江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期数学午练（6）

星湖高一数学午练（6） 一、单选题 1．若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】在等腰三角形中三角形内角和推得顶角，结合诱导公式和二倍角余弦公式计算得出结果； 【详解】设底角为α，则， 所以． 故选：B. 2．sin＝，则cosx＋cos的值为（    ） A．－ B． C． － D． 【答案】B 【解析】运用两角差的余弦公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查了两角差的余弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力. 3．若在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角公式得到，再由两角和差的余弦公式得到，即可得解； 【详解】解：因为， 即 所以， 即，即， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，即，所以为等腰三角形； 故选：C 4．已知，，且，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】B 【分析】判断，的范围，求得，，将化为，利用两角差的余弦公式即可求得答案. 【详解】因为，, 所以，, 因为，所以, 因为，所以, 所以 , 故选：B 5．定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由辅助角公式化简，再结合正弦型三角函数求最值即可. 【详解】由行列式运算可得 ， 当时，原式取得最大值为2． 故选：D 二、多选题 6．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图象关于直线对称，故B正确； 对于C,D，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC. 三、填空题 7．在中， ，且，则的值是 . 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，再根据及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】因为在中，，可知为锐角， 所以， 因为，可知B也为锐角， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 8． . 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】， 利用两角和的正弦公式可得： ， 故答案为：. 四、解答题 9．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用辅助角公式进行化简，再利用整体的思想求解的单调递减区间即可； （2）根据图象变换，求出函数的解析式，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】（1）， 由， 解得， 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为. （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则即. 由，得， 又，所以， 则 10．已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据最小正周期求出，再根据对称轴求出； （2）由（1）可得解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得； （3）首先得到的解析式，由求出的大致范围，再求出图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间时的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为， 所以的最小正周期，所以， 又因为的图象关于直线对称， 所以，，所以，， 又，所以， 综上可得，. （2）由（1）知， 当时，， 所以当（即）时，， 当（即）时，， 所以函数在的最大值为，最小值为. （3）由题意， 图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间， 且，解得， 令，，解得，， 若图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间， 则，解得， 当时，且（矛盾），故解集为空集； 当时，；当时，， 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 星湖高一数学午练（6） 一、单选题 1．若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 2．sin＝，则cosx＋cos的值为（    ） A．－ B． C． － D． 3．若在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．已知,，且，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 5．定义行列式运算，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 (选做)6．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 7．在中， ，且，则的值是 . 8． . 四、解答题 9．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值. (选做)10．已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$