12.1 三角形 第5课时 三角形的角平分线、中线、高线 课件-2024-2025学年青岛版数学七年级下册

第5课时　三角形的角平分线、中线、高线 栏目导航 知识梳理 考点梳理 1.三角形的角平分线 (1)三角形一个角的　　　　与这个角的对边相交,角的　　　　和 　　　　之间的线段叫作三角形的角平分线.  (2)一个三角形有　　　　条角平分线,它们都在三角形的　　　,并且相交于一点.  2.三角形的中线 (1)连接三角形一个顶点与对边　　　的线段叫作三角形的中线.  知识梳理 平分线 顶点 交点 三 内部 中点 (2)一个三角形有　　　　条中线,它们都在三角形的　　　　,并且相交于一点,这个点叫作三角形的重心.  (3)三角形的一条中线把三角形分成　 　　　的两部分.  3.三角形的高 (1)三角形的一个　　　　到它的对边所在直线的　　　　　叫作三角形的高线,简称三角形的高.  (2)每一个三角形都有　　条高,由于三角形形状的不同,三角形的高可能在三角形的　　 　,可能与　　重合,也可能在三角形的　　　. 三 内部 面积相等 顶点 垂线段 三 内部 边 外部 三角形的角平分线 考点梳理 [典例1]如图所示,E,D是线段BC上的点,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线,若∠DAE=20°,则∠EAC=　　　　.  60° [变式1]如图所示,在△ABC中,点D是边AC上一点,点E是边BC上一点,且∠ABD=∠CBD,∠BDE=∠CDE,则BD是△　 　的角平分线,DE是△　　　. 的角平分线.  ABC BDC [变式2]如图所示,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=80°,求∠ECD的度数. 三角形的中线 [典例2]如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm,AB与AC的和为13 cm,求AC的长. 解:因为AD是BC边上的中线,所以D为BC的中点,CD=BD. 因为△ADC的周长-△ABD的周长=5 cm,所以AC-AB=5 cm. 又因为AB+AC=13 cm,所以AC=9 cm.即AC的长度是9 cm. [变式3]如图所示,在△ABC中,点D是BC的中点,△ABD的面积为2,则△ABC的面积为　　　　.  4 [变式4]如图所示,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中 点,设△ABC,△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF和S△BEF,且S△ABC= 12,求S△ADF-S△BEF的值. 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,故三角形的中线可以等分三角形的面积. 三角形的高 [典例3]画△ABC中AB边上的高,下列画法中正确的是(　　) A　 B　 C　 D C [典例4]如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,若点P在边AC上移动,求BP的最小值. [变式5]三角形的重心是(　　) A.三角形三条边上中线的交点　　　 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点　 D.三角形三条内角平分线的交点 A [变式6]如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=4,△ABC的高AD与CE的比值是多少? 作三角形的高,应从顶点向对边所在的直线作垂线,注意钝角三角形有两条高在三角形的外部. [变式7]在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC= 50°,∠C=68°,求∠DAE和∠AOB的度数. 所以∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-31°=124°. 因为AD是高线, 所以∠ADC=90°, 所以∠DAC=180°-∠ADC-∠C=22°, 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-22°=3°. 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 三角形的角平分线 基础巩固练 1.如图所示,在△ABC中,D,E,F是边BC上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4, AE是哪个三角形的角平分线( ) A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC,△ADF D 2.如图所示,在△ABC中,∠ABC=50°,BD是△ABC的角平分线,延长BD到点E,连接AE,若AE∥BC,则∠E=　 　°.  25 三角形的中线 3.如图所示,已知BD=DE=EF=FC,那么△ABE的中线是( ) A.AD B.AE C.AF D.以上都是 4.(2024南宁期末)如图所示,在△ABC中,点E是BC的中点,AB=7,AC=10, △ACE的周长是25,则△ABE的周长是( ) A.18 B.22 C.28 D.32 A B 5.如图所示,已知AD是△ABC的中线,CE是△ADC的中线.若△ABC的面积为8,则△CDE的面积为　 　.  2 三角形的高 6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,图中以AD为高的三角形的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 7.(2024长沙期末)下面四个图形中,线段AD是△ABC的高的是( ) D A B C D 8.如图所示,在△ABC中,∠ACB>90°,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为D,E,F,则△ABC中边BC上的高是　 　.  AD 9.如图所示,AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB= 12,求BC的长. 能力提升练 10.(2024重庆模拟)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是( ) A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF C 11.如图所示,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D.若∠BAC=128°, ∠C=36°,则∠DAE的度数是( ) A.10° B.12° C.15° D.18° A 12.如图所示,在△ABC中,AD为中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3, AC=4,DF=1.5,则DE=　 　.   2 13.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC= 8 cm2,则阴影部分的面积为　 　cm2.  2 14.有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制订出两种以上的划分方案供选择(画图说明).(提示:利用三角形的中线等分三角形的面积) 解:(答案不唯一)方案1:如图①所示,在BC上取点D,E,F,使BD=DE=EF= FC,连接AD,AE,AF. 方案2:如图②所示,先取BC的中点D,再取CD的中点E,AB的中点F,连接AD,AE,DF. 方案3:如图③所示,分别取BC的中点D,AB的中点E,AC的中点F,连接AD,DE,DF. 素养培优练 15.如图所示,在△ABC中,AB=10 cm,AC=6 cm,D是BC的中点,点E在边 AB上. (1)若△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等,求线段AE的长. 解:(1)由题图可知△BDE的周长=BE+BD+DE,四边形ACDE的周长=AE+AC+ DC+DE. 又△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等,D为BC中点, 所以BD=DC,BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE, 所以BE=AE+AC. 因为AB=10 cm,AC=6 cm, 所以10-AE=AE+6, 所以AE=2 cm. (2)若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2,求线段AE的长. 解:(2)由△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2,可得方程①BE=AE+ AC+2或②BE=AE+AC-2. 又AB=10 cm,AC=6 cm,所以: 由①得AE=1 cm, 由②得AE=3 cm. 故AE长为1 cm或3 cm. 谢谢观赏！ 37 解:因为CD平分∠ACB, 所以∠ECD=∠BCD=∠ACB. 又DE∥BC, 所以∠ACB=∠AED=80°. 所以∠ECD=40°. 解:因为点D是AC的中点,所以AD=AC. 因为S△ABC=12,所以S△ABD=S△ABC=×12=6. 因为EC=2BE,S△ABC=12,所以S△ABE=S△ABC=×12=4. 因为S△ABD-S△ABE=(S△ADF+S△ABF)-(S△ABF+S△BEF)=S△ADF-S△BEF, 所以S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2. 解:根据垂线段最短,可知当BP⊥AC时,BP有最小值. 由△ABC的面积公式可知,AD·BC=BP·AC. 解得BP=. 解:因为S△ABC=AB·CE=BC·AD,AB=2,BC=4, 所以×2·CE=×4·AD, 所以=. 解:因为∠BAC=50°,∠C=68°, 所以∠ABC=180°-∠BAC-∠C=62°. 因为AE,BF是△ABC的角平分线,∠BAC=50°, 所以∠CAE=∠BAE=∠BAC=25°, ∠ABF=∠CBF=∠ABC=31°, 解:由题意,知 S△ABC=AD·BC=×10×BC=5BC, S△ABC=AB·CE=×12×9=54, 所以5BC=54,所以BC=. $$