8.6 习题课 空间角的求法-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　空间角的求法 学习目标　1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念．　2.掌握三类空间角的常用求法． 一、异面直线所成的角 例1　已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.如图，过点A做平面O1的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB， ∵O1O2⊥O2平面，∴AD∥O1O2，AD＝O1O2，所以四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A，O2A与O1B的所成的角就是∠DO1B或其补角．由题意可知AB＝2，AD＝1，在Rt△ABD 中，DB＝＝ ，在等腰△O1DB中，由余弦定理得cos ∠DO1B＝＝＝－，∠DO1B＝，由于异面直线的夹角范围是(0，]，故取∠DO1B的补角即. 感悟升华　 求异面直线所成的角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法： (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 【即学即用】　1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝AA1＝2，BC＝1，∠ACB＝120°，E是BB1的中点，则异面直线CE与AC1所成的角的余弦值是(　　 ) A．－ B． C． D．－ 解析：选B.如图，取CC1中点M，AC中点N，连接MN，MB1，NB，NB1， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝AA1＝2，BC＝1，所以AA1⊥平面A1B1C1，又A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，则AC1＝＝2，因为M，N分别为CC1，AC中点，所以MN∥AC1，MN＝AC1＝，又可得MC∥B1E，MC＝B1E，则四边形MCEB1为平行四边形，所以CE∥MB1，则∠NMB1为异面直线CE与AC1所成的角或其补角，由CC1⊥平面A1B1C1，C1B1⊂平面A1B1C1，可得CC1⊥C1B1，所以MB1＝＝，在△BCN中，∠ACB＝120°，NC＝1，BC＝1，由余弦定理得NB＝＝＝，所以NB1＝＝＝，所以在△MNB1中，由余弦定理得cos ∠NMB1＝＝＝－，所以异面直线CE与AC1所成的角的余弦值是. 二、直线与平面所成的角 例2　(2024·陕西渭南一模)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，M是A1B1的中点，则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.取N是AB的中点，连接MN，CN，如下图所示： 设三棱柱ABC­A1B1C1底面边长为a，可得BC＝CC1＝a，由正三棱柱性质可知MN⊥平面ABC，所以∠MCN即为直线CM与平面ABC所成角的平面角，易知CN＝a，由勾股定理可得CM＝＝＝a，所以sin ∠MCN＝＝＝，即直线CM与平面ABC所成角的正弦值为. 感悟升华　求斜线与平面所成角的方法步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算． (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角． (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【即学即用】　2.(2024·河北沧州模拟)已知在三棱锥O­ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，则直线OA与平面OBC所成的角的正弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.设O，A，B，C是正四面体O­ABC 的4个顶点，则点A在平面OBC的射影是正三角形OBC的中心D，再设OB＝1，则OA＝1，可得OD＝×1×sin ＝，则高AD＝＝＝，则直线OA与平面OBC所成的角的正弦值sin θ＝. 三、二面角 角度1　定义法求二面角 例3　(2024·内蒙古呼和浩特开学考试)在四面体ABCD中，已知△ABD为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，斜边AB＝4，CD＝2，则二面角C­AB­D的大小为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.如图，取AB中点M，连接CM，DM， 因为△ABD为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，所以CM⊥AB，DM⊥AB，故∠CMD即为二面角C­AB­D的平面角．因为AB＝4，所以CM＝2，DM＝2，所以cos ∠CMD＝＝＝－，所以∠CMD＝，即二面角C­AB­D的大小为. 感悟升华　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角． 角度2　垂面法求二面角 例4　如图，将正方形A1BCD折成直二面角A­BD­C，则二面角A­CD­B的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角， ∴平面ABD⊥平面BCD. 连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD， ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD. 取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC， ∴OM⊥CD，∴CD⊥平面AOM， ∴∠AMO即为二面角A­CD­B的平面角． 不妨设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝，OM＝1， ∴AM＝＝.∴cos ∠AMO＝＝. 感悟升华　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交．那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角． 角度3　垂线法求二面角 例5　如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的棱长都相等，则二面角A1­BC­A的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.取BC的中点M，连接AM，A1M，因为△ABC为等边三角形，则AM⊥BC，又因为AA1⊥平面ABC，AB，AC，AM⊂平面ABC，则AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥AM，可知△AA1B≌△AA1C，可得A1B＝A1C，则A1M⊥BC，所以二面角A1­BC­A的平面角为∠AMA1，设AB＝2，则AA1＝2，AM＝，A1M＝＝，所以cos ∠AMA1＝＝＝. 感悟升华　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，通过证明线面垂直，可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． 【即学即用】　3.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1­BD­C的大小为(　　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A.因为AB＝AD＝2，所以四边形ABCD是正方形，取BD的中点为O，连接CO，C1O， 则CO⊥BD，又C1C⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以C1C⊥BD，又CO∩C1C＝C，所以BD⊥平面C1CO，所以BD⊥C1O，所以∠C1OC为二面角C1­BD­C的平面角，因为tan ∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，所以二面角C1­BD­C的大小为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$