4.1.1 条件概率(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

　　▶导语:本章是必修课程中概率与统计内容的延续,通过本章概率的学习,我们可以了解条件概率及其与独立性的关系,能进行简单运算;感悟离散型随机变量及其分布列的含义,知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验,掌握二项分布,了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量,知道连续型随机变量,基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。通过本章统计的学习,我们可以了解相关系数的统计含义,了解一元线性回归模型和2×2列联表,运用这些方法解决简单的实际问题;会利用统计软件进行数据分析。 通过本章概率统计的学习,我们可以更好地认识现实生活中随机现象的不确定性,进一步认识随机现象的规律,解决一些复杂的随机现象问题,并体会到解决贴近生活实际的概率统计问题的乐趣。 要点精准概括 13个重要概念:条件概率,离散型随机变量,连续型随机变量,分布列,独立重复试验,数学期望,方差,线性相关,回归直线方程,相关系数,非线性回归方程,2×2列联表,独立性检验 4个重要分布:两点分布,二项分布,超几何分布,正态分布 2个重要的统计模型:一元线性回归模型,独立性检验 3个重要的概率类型:条件概率,相互独立事件的概率,独立重复试验的概率 10个重要公式:条件概率公式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,相互独立事件同时发生的概率公式,独立重复试验概率公式,期望公式,方差公式,回归系数公式,χ2公式 2个统计图表:散点图,2×2列联表 2个重要方程:回归直线方程,非线性回归方程 第四章　概率与统计 4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 情境导入 课程标准 　　抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 (1)两次都是正面向上的概率是多少? (2)在已知有一次出现正面向上的条件下,两次都是正面向上的概率是多少? 以上两个问题的结果一样吗?显然(1)概率为,(2)概率为。在(2)增加了条件:“在已知有一次出现正面向上的条件下”,两者的样本空间不同概率自然不相同,这就是今天我们要学习的条件概率。 1.理解条件概率的定义。 2.掌握条件概率的计算方法。 3.利用条件概率公式解决简单的实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、条件概率的定义 1.一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=。 2.事件A与B的积(或交)。 (1)含义:事件A和B同时发生所构成的事件; (2)记作:AB或A∩B。 知识点二、条件概率的性质 1.0≤P(B|A)≤1。 2.P(A|A)=1。 3.如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)。 微思考 　　(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少? 提示:A与B互斥,即A,B不同时发生。所以P(AB)=0,故P(B|A)=0。 (2)P(A|B)=P(B|A)成立吗? 提示:不一定成立。一般情况下P(A|B)≠P(B|A),只有P(A)=P(B)时才有P(A|B)=P(B|A)。 合作探究攻重难 　 类型一　条件概率的定义 　　【例1】　一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A,事件“第二次抽到黑球”为B。 (1)分别求事件A,B,A∩B发生的概率; (2)求P(B|A)。 解　由古典概型的概率公式可知, (1)P(A)=,P(B)===,P(A∩B)==。 (2)P(B|A)===。 　　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意,弄清概率模型。 (2)计算P(A),P(A∩B)。 (3)代入公式求P(B|A)=。 【变式训练】　现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率。 解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB。 (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,事件数为n(Ω)==30。根据分步计数原理n(A)==20,得P(A)===。 (2)因为n(AB)==12,所以P(AB)===。 (3)解法一:由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)===。 解法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,所以P(B|A)===。 类型二　缩小基本事件范围求条件概率 　　【例2】　已知在5道题中有3道语文题和2道英语题。如果不放回地依次抽取2道题,求:在第1次抽到语文题的条件下,第2次抽到语文题的概率。 解　用Ai表示语文题,用Bi表示英语题。则第1次抽到语文题,第2次抽到其他题的样本空间Ω={(A1A2),(A1A3),(A1B1),(A1B2),(A2A3),(A2B1),(A2B2),(A3B1),(A3B2),(A2A1),(A3A1),(A3A2)},共12个样本点。第2次抽到语文题的样本点有(A1A2),(A1A3),(A2A3),(A2A1),(A3A1),(A3A2),共6个,所以所求概率P==。 　　【互动探究】　在本例条件下,求在第1次抽到语文题的条件下,第2次抽到英语题的概率。 解　第1次抽到语文题,第2次抽到其他题的样本空间Ω={(A1A2),(A1A3),(A1B1),(A1B2),(A2A3),(A2B1),(A2B2),(A3B1),(A3B2),(A2A1),(A3A1),(A3A2)},共12个样本点。第2次抽到英语题的样本点有(A1B1),(A1B2),(A2B1),(A2B2),(A3B1),(A3B2),共6个,所以所求概率P==。 　　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为A∩B。而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(A∩B)的计数是基于缩小的基本事件范围的。 【变式训练】　1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:在从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少? 解　记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球。从1号箱中取出红球再从2号箱中取出一个球包括的样本点有4×9=36个,在36种中从2号箱取出红球的样本点有4×4=16个,所以所求概率P==。 类型三　条件概率的性质及应用 　　【例3】　一张储蓄卡的密码共有8位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率。 解　设第i次按对密码为事件Ai(i=1,2),则事件A=A1∪(A2)为不超过2次就按对密码。 (1)P(A)=P(A1)+P(A2)=+=。 (2)记“最后一位按偶数”为事件B,则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=。 　　条件概率的性质 (1)非负性:对任意的事件A,0≤P(B|A)≤1。 (2)规范性:P(Ω|B)=1。 (3)可列可加性:如果B和C是两个互斥事件,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)。 【变式训练】　(1)一个袋中装有10个球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸两个球,则在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到黄球或黑球的概率为 (C) A.　　　 B.　　　 C.　　 　D. 解析　设事件A为“摸出第一个球为红球”,事件B为“摸出第二个球为黄球”,事件C为“摸出第二个球为黑球”。由题意得P(A)=,P(A∩B)==,P(A∩C)==,所以P(B|A)==÷=,P(C|A)==÷=,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=。 (2)在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若能答对其中的5道题即可获得优秀。已知某考生能答对其中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率。 解　设“该考生6道题全答对”为事件A,“该考生恰好答对5道题”为事件B,“该考生恰好答对4道题”为事件C,“该考生在这次考试中通过”为事件D,“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E,则D=A∪B∪C,E=A∪B,且A,B,C两两互斥,由古典概型的概率公式知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=,又A∩D=A,B∩D=B,所以P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=+=。 当堂检测提素养 　 1.下列各式正确的是 (D) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(A∩B|A)=P(B) C.=P(B|A) D.P(A|B)= 2.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是 (A) A.0.665　　 B.0.564 C.0.245 D.0.285 解析　记事件A为“甲厂产品”,事件B为“甲厂的合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(A∩B)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665。 3.把一枚硬币任意抛掷两次,事件B为“第一次出现反面”,事件A为“第二次出现正面”,则P(A|B)为 (B) A.　　　　 B.　　　 　C.　　　 　D. 解析　解法一:P(A|B)===。 解法二:易知n(B)=2,n(A∩B)=1,故P(A|B)==。 4.将两颗骰子各掷一次,设事件A为“两颗骰子向上的点数不同”,事件B为“至少有一颗骰子向上的点数为3”,则P(B|A)=  。  解析　事件A包含的样本点个数为-=30,事件AB包含的样本点个数为2=10,所以P(B|A)==。 5.某气象台统计,该地区下雨的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为。设事件A为“该地区下雨”,事件B为“该地区刮四级以上的风”,则P(B|A)=  。  解析　由题意知P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)===。 学科网（北京）股份有限公司 $$