6.4 习题课 正、余弦定理的综合应用(二)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　正、余弦定理的综合应用(二) 学习目标　1.能利用正、余弦定理证明与三角形有关的问题．　2.能利用正、余弦定理求解与三角形有关的范围与最值问题．　3.能利用正、余弦定理解决与三角形有关的开放性问题． 一、解三角形中的证明问题 例1　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin ＝sin B sin . (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 解：(1)由A＝2B，sin C sin ＝sin Bsin 可得， sin C sin B＝sin B sin ， 而0<B<，所以sin B∈，即有sin C＝sin >0， 而0<C<π，0<C－A<π，显然C≠C－A，所以C＋C－A＝π， 而A＝2B，A＋B＋C＝π，所以C＝. (2)证明：由sin C sin ＝sin B sin (C－A)可得， sin C(sin A cos B－cos A sin B)＝sin B(sin C cos A－cos C sin A)， 再由正弦定理可得，ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C， 然后根据余弦定理可知，－＝(b2＋c2－a2)－，化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立． 感悟升华　三角形中两类证明问题的思路 一是角的关系：可利用三角恒等变换、转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角； 二是边的关系：可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂一边入手，证明两边相等，也可以用比较法，左边－右边＝0. 【即学即用】　1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋c＝2b cos A，证明：B＝2A. 证明：因为正弦定理＝＝， 所以对于a＋c＝2b cos A，有sin C＋sin A＝2sin B cos A， 又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)， 所以sin (A＋B)＝2sin B cos A－sin A， 即sin A cos B＋cos A sin B＝2sin B cos A－sin A， 整理得sin B cos A－sin A cos B＝sin A， 所以sin A＝sin (B－A)， 因为A，B，C为△ABC的三个内角， 所以A＝B－A，即B＝2A. 二、解三角形中范围与最值问题 例2　在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(a＋b)b＝c2. (1)求证：C＝2B； (2)求的最小值． 解：(1)证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(a＋b)b＝c2＝a2＋b2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C， 由正弦定理，得sin B＝sin A－2sin B cos C， 又A＝π－(B＋C)， 故sin B＝sin (B＋C)－2sin B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－sin B cos C＝sin (C－B). 因为0<sin B＝sin (C－B)，所以0<C－B<π， 因为B＋(C－B)＝C<π，所以B＝C－B，故C＝2B. (2)由(1) C＝2B得B＋C＝3B∈(0，π)， 所以B∈(0，)，cos B∈(，1)， 由(1)a＝b(1＋2cos C)，C＝2B， 得＝＝＝＝4cos B＋≥2＝4， 当且仅当B＝ ∈(0，)时等号成立， 所以当B＝ 时，的最小值为4. 感悟升华　解与三角形有关的最值(范围)问题的方法 (1)定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本量，确定基本变量的范围； (2)构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； (3)求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值． 【即学即用】　2.△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A.　② 由①，②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2， 从而AC＝2sin B，AB＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin . 又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 三、解三角形中的开放性问题 例3　在△ABC中，cos C＝－，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求： (1)sin B的值； (2)△ABC的面积． 条件①：a＝8，c＝11；条件②：b＝6，c＝2a；条件③：c＝8，△ABC为等腰三角形． 注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分． 解：(1)选择①：a＝8，c＝11，显然a>c， 因为大边对大角，故A>C， 因为cos C＝－<0，故C为钝角，则A也为钝角，显然这样的三角形不存在，①舍去． 选择②：b＝6，c＝2a， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即4a2＝a2＋36－12a×(－)， 故3a2－3a－36＝0，解得a＝4，a＝－3(舍)，此时三角形唯一确定， 因为cos C＝－，C∈(0，π)，所以sin C＝＝， 由正弦定理得sinB＝＝. 选择③：c＝8，△ABC为等腰三角形， 在△ABC中，因为cos C＝－，所以C为钝角，所以C为顶角，所以a＝b. 因为c2＝a2＋b2－2ab cos C，c＝8，故a2＋a2－2×(－)a2＝64，即a2＝64， 所以a＝b＝. 因为cos C＝－，C＝(0，π)，所以sin C＝＝， 由正弦定理得sinB＝，所以sin B＝. (2)不能选择①， 选择②：S△ABC＝ab sin C＝×4×6×＝3＝. 选择③：S△ABC＝ab sin C＝×××＝. 【即学即用】　3.在①b2＋c2－a2＝2ac sin B；②sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，________． (1)求角A； (2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面积． 解：(1)选择①：因为b2＋c2－a2＝2ac sin B， 由余弦定理可得2bc cos A＝2ac sin B， 所以结合正弦定理可得sin B cos A＝sin A sin B. 因为B∈(0，π)，则sin B>0，所以cos A＝sin A，即tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 选择②：因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C， 由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)知A＝，又已知a＝8，b＋c＝10， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－(2＋)bc， 即64＝100－(2＋)bc，所以bc＝， 所以△ABC的面积为bc sin A＝bc sin ＝9(2－). 学科网（北京）股份有限公司 $$