精品解析：广东省梅州市丰顺县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

广东省梅州市丰顺县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 6. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分），请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算值等于_____________． 12. 若m，n是方程的两个根，则的值为________． 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于_____________． 14. 如图，在矩形中，是中点，是上一点，且，，，则矩形的面积为 _____． 15. 如图，中，，，，点P、Q分别为、上动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为_____________．     三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17 计算：． 18. 中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动． （1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务概率为 　　； （2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 20. 如图，某校数学兴趣小组同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为，已知点的高度米，台阶的坡度为，且三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．其中， （1）求一次函数的解析式； （2）已知双曲线在第一象限的图像上有一点到y轴的距离为，求的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），点在边的延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）交于点，若，求的值（用含的代数式表示）． 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省梅州市丰顺县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三视图，主视图是指从正面看到的图形，解题的关键是掌握常见几何体的主视图；据此判断即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意； B、球的主视图是圆形，故此选项不合题意； C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：B． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用设k法求解更简便． 根据已知条件得出，设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ； 故答案为：D． 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：如图， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：B． 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 6. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为． 故选：D． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例数解析式得出反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴、在第三象限，在第一象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 8. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求解阴影面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴S阴影cm2， ∴P（该点取到阴影部分）． 故选C 9. 如图，在菱形中，，点E，F分别在边上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明是等边三角形，再根据证明，得到，进而可求解的长，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分），请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算的值等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 若m，n是方程的两个根，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将通分，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 13. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键．由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 故答案为：4． 14. 如图，在矩形中，是中点，是上一点，且，，，则矩形的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，利用矩形的性质可得，由可得，进而可证明是等边三角形，于是可得，过点作于点，则，，根据勾股定理可得，进而可证明四边形是矩形，于是可得，根据即可得出答案． 【详解】解：是中点，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，线段的和与差，等边三角形的判定与性质，垂线的性质，三线合一，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 15. 如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为_____________．     【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算问题，熟记，的三角函数值是解题的关键． 直接代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 18. 中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动． （1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为 　　； （2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）每位同学参加三个纪念馆的概率相等； （2）根据题意画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种， ∴恰好抽到甲和乙的概率为 【点睛】本题考查概率的实际应用．掌握列表法或树状图法是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证； （）由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 小问1详解】 证明：∵于点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，某校数学兴趣小组同学测量校园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处，测得树顶端的仰角为，已知点的高度米，台阶的坡度为，且三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 【答案】9米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 在中利用坡比和的长，根据勾股定理即可求得和的长；如图：过点A作于F，可得四边形为矩形，设，在中表示出的长度，求出的长度，然后在中表示出的长度，根据代入解方程求出x的值即可． 【详解】解：∵台阶的坡度为 ∴在中，， ∵， ∴， 如图，过过点A作于F，则， 由题意得：， ∴ ∴四边形为矩形， ∴米， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 答：树高为． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．其中， （1）求一次函数的解析式； （2）已知双曲线在第一象限的图像上有一点到y轴的距离为，求的面积． 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】（1）先根据反比例函数求出，点A的坐标，再由点A的坐标求出根据待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）先根据点到轴的距离为3，确定点C的坐标，再过点作轴交直线于，则点的纵坐标为2，得出点的坐标为．然后联立得方程求出点的坐标．最后根据 即可求解． 【小问1详解】 解：∵，在反比例函数图像上， ∴ ∴，， 即， 又∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵由（1）得， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴交直线于，则点的纵坐标为2， ∴，解得， ∴点的坐标为， ∴， 点到的距离为， 联立，解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴点到的距离为， . 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质和反比例函数的图像与性质，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），点在边的延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）交于点，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，由“”可证，可得； （2）由题意可得，，即可证，即可证； （3）如图，过点作交于点，设，可得，，由，可得，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． ，， ； 【小问3详解】 如图，过点作交于点，设， ， ， ， 即，， ， ∴，， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，综合运用相关知识是解本题的关键． 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）①成立，理由见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平行线分线段成比例，推出，即可得证； （2）①证明∽，即可得证；②分点在之间，以及点在之间，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①成立，理由如下： 四边形和四边形都是正方形， ， ， ∽， ， ． ②当点在之间，如图， 同①得∽， 四边形都是正方形， ， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， 四边形是正方形，， ，， 在中，， ， ， ，， ∽， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 当点在之间，如图， 同理可得，，∽， ， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$