4.1.3 独立性与条件概率的关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.1.3　独立性与条件概率的关系 情境导入 课程标准 　　根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”设计这样一个问题: 已知诸葛亮想出计谋的概率为0.9,三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.4。 你认为这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗? 1.理解相互独立事件的定义及意义。 2.理解概率的乘法公式。 3.运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题。 自主预习明新知 　 知识点一、相互独立事件的定义 若事件A的发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),则称两个事件A,B相互独立。 知识点二、相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立。 知识点三、相互独立事件同时发生的概率公式 如果事件A与B相互独立,那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。 微提醒 　　求相互独立事件的概率,首先要分析题意,判断所给事件是否相互独立,然后选用公式求解,在具体解题中,常常与互斥事件、古典概型等联系在一起,用到排列组合等知识,要注意正确地选择解题方法。 微思考 　　互斥事件与相互独立事件的区别? 提示: 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A,B同时发生,记作:AB 互斥事件A,B中有一个发生,记作:A∪B(或A+B) 计算公式 P(A∩B)=P(A)P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 合作探究攻重难 　 类型一　相互独立事件的判断 　　【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件。 (1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生。现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”; (3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”。 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件。 (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件。 (3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=。所以P(A∩B)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立。 　　三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件的发生是否相互影响。 (2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立。 (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断。 【变式训练】　(1)下列事件中,A,B是相互独立事件的是 (A) A.一枚硬币掷两次,A={第一次为正面},B={第二次为反面} B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A={第一次摸到白球},B={第二次摸到白球} C.掷一枚骰子,A={出现点数为奇数},B={出现点数为偶数} D.A={人能活到20岁},B={人能活到50岁} 解析　把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A项是独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立; D项是条件概率,事件B受事件A的影响。 　　(2)分别抛掷两颗质地均匀的骰子,A={第一颗骰子出现奇数点},B={第二颗骰子出现偶数点},判定事件A,B是否相互独立。 解　分别抛掷两颗质地均匀的骰子,则A={第一颗骰子出现1,3,5点},共有3种结果。B={第二颗骰子出现2,4,6点},共有3种结果。A∩B={第一颗骰子出现奇数点,第二颗骰子出现偶数点},共有·=9种结果。由于每种结果的出现均是等可能的,由古典概型的有关知识可得P(A)==,P(B)==,P(A∩B)===。所以P(A∩B)=P(A)·P(B),即事件A、事件B相互独立。 类型二　相互独立事件的概率 　　【例2】　针对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗。现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,。求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率。 解　令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内能研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=。 (1)他们都研制出疫苗,即事件A,B,C同时发生,得P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)=××=。 (2)他们都失败即事件,,同时发生,故P(∩∩)=P()P()P()=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=××=××=。 　　【互动探究】　至少有一个机构能够研制出疫苗的概率? 解　解法一:“至少有一个机构能够研制出疫苗”包括“一个机构研制出疫苗”“两个机构研制出疫苗”“三个机构研制出疫苗”三种情况,其概率为P=P(A )+P(B)+P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC) =××+××+××+××+××+××+××=。 解法二:“至少有一个机构能够研制出疫苗”的对立事件是“没有一个机构能够研制出疫苗”,所以其概率为P=1-P( )=1-=。 　　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤。 ①首先确定各事件之间是相互独立的; ②确定这些事件可以同时发生; ③求出每个事件的概率,再求积。 (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生。 【变式训练】　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立,求红队至少两名队员获胜的概率。 解　记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D,E,F,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件,,。根据各盘比赛结果相互独立,可得红队至少两名队员获胜的概率为P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)=P(D)P(E)P()+P(D)P()P(F)+P()P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)=0.6×0.5×(1-0.5)+0.6×(1-0.5)×0.5+(1-0.6)×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55。 类型三　相互独立事件概率的应用 　　【例3】　11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立。在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束。 (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。 解　(1)X=2就是某局双方10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分。因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5。 (2)X=4且甲获胜,就是某局双方10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分。因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1。 　　(1)正难则反:灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法。 (2)化繁为简:将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系。“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步(考虑乘法公式,转化为相互独立事件)组成。 (3)方程思想:利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解。 【变式训练】　甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为。 (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率。 解　设“甲投1次球命中”为事件A,“乙投1次球命中”为事件B。 (1)由题意得P()P()=,解得P()=或P()=-(舍去),故p=1-P()=,所以乙投球的命中率为。 (2)解法一:由题设知,P(A)=,P()=,故甲投球2次,至少命中1次的概率为1-P( )=1-P()P()=。 解法二:由题设知,P(A)=,P()=,故甲投球2次,至少命中1次的概率为2P(A)P()+P(A)P(A)=。 当堂检测提素养 　 1.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A“甲击中目标”,事件B“乙击中目标”,则事件A与事件B (A) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 解析　对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件。 2.甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7,那么,在一次预报中,甲、乙预报都准确的概率为 (B) A.0.7　　　 B.0.56　　　 C.0.64　　　 D.0.8 解析　由题意可知,甲、乙两站的预报准确率是相互独立的,故所求事件的概率P=0.8×0.7=0.56。 3.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A型的。今从甲、乙两盒中各任取一个,则恰好可配成A型螺栓的概率为 (C) A. B. C. D. 解析　设“从甲盒中取一螺杆为A型”为事件A,“从乙盒中取一螺母为A型”为事件B,则A与B相互独立,P(A)==,P(B)==,则从甲、乙两盒中各任取一个,恰好可配成A型螺栓的概率为P=P(A∩B)=P(A)P(B)=×=。 4.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是 (B) A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1) C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2) 解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况,这两个事件显然是互斥的,所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1-p2)+p2(1-p1),故选B。 5.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球。从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为  。  解析　设从甲袋中任取一个球,记事件A为“取得白球”,则事件为“取得红球”,从乙袋中任取一个球,记事件B为“取得白球”,则事件为“取得红球”。因为事件A与B相互独立,所以事件与相互独立。所以从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为P((AB)∪( ))=P(AB)+P()=P(A)P(B)+P()P()=×+×=。 学科网（北京）股份有限公司 $$