精品解析：河南省开封市杞县2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

高中高三月考七数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中个，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限， 故选：D 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可求出答案. 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得：， 所以常数项为：. 故选：B. 3. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解. 【详解】由，则有，即， 则，故. 故选：C. 4. 已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个等差数列的前项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论. 【详解】由题意， 在两个等差数列中，前项和分别是，， 对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数）， ∴设，，为常数 ∴， 故选：B 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 6. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，而平面， 因此平面，因为，则平面， 而点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为. 故选：B 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意，可证为上偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解. 【详解】因为， 设， 则， 即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即， 解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断. 【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确； 对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误； 对于D：， 则，即事件与不相互独立，D错误； 故选：AB. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由图象可确定，即可判断选项正误；BD验证是否满足选项描述即可判断选项正误；C解方程，验证相邻根的差值即可判断选项正误. 【详解】由图可得，， ，因，取， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则， ， 即，故B正确； 对于C，令 或，得或，其中， 分别取，得相邻的三个根为， 则相邻根的差值即的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误； 对于D，， ， 则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当的面积为时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C；根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D. 【详解】如图①所示，因为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 对于A，因为，当时，， 故点在抛物线的外部， 所以与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B，由抛物线的方程可知，焦点，设的方程为，联立消去， 整理得，所以， 又，所以 ， 解得，则， 则，故B错误； 对于C，由选项B可知，所以，故为钝角， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，由选项B可知， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 图① 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且正数满足，则的最小值为_____________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 13. 在中，，已知点、，则点到直线的最大距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆（除去长轴的端点），求出椭圆的方程，数形结合可得出点到直线距离的最大值. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆（除去长轴的端点）， 设椭圆的方程为，则，，所以，， 故椭圆的方程为， 如下图所示： 由图可知，点到直线距离的最大值为. 故答案为：. 14. 如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【小问1详解】 因为平面ABP，平面ABP，可得，， 由题意可知：，且，平面， 可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD. 【小问2详解】 由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为. 16. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则； （2）X的可能取值为400、500、800； ，，，则X的分布列为 X 400 500 800 P 【解析】 【详解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A， 第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件C， 第二次取出的1件产品是优质品为事件D， 这批产品通过检验为事件E， ∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝. (2)X的可能取值为400，500，800，并且 P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ， ∴X的分布列为 X 400 500 800 P EX＝400×＋500×＋800×＝506.25. 17. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小． 【小问1详解】 由题意可得，， 可得，，可得， 可得，， 解得，， 所以离心率， 所以椭圆的方程为，离心率； 【小问2详解】 由（1）可得， 【小问3详解】 【小问4详解】 由题意设直线的方程为，则， 设，， 联立，整理可得， 显然，且，， 直线，的斜率，， 则 ， 因为，即，解得， 所以直线的斜率． 即值为3． 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【小问1详解】 已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. 【小问3详解】 已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【点睛】方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 19. 已知函数，． （1）证明：． （2）证明：． （3）若，求的最大值． 【答案】（1）证明过程见解析. （2）证明过程见解析. （3）. 【解析】 分析】构造函数，分析函数单调性求出函数最小值，得到最小值大于或等于即可. 利用的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值. 同构方程得到，再化简转化，并构造函数，利用导数求其最大值. 【小问1详解】 证明：设，则. 令，解得：；令，解得：； 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以恒成立； 即恒成立. 【小问2详解】 证明：由得，所以. 设；则； 令，解得：；令，解得：； 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数；当且仅当时等号成立. 因为；当且仅当时等号成立，所以等号成立的条件不一致. 即. 【小问3详解】 由题可知，；即； 因为函数为增函数；所以；即； 所以，所以. 设，. 令，解得：；令，解得：； 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最大值为. 所以的最大值为. 【点睛】本题考查构造函数问题； 直接作差构造. 若题干中出现的式子，通常构造. 若题干中出现的式子，通常构造. 若题干中出现的式子，通常构造. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中高三月考七数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中个，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 360 3. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. 5 C. D. 4. 已知两个等差数列前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 6. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 1 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D. 11. 已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当的面积为时， C. 钝角三角形 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且正数满足，则的最小值为_____________. 13. 在中，，已知点、，则点到直线的最大距离为______． 14. 如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为________． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 16. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 17. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知函数，． （1）证明：． （2）证明：． （3）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $