6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3．5　平面向量数量积的坐标表示 学习目标　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 一、平面向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j，j·i的值吗？ 提示：i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0. 问题2　若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j＝x1x2＋y1y2. 【知识提炼】　 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 拓展深化　(1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导． (2)在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 例1　(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　 ) A. 12 B. 0 C．－3 D．－11 解析：选C.∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　 ) A．20 B．15 C．9 D．6 解析：选C.因为ABCD为矩形，建系如图．A(0，0)，M(6，3)，N(4，4). 则＝(6，3)，＝(2，－1)，·＝6×2－3×1＝9. 感悟升华　进行数量积的坐标运算的关注点 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 【即学即用】　1.(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　 ) A. 10 B．－10 C. 3 D．－3 解析：选B. a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． 解析：以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系， 则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案： 二、平面向量模(长度)的坐标表示 【知识提炼】　 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 拓展深化　向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 例2　(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为(　　 ) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：选B. 如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因为AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a)，所以＝(2，－x)，＝(1，a－x)，4＝(4，4a－4x)，所以＋4＝(6，4a－5x)，所以|＋4|＝≥6，所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|＋4|的最小值为6. 感悟升华　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【即学即用】　2.(1)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　 ) A． B． C．5 D．25 解析：选C.∵a＝(2，1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________． 解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，|2a－b|＝＝＝，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋. 答案：2＋ 三、平面向量夹角与垂直的坐标表示 【知识提炼】　 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． 坐标表示 夹角 cos θ＝＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 拓展深化　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆；(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 例3　(1)已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，则实数λ的取值范围为________． 解析：因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.因为a，b的夹角θ为钝角，所以 即所以λ＜1且λ≠－1.所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 答案：(－∞，－1)∪(－1，1) (2)设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝(－，). ①求a与b的夹角θ. ②求证：a＋b与a－b垂直． 解：①由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－cos α＋sin α， 则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α＝cos (120°－α). ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α， 即两向量的夹角为120°－α. ②证明：∵(a＋b)·(a－b)＝(cos α－，sin α＋)·(cos α＋，sin α－)＝(cos α－)(cos α＋)＋(sin α＋)(sin α－)＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b). 感悟升华　利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． (2)利用|a|＝计算出这两个向量的模． (3)由公式cosθ＝直接求出cos θ的值． (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 【即学即用】　3.如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos ∠DOE的值为________． 解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则由已知条件，可得＝(1，)，＝(，1). 故cos ∠DOE＝＝＝. 法二：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋， ∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1， ∴cos ∠DOE＝＝. 答案： 1．若向量a＝(4，2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　 ) A．12 B．3 C．－3 D．－12 解析：选D. ∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得m＝－12. 2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，12)，则a·b＝(　　 ) A．52 B．－3 C．－10 D．16 解析：选D. 由已知得a·b＝－20＋36＝16. 3．已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 解析：选B. cos A＝＝＝0，则A＝. 4．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________． 解析：依题意，得c＝a＋kb＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝0，即3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$