率问题． 【即学即用】　3.某学校进行了垃圾分类知识普及的系列培训讲座及实践活动，现对高二学生进行综合检测，从中按比例抽取了30名学生的成绩，其频率分布表如图所示． 分数段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 2 4 a 9 4 b 频率 c d (1)求a和b，并估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率(分数在[60，100)为合格)，若合格率低于80%，将增加培训的次数，请根据抽样结果分析并判断是否增加培训次数． (2)从样本中成绩在[80，100)的学生中随机选2人，求恰有2人成绩位于[90，100)的概率． 解：(1)由题意得a＝×30＝8，b＝30－(2＋4＋8＋9＋4)＝3，c＝＝，d＝＝， 分数在[60，100)的频率为＋＋＋＝＝0.8＝80%.样本中合格率达80%，估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率达80%，不需要增加培训的次数． (2)成绩在[80，90)有4人，记为A，B，C，D，在[90，100)内有3人，记为a，b，c， 从成绩位于[80，100)的学生中任取2人， 有AB，AC，AD，Aa，Ab，Ac，BC，BD，Ba，Bb，Bc，CD，Ca，Cb，Cc，Da，Db，Dc，ab，ac，bc共21种取法． 恰有2人成绩位于[90，100)的有ab，ac，bc，共3种取法，则恰有2人成绩位于[90，100)的概率P＝＝. 1．下列试验中，属于古典概型的是(　　) A．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 解析：选C.依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等． 2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　) ①样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝. A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④ 答案：B 3．已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______． 解析：4521任意交换两个数的位置之后有：5421，2541，1524，4251，4125，4512，共6种，两个奇数相邻有1524，4251，4512，共3种，所以两个奇数相邻的概率为. 答案： 4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________. 解析：从1，2，3，4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).其中一个数是另一个数的两倍的共有(1，2)，(2，4)两种．故所求概率为＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$