江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期数学午练（5）

星湖高一数学午练（5） 一、单选题 1．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． （选做）4．若函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．函数，如下结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．对任意的，都有 C．在上是增函数 D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 三、填空题 6．已知，，，则 ． 7．若，则 . 四、解答题 8．已知，，且， 求：（1）的值； （2）求的值. 9．已知，. (1)求和的值； (2)求的值. （选做）10．已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递增区间； (3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 星湖高一数学午练（5） 一、单选题 1．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式可求答案. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：C. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式计算可得答案. 【详解】. 故选：C. 4．若函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得到，由在上的零点及在内恰有个零点，列不等式组，求出的取值范围. 【详解】令，得. 当时，. 又，所以. 因为在上的零点为，，，，且在内恰有个零点， 所以或，解得或 解得：. 故选：C 二、多选题 5．函数，如下结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．对任意的，都有 C．在上是增函数 D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 【答案】BC 【分析】根据两角差的正弦公式可得，再根据正弦函数的性质及图象变换逐项判断. 【详解】， 所以的最大值为，故A错误； , 所以关于对称，所以对任意的，都有，故B正确； 时，, 所以在上是增函数，故C正确； 由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 6．已知，，，则 ． 【答案】0 【分析】首先求出、，再由同角三角函数的基本关系求出、，结合求解. 【详解】已知，， 则， ， ，， 则，， 则 . 故答案为：. 7．若，则 . 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可． 【详解】因为， 所以，即， 整理得且， 所以或（舍）. 故答案为： 四、解答题 8．已知，，且， 求：（1）的值； （2）角的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题中条件，由两角差的正切公式，即可得出结果； （2）根据题中条件，先求出，再由角的范围，即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为， 又，所以， 因此. 【点睛】本题主要考查求两角差的正切值，考查由三角函数值求角，属于基础题型. 9．已知，. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式，正弦的二倍角公式与余弦的二倍角公式即可； （2）根据（1）利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， . （2） . 10．已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递增区间； (3)若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简求得，由已知可得的图像关于点对称得出，即得函数解析式； （2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调递增区间； （3）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值. 【详解】（1） 由知，的图像关于点对称， 所以，，得，. 因为，所以， 即函数. （2）因为，所以 由，得， 所以函数的单调递增区间是，. （3）， 当时，. 函数在区间上恰有3个零点， 令，则在上有3个不相等的根. 即与在的图像上恰有3个交点， 作出与的图像，如图所示， 由图可知，， 且， 所以. 故a的取值范围为，的值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$