专题3.4 整式的乘除与几何图形60题（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.4 整式的乘除与几何图形60题（精选精练）（专项练习） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．下列四种割拼方法中，能够验证平方差公式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．    8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）阅读下列义字：我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如，由左图可以得到．请写出下图中所表示的数学等式 ． 9．（23-24八年级上·广东广州·期末）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x、y、z的等式为 ． 10．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示，四边形均为长方形，根据图形填空，使等式成立    11．（23-24八年级上·北京·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ． 12．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ． 13．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ． 14．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张． （1）若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片______张，纸片______张，纸片______张； （2）请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论． 16．（23-24八年级上·北京西城·期中）小明同学用四张长为，宽为的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出，，三者之间的等量关系式为______； （2）利用（1）中的结论，试求：当时，求的值． 17．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为的正方形纸片，以及长为、宽为的长方形纸片，观察图形并解答下列问题：   （1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要纸片______张，纸片______张，纸片______张（空格处填写数字）． （2）观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：______． （3）根据（2）中的关系，若m满足，求m的值． （4）已知正方形的边长为，分别是上的点，且，，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 18．（22-23八年级上·山东临沂·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是，宽是m，且． （1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式可以因式分解，请直接写出因式分解的结果： ； （2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是24，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求和的值． 19．（2023八年级上·全国·专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：． （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： 已知，，则　　　； （3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和． ①用含，的式子表示阴影部分的面积　　　； ②若，，则阴影部分的面积　　　． 20．（21-22七年级下·四川成都·期末）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形． （1）比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式：_________________（用含x，y的式子表达）； （2）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 21．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； （2）观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； （3）若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 22．（21-22七年级下·全国·单元测试）若干张长方形和正方形卡片如图所示．   （1）选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形． （2）若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形． 23．（2022·河北邢台·三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， （1）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ （2）若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ （3）若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 24．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 25．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． （3）观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 26．（23-24八年级上·广东惠州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）. （1）上述操作能验证的等式是_______________；（请选择正确的一个） .. .. （2）应用你从（）选出的等式，完成下列各题： 已知，，求的值． 计算：． 27．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示） （1）上述操作能验证的等式是（    ）．（请选择正确的一个） ．；．；． （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，则______； ②计算：． ③计算：． 28．（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个） A． B． C． （2）请应用这个等式完成下列各题： ①已知，则______． ②计算：． 29．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）【实践操作】 （1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；   （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 30．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． （2）请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 31．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 32．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：______； （2）请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，则______； ②计算：． 33．（23-24八年级上·吉林·期末）探究活动： （1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是 ．（写成两数平方差的形式） （2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 ．（写成多项式乘积的形式） （3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式： ． 知识应用： ①计算：； ②计算 34．（23-24八年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． 从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．   （1）通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是 ． （2）若，，求的值． （3）计算的值是 ． 35．（23-24八年级上·广东潮州·期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）： A． B． C． D． （2）应用与计算：请利用你从（）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②已知，，计算的值． 36．（23-24八年级上·广东广州·期末）恒等式的探究及应用.  （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①；    ②． 37．（23-24七年级上·四川成都·期末）实践与探索 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．  （1）上述操作能验证的等式是_______．（请选择正确的一个） A．；B．；C．； （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①； ②计算：； ③计算： ． 38．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式． （1）利用这个图形可以证明的数学公式是 ； （2）在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？ （3）请你写出完整的证明过程． 39．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．   （1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． （2）试利用这个公式计算：． 40．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 41．（22-23七年级下·广东深圳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．   （1）上述操作能验证的等式是______．（请选择“A”、“B”、“C”） A． B． C． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值 ． ②简便计算：． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______________________________； （2）应用（1）中的公式，计算：． 43．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ；根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 ． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 44．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． （1）通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示） （2）应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，求的值． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 47．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 48．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． （2）若，，求的值； （3）计算：． 49．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． （2）已知，，则的值为 ． （3）计算：． 50．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 51．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 52．（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． （1）设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用此公式计算：． 53．（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，在边长为x的大正方形中剪去一个边长为y的小正方形．将图①的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成一个如图②的梯形． （1）比较图②和图①的阴影部分面积，可以推得公式：______________（用含的式子表示）； （2）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 54．（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． （1）上述操作可以得到一个公式：__________； （2）利用你得到的公式，计算：； （3）计算：． 55．（22-23七年级下·北京昌平·期中）我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立． 例如：如图1，根据这个图形的面积可以用代数式表示，也可以用代数式表示．说明等式成立． 即这个图形可以表示．    根据上面的描述，完成下列问题： （1）利用图2中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图3（卡片间不重叠、无缝隙），这个几何图形可以表示的等式是______；    （2）请你设计一种拼图方案，使其可以表示等式． 56．（23-24八年级上·北京西城·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题：   （1）写出图②中所表示的数学公式 . （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值. （3）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 57．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： （1）由图2可得等式： ； （2）由图3可得等式： ； （3）利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 58．（24-25八年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 59．（24-25八年级上·河南焦作·期末）数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． （1）由图2可以得到：_______． （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 整式的乘除与几何图形60题（精选精练）（专项练习） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，熟练掌握通过几何图形的面积来证明平方差公式是解题的关键． 根据左右两图中阴影部分面积之间的关系即可得出答案． 解：左图阴影部分面积可表示为，右图阴影部分面积可表示为， 两者面积相等， ， 即：它可以验证， 故选：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．下列四种割拼方法中，能够验证平方差公式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得； 图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得； 图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得； 图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为，则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为，则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为，则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为，则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故答案为：D ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 4．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大长方形的面积等于每一个图形的面积和列式可求解． 解：由图可知：． 故选：C． 【点拨】本题主要考查因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键． 5．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解． 解：拼成的长方形的面积， ， ， ∵拼成的长方形一边长为， ∴另一边长是． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．第1幅图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，第2幅图中阴影部分的面积等于梯形的面积，根据这两幅图形中阴影部分面积相等即可得出结论． 解：第1幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为， 第2幅图中阴影部分面积等于梯形的面积，即为， ∵这两幅图形中阴影部分面积相等， ∴可以验证的公式是， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．    【答案】 【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果． 解：根据图形得，长方形的长为，宽为m，面积为， 当图形分为两个长方形时，总面积为， ∴可得等式：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查利用图象计算单项式乘以多项式，结合图形求解是解题关键． 8．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）阅读下列义字：我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如，由左图可以得到．请写出下图中所表示的数学等式 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式．用两种方式表示出长方形的面积，即可得到结果． 解：大长方形的面积可以表示为9个小图形的面积和，即， 大长方形的面积也可以表示为， ∴； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·广东广州·期末）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x、y、z的等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法公式的应用．根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式． 解：总，是边长为的正方形，面积为， 分，由三个小正方形和6个小长方形组成，面积为， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示，四边形均为长方形，根据图形填空，使等式成立    【答案】 【分析】根据图形，从两个角度计算长方形面积即可求出答案． 解：大长方形的面积， 大长方形的面积也可以表示为， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查整式与图形的面积关系，解题的关键是正确用两种方法表示出矩形的面积． 11．（23-24八年级上·北京·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案． 解：图1中， ∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积， ∴阴影部分面积可表示为； 图2中， ∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为， ∴阴影部分面积可表示为， 由阴影部分面积相等，得． 答案：． 12．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 13．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 由大正方形的面积－小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 解：图1中：大正方形的面积－小正方形的面积， 图2中：矩形的面积， 依题意得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可． 解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴； ∴； 故答案为：6． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）要拼成如图2所示的边长为的正方形图形，需要用图1所示的纸片1张，纸片1张，纸片2张． （1）若要拼成长、宽分别为、的长方形，需要纸片______张，纸片______张，纸片______张； （2）请用画图形和计算的方法分别验证（1）中的结论． 【答案】（1）1；2；3；（2）见分析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决多项式乘以多项式问题．依据题干的模式画出图形，再利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键． 解：（1）解：1；2；3 （2）图形法：如图，由图形可知需要纸片1张，纸片2张，纸片3张． 计算法：． 16．（23-24八年级上·北京西城·期中）小明同学用四张长为，宽为的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出，，三者之间的等量关系式为______； （2）利用（1）中的结论，试求：当时，求的值． 【答案】（1）；（2）的值是． 【分析】本题主要考查几何图形与整式乘法． （1）直接利用图象面积得出答案； （2）利用多项式乘法将已知条件变形，即可求出答案． 解：（1）解：由题意得，小正方形的面积大正方形的面积个长方形的面积和， ， 故答案为：； （2）解：设，， ∴，，， ∴， ∴， 故的值是． 17．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为的正方形纸片，以及长为、宽为的长方形纸片，观察图形并解答下列问题：   （1）小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要纸片______张，纸片______张，纸片______张（空格处填写数字）． （2）观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：______． （3）根据（2）中的关系，若m满足，求m的值． （4）已知正方形的边长为，分别是上的点，且，，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3，1，4；（2）；（3）或；（4）12 【分析】（1）由可知需要纸片3张，纸片4张，纸片1张； （2）根据面积法可求出，，之间的等量关系； （3）设，，则，，，结合，代入进行计算即可得到答案； （4）由图知，，，且，设，，则，，由可求出的值，再根据进行计算即可得到答案． 解：（1）解：由图知纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为ab， ∵， ∴需要纸片3张，纸片4张，纸片1张， 故答案为：3，1，4； （2）解：根据面积法可得， 故答案为：； （3）解：设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； （4）解：由图知，，， ∵长方形EMFD的面积是8， ∴， 设，，则，， 由，得， ∴， ∴，即， ∴阴影部分的面积为12． 【点拨】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的变形使用，熟练掌握完全平方公式及能够用换元法解题是解题的关键． 18．（22-23八年级上·山东临沂·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是，宽是m，且． （1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式可以因式分解，请直接写出因式分解的结果： ； （2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是24，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求和的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了因式分解在几何图形中的应用，涉及到完全平方公式． （1）根据图中面积关系，大长方形纸板的面积等于四个小正方形的面积加上五个长方形的面积，据此可解； （2）根据题意可得，，解得，，再利用完全平方公式变形求解即可． 解：（1）解：根据题意可知，长方形纸板的面积等于四个小正方形的面积加上五个长方形的面积之和，即：， 长方形纸板的面积等于长为，宽为的长方形的面积，即， ∴ 故答案为：； （2）解：若长方体的侧面积之和是16，虚线和是40， 则，． 解得，． ， ． 19．（2023八年级上·全国·专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：． （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： 已知，，则　　　； （3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和． ①用含，的式子表示阴影部分的面积　　　； ②若，，则阴影部分的面积　　　． 【答案】（1）用不同的形式表示这个大正方形的面积为，，；（2）45；（3）①，②20 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合，利用面积法正确写出相关图形的面积． （1）图2大正方形边长为，其面积为，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为，二者面积相等，从而可得要求得等式； （2）将，代入（1）中等式，变形可得答案； （3）①利用等于直角三角形的面积加上正方形的面积，再减去三角形的面积，化简即可得答案； ②将①中结论配方，然后将，代入计算即可． 解：（1）解：图2大正方形边长为，其面积为， 分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为 二者面积相等 由此得等式：． （2）解：， 故答案为：45． （3）解：① 故答案为：． ②由①知阴影部分面积为 ， 故答案为：20． 20．（21-22七年级下·四川成都·期末）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形． （1）比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式：_________________（用含x，y的式子表达）； （2）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）用割补法分别计算左右两图中的阴影部分面积，左边阴影部分面积等于右边阴影部分面积，列等式即可； （2）①用整体思想借助平方差公式进行化简即可； ②根据相反数的平方相等，将括号内的整式变相同，再用整体思想和平方差公式的逆用变形计算即可． 解：（1）解：左图阴影部分面积=， 右图阴影部分面积， 可以推得公式：，     注：写成不扣分； （2）解：①原式 ； ②原式              ． 【点拨】本题考查完全平方公式及其验证以及逆用，平方差公式及其逆用，能够掌握整体思想是解决本题的关键． 21．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； （2）观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； （3）若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）见分析 【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式； （2）根据阴影部分的面积相等可得答案； （3）由（2）可得，代入，求值即可； （4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可． 解：（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：， （2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：， 故答案为： （3）由（2）可得， 若，， 则， ∴， 故答案为： （4）如图所示， 图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即， ∴． 【点拨】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子． 22．（21-22七年级下·全国·单元测试）若干张长方形和正方形卡片如图所示．   （1）选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形． （2）若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形． 【答案】（1）见分析；（2）还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，理由及画图见分析 【分析】（1）利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后分解因式即可得出所画正方形的边长，根据边长画图形即可； （2）猜想长方形的边长，计算的面积与拼成后的面积相等． 解：（1）∵， ∴拼成一个边长为的正方形，如图1所示：    （2）∵； ∴则还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，如图2所示：    【点拨】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式，立意较新颖，注意对此类问题的深入理解，本题只要读懂题意，然后根据各图形的面积即可找出其中的关系． 23．（2022·河北邢台·三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， （1）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ （2）若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ （3）若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 【答案】（1）需要卡片张，卡片张，卡片张；（2）要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取型卡片张；（3） 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式变形，即可求解； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 解：（1）∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）∵A型卡片4张，再取B型卡片1张的面积之和为，且是一个完全平方公式， ∴要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）依题意，设长方形的边长为， 则 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 【点拨】本题考查了多项式乘法与图形，完全平方公式与图形，熟练掌握多项式乘方法则是解题的关键． 24．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）①1，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值； ②由完全平方公式可知，，即则的值可求． 解：（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为； ∴； 故答案为：； （2）①由（1）可知 ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴ 即， ∴． 25．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． （3）观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 解：（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 26．（23-24八年级上·广东惠州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）. （1）上述操作能验证的等式是_______________；（请选择正确的一个） .. .. （2）应用你从（）选出的等式，完成下列各题： 已知，，求的值． 计算：． 【答案】（1）；（2）；． 【分析】（1）分别计算图和图中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案； （2）逆用平方差公式，求出，联立方程组求即可； 逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案； 本题考查了平方差公式，掌握 是解题的关键． 解：（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是， 第二个图形的面积是， 则， 故选：； （2）∵， ∴， ∴ ， 联立， 解得：； 原式， ， ， ． 27．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示） （1）上述操作能验证的等式是（    ）．（请选择正确的一个） ．；．；． （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，则______； ②计算：． ③计算：． 【答案】（1）；（2）①，②，③． 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是解答本题的关键． （1）根据题意，图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为，由此选出答案． （2）①根据题意，，，得到，进而得到答案． ②根据题意，得，，，，由此得到原式，得到答案． ③由题意，利用平方差公式，将原式展开，找到规律，将整式整理之后得到：原式． 解：（1）解：图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 图②中的阴影部分是长为，宽为的长方形，面积为， ， 故答案为：． （2）①， ， 又， ， 即， 故答案为：． ②， ， ， 原式． ③ ． 28．（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个） A． B． C． （2）请应用这个等式完成下列各题： ①已知，则______． ②计算：． 【答案】（1）A；（2）①4② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算． （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可；②将1看成，利用平方差公式解答即可． 解：（1）图1的面积为，图2的面积为：， 由于拼接前后的面积相等， ∴， ∴上述操作能验证的等式是A， 故答案为：A； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：4； ②∵， ∴ 29．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）【实践操作】 （1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；   （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）利用长方形的面积等于长乘以宽即可； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，分别计算即可得出； （）观察（）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可； （）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为，故答案为第一个因式乘以最后一个因式； 本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律． 解：（）， ， ， ， 故答案为：； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （）原式， ， ； （）原式， ， ， ． 30．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． （2）请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 【答案】（1）B；（2）①4；②5050；③ 【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键． （1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论； （2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果． 解：（1）解：图一中的阴影部分面积为：， 图二中阴影部分面积为：， 而这两者面积相等，所以有：． 故选：B． （2）解：① ， 又， ． ② ， ， ， 原式． ③ ． 31．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 【答案】（1）③；（2）①21或；②见分析 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． （1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解； （2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可； ②根据平方差公式画出图形求解即可． 解：（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为 ∴， ∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，； ∴的值为21或； ②如图所示，选图2， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴； 如图所示，选图3， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴． 32．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：______； （2）请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，则______； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解；②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 解：（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 33．（23-24八年级上·吉林·期末）探究活动： （1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是 ．（写成两数平方差的形式） （2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 ．（写成多项式乘积的形式） （3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式： ． 知识应用： ①计算：； ②计算 【答案】探究活动：（1）；（2）；（3）；知识应用：①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景以及灵活应用，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）大正方形的面积与小正方形的面积的差就是阴影部分的面积； （2）利用矩形的面积公式即可求解； （3）根据（1）（2）表示的阴影部分面积相等即可解答； 知识应用： ①利用平方差公式即可求解； ②把化为，再利用公式即可求解． 解：探究活动： （1） （2） （3）（等号左右顺序可互换）； 知识应用： ① ； ② ； 34．（23-24八年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． 从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．   （1）通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是 ． （2）若，，求的值． （3）计算的值是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查平方差公式与图形面积． （1）利用两种方法求出图形面积即可； （2）利用（1）中结论进行求解即可； （3）利用（1）中结论，裂项相乘即可． 解题的关键是得到． 解：（1）解：由图1，阴影部分的面积为，由图2，长方形的面积为； ∴； 故答案为：． （2）∵，，且， ∴． （3）原式 ． 35．（23-24八年级上·广东潮州·期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示）． （1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）： A． B． C． D． （2）应用与计算：请利用你从（）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②已知，，计算的值． 【答案】（1）D；（2）；． 【分析】（）分别表示出图和图阴影部分的面积，根据面积相等即可求解； （）利用平方差公式直接计算即可求解； 利用平方差公式把等式左边转化成，代入即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键． 解：（1）解：由图可得，阴影部分的面积为， 由图可得，阴影部分的面积为， ∵图和图阴影部分的面积相等， ∴， 故选：； （2）解：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24八年级上·广东广州·期末）恒等式的探究及应用.  （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①；    ②． 【答案】（1）；（2）①91；② 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式等知识． （1）分别表示图1、图2的阴影部分面积，根据面积相等即可求解； （2）①将转化为，运用（1）结论即可求解； ②将转化为，再利用（1）结论进行计算即可求解． 解：（1）解：图1阴影部分的面积表示为，图2阴影部分的面积表示为， ∵图1、图2的阴影部分面积相等， ∴． 故答案为：； （2）解：①； ② ． 37．（23-24七年级上·四川成都·期末）实践与探索 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．  （1）上述操作能验证的等式是_______．（请选择正确的一个） A．；B．；C．； （2）请应用（1）中的等式完成下列各题： ①； ②计算：； ③计算： ． 【答案】（1）A；（2）①1；②5050；③ 【分析】本题考查平方差公式， （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式化简计算即可；②利用平方差公式将原式转化即可；③利用平方差公式将解答即可． 解：（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：A； （2）① ； ②∵， ， ， ， ∴原式． ③ ． 38．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式． （1）利用这个图形可以证明的数学公式是 ； （2）在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？ （3）请你写出完整的证明过程． 【答案】（1）平方差公式或；（2）数形结合；（3）证明见分析 【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明． （1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （2）根据数形结合思想解答即可． （3）根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键． 解：（1）解：根据题意，得平方差公式或， 故答案为：平方差公式或． （2）解：主要思想是数形结合思想． （3）解：由题意可知： 长方形的长，宽， ∴， ∵长方形的长，宽， ∴长方形与长方形的面积相等， ∴=+ =， ∵=，=， ∴    ． 39．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．   （1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． （2）试利用这个公式计算：． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题主要考查了平方差公式： （1）图甲阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图乙阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积，再根据两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （2）根据（1）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 解：（1）解：由题意得，，，， ∵图甲和图乙中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；；； （2）解： 40．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】（1）B；（2）①；②． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可． 解：（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为， ∴可以验证的等式是：， 故答案为：B； （2）解：① ②原式． 41．（22-23七年级下·广东深圳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．   （1）上述操作能验证的等式是______．（请选择“A”、“B”、“C”） A． B． C． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值 ． ②简便计算：． 【答案】（1）B；（2）①４；②１ 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用，理解和掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示拼接前后的阴影部分的面积，可得等式，得出答案； （2）①利用平方差公式将化为，再整体代入即可； ②利用平方差公式得出，再计算进而得出答案． 解：（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此有， 故答案为：B； （2）①，，， ， 即：， 故答案为：4； ②原式 ． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______________________________； （2）应用（1）中的公式，计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键． （1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）利用（1）的结论，连续利用平方差公式即可． 解：（1）解：图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）解：原式 ． 43．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ；根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 ． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 【答案】（1）,，；（2）①8，② 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答． ②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． 解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式； 故答案为：,，； （2）① ∵，， 则， 故答案为：8； ② ． 44．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． （1）通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示） （2）应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积=图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，由得到，再代入求解． 解：（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积， 得到的公式为：； 故答案为； （2）解：①； ②∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方差公式，根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两个图中阴影部分的面积相等得， 即可以得到乘法公式； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴； （3） ． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：；构图三： 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键． 构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解； 构图二：根据体积不变求解； 构图三：先求出小长方形的短边，再求解． 解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到， 故选：B； （2）①，即， ， 故答案为：3； ②， 故答案为：1； 构图二：根据体积不变得； 构图三：由题意知小长方形的短边为， 八边形的面积为， 故答案为：． 47．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【答案】（），；（）；（）；；（）． 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （）利用两个面积相等列式即可； （）利用探究中的公式计算即可； （）利用探究中的公式计算即可； 利用探究中的公式计算即可； （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 解：（）图中，图中， 故答案为：，； （）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：， 故答案为：； （）由， ∵，， ∴原式， 故答案为：； ； （）解： ． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． （2）若，，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）B；（2）；（3） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式即可． 解：（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）解：∵，即，而， ∴； （3）解： ． 49．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． （2）已知，，则的值为 ． （3）计算：． 【答案】（1）B；（2）3；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 解：（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 50．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】（1）B；（2）①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 解：（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以， 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ②原式 ． 51．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． （2）当，时，则____________； （3）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1）D；（2）2；（3）①2；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 解：（1）解：图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 52．（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． （1）设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用此公式计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解； （2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式； （3）根据任何数（或式）乘以，仍得这个数（或式），即可将原式变形为，然后反复运用平方差公式，即可求出结果． 解：（1）解：依题意得，； （2）解：依据阴影部分的面积相等，可得； （3）解：原式， ， ， ， ， ． 53．（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，在边长为x的大正方形中剪去一个边长为y的小正方形．将图①的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成一个如图②的梯形． （1）比较图②和图①的阴影部分面积，可以推得公式：______________（用含的式子表示）； （2）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式及其逆用，能够掌握整体思想是解决本题的关键． （1）用割补法分别计算左右两图中的阴影部分面积，左边阴影部分面积等于右边阴影部分面积，列等式即可； （2）①用整体思想借助平方差公式进行化简即可；②用整体思想和平方差公式的逆用变形计算即可． 解：（1）解：①图阴影部分面积， ②图阴影部分面积， 可以推得公式：； （2）解：①原式 ． ②原式 ． 54．（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． （1）上述操作可以得到一个公式：__________； （2）利用你得到的公式，计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 解：（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 55．（22-23七年级下·北京昌平·期中）我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立． 例如：如图1，根据这个图形的面积可以用代数式表示，也可以用代数式表示．说明等式成立． 即这个图形可以表示．    根据上面的描述，完成下列问题： （1）利用图2中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图3（卡片间不重叠、无缝隙），这个几何图形可以表示的等式是______；    （2）请你设计一种拼图方案，使其可以表示等式． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据图形的面积列式即可； （2）由等式右边的多项式可得拼图含有2个边长为的正方形，2个边长为的正方形，5个长为，宽为的长方形． 解：（1）解：由题意得，图3的面积可以表示为， 图3中含有边长为的正方形2个，边长为的正方形1个，长为，宽为的长方形3个， 图3的面积可以表示为， 利用图2中的三种卡片拼成图3，可以说明等式， 故答案为：； （2）解：， 可以用图形表示如下（答案不唯一）：    【点拨】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握长方形、正方形的面积公式是解题的关键． 56．（23-24八年级上·北京西城·期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到. 请回答下面的问题：   （1）写出图②中所表示的数学公式 . （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值. （3）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为b，宽为a的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式. 【答案】（1）；（2）18；（3）作图见分析 【分析】（1）根据图形的面积求解即可； （2）把，代入（1）中的结论求解即可； （3）根据数学公式可得用6个边长为a的正方形、7个边长分别为a和b的长方形、2个边长为b的正方形拼成一个边长为和的长方形即可求解． 解：（1）解：由图可得，大正方形的面积为：， 又∵大正方形的面积为， ∴图②中所表示的数学公式为， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，    【点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，根据长方形的面积公式分整体与部分两种方法列等式是解题的关键． 57．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： （1）由图2可得等式： ； （2）由图3可得等式： ； （3）利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）52 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积，即可得出结论； （2）大正方形的面积，大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积，即可得出结论； （3）利用（2）中的结论进行求解即可； 解：（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． 58．（24-25八年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． （1）根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． （3）小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）①B类纸片有7张，；②B类纸片有13张，；③B类纸片有8张， 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 解：（1）解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 （2）解：如图，即为所求， （3）由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 59．（24-25八年级上·河南焦作·期末）数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． （1）由图2可以得到：_______． （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积： （1）根据面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积，即可得出等式； （2）利用（1）中结论变形求值即可． 解：（1）解：由图可知，大正方形的面积为：； 故答案为：． （2）由（1）可知：， ∵，， ∴， ∴． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图③面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 解：（1）图③面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵，边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$