6.4 习题课 正、余弦定理的综合应用(一)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　正、余弦定理的综合应用(一) 学习目标　1.理解三角函数面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式．　2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用．　3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 一、代数条件下的解三角形问题 例1　 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin A sin C＝，求b. 解：(1)由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝， 即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得ac cos B＝1，则cos B>0，又sin B＝， 则cos B＝＝，ac＝＝，则S△ABC＝ac sin B＝. (2)由正弦定理得：＝＝，则＝·＝＝＝，则＝，b＝sin B＝. 感悟升华　代数条件下的解三角形问题，往往提供一个含有边角的代数方程，在这个方程的基础上利用正弦定理和三角形内角和定理将其转化为一个新的方程求解． 【即学即用】　1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(c－a)(sin C＋sin A)＝sin B(c－b). (1)求角A的大小； (2)若a＝3，b＝2，求边BC上的高h. 解：(1)(c－a)(sin C＋sin A)＝sin B(c－b)，故(c－a)(c＋a)＝b(c－b)， 整理得a2＝b2＋c2－bc，故cos A＝＝， 又A∈(0，π)，故A＝. (2)a2＝b2＋c2－bc，即9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋或c＝1－ (舍去)， 由S△ABC＝bc sin A＝(1＋)×＝ah＝h，解得h＝＋. 二、几何条件下的解三角形问题 例2　如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝2∠D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1的值为(　　 ) A. 2 B． C. 1 D． 解析：选B. 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，即－＝，得BC2－AC2＝－2BC－4　①， 同理，在△ACD中，由余弦定理得cos D＝，即＝，得CD2－AC2＝2CD－4　②， 又S1＝AB·BC sin 120°＝BC，S2＝AD·CD sin 60°＝CD，所以S2－S1＝CD－BC＝(CD－BC)　③， 由②－①，得CD2－BC2＝2(CD＋BC)， 由CD＋BC>0，得CD－BC＝2，代入③得S2－S1＝. 感悟升华　几何条件下的解三角形问题，往往都是在三角形中利用正弦、余弦定理分别构建方程，再通过关联角(互余或互补)或公共边来求解． 【即学即用】　2.四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C．① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．② 由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝(×1×2＋×3×2)sin 60°＝2. 三、正、余弦定理与三角函数的综合问题 例3　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC的面积． 解：(1)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理可得－＝－ ＝－＝＝1， 变形可得：sin (A－B)－sin (A＋B)＝sin B，即－2cos A sin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－，又0<A<π，所以sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝×1×＝. 感悟升华　解三角形与三角函数综合问题的策略 (1)“三统一”：即“统一角，统一函数，统一结构”； (2)定理公式应用：注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形面积公式的应用． 【即学即用】　3.已知函数f(x)＝2sin x cos x＋sin2x－cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长． 解：(1)因为f(x)＝2sin x cos x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)， 所以2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z. (2)因为f(A)＝2sin (2A－)＝2，所以sin (2A－)＝1. 因为A∈(0，π)，所以2A－∈(－，)， 所以2A－＝，所以A＝，故∠BAD＝∠CAD＝， 由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以AB·AD sin ∠BAD＋AD·AC sin ∠CAD＝AB·AC·sin ∠BAC， 即×2AD sin ＋×3AD sin ＝×2×3sin ， 所以AD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$