11.3　公式法 第1课时　利用平方差公式进行因式分解课件 2024-2025学年 青岛版数学七年级下册

11.3　公式法 第1课时　利用平方差公式进行因式分解 栏目导航 知识梳理 考点梳理 平方差公式 字母表示:a2-b2=　 .  语言描述:两个数的平方差,等于这两个数的　 　与这两个数的　 的乘积.  知识梳理 (a+b)(a-b) 和 差 平方差公式的直接运用 考点梳理 [典例1]把下列各式进行因式分解: (1)x2-16y2; (3)-4x2+25y2. 解:(1)原式=x2-(4y)2=(x-4y)(x+4y). (3)原式=25y2-4x2=(5y)2-(2x)2=(5y-2x)(5y+2x). (2)原式=(m+1+m-2)(m+1-m+2)=3(2m-1). (2)(m+1)2-(m-2)2. 运用平方差公式分解因式时,先把二项式写成a2-b2的形式,再运用平方差公式. 平方差公式的综合运用 [典例2]分解因式: (1)3x-12x3; (2)(m+2n)2-(m-n)2. 解:(1)原式=3x(1-4x2)=3x(1-2x)(1+2x). (2)原式=[(m+2n)+(m-n)][(m+2n)-(m-n)]=3n(2m+n). [变式2]分解因式: (1)x3y-9xy; (2)16(a-b)2-9(a+b)2. 分解因式不彻底导致出错. 解:(1)原式=xy(x2-9)=xy(x+3)(x-3). (2)原式=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2 =[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)] =(7a-b)(a-7b). [典例3]分解因式:x4-16. 解:原式=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2). 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 运用平方差公式进行因式分解 基础巩固练 1.(2024泰山期末)下列多项式中,可以用平方差公式进行因式分解的是( ) A.x2+4y2 B.-9x2-y2 C.4x-y2 D.-16x2+25y2 2.下列各式分解因式的结果正确的是( ) A.1+25a2=(1+5a)(1-5a) B.-m2+16=(m+4)(m-4) C.a2-4b2=(a+4b)(a-4b) D.4-x2=(2-x)(2+x) D D 3.(菏泽中考)分解因式: x2-9y2=　 .  4.25a2-　 　=(-5a+3b)(-5a-3b).  (x-3y)(x+3y) 9b2 (2)原式=(4m)2-(3n)2 =(4m+3n)(4m-3n). (4)原式=(a2)2-(4b2)2 =(a2-4b2)(a2+4b2) =(a-2b)(a+2b)(a2+4b2). 平方差公式的综合运用 6.多项式4a-a3分解因式的结果是( ) A.a(4-a2) B.a(2-a)(2+a) C.a(a-2)(a+2) D.a(a-2)2 7.有一道因式分解题:x2-■,其中“■”是被墨迹污染看不清的单项 式,这个单项式不可能是( ) A.2x B.-2x C.y2 D.-4y2 B D 8.因式分解: (1)3a2-27; (2)64x2y4-4x2; 解:(1)3a2-27=3(a2-9)=3(a+3)(a-3). (2)64x2y4-4x2=4x2(16y4-1) =4x2[(4y2)2-1] =4x2(4y2+1)(4y2-1) =4x2(4y2+1)(2y+1)(2y-1). (3)m2(m-n)+n2(n-m); (4)9(3m+2n)2-4(m-2n)2. 解:(3)m2(m-n)+n2(n-m) =(m-n)(m2-n2) =(m-n)2(m+n). (4)9(3m+2n)2-4(m-2n)2 =[3(3m+2n)]2-[2(m-2n)]2 =[3(3m+2n)-2(m-2n)][3(3m+2n)+2(m-2n)] =(7m+10n)(11m+2n). 能力提升练 9.(2024莘县期末)分解因式2a2(x-y)+2b2(y-x)的结果是( ) A.(2a2+2b2)(x-y) B.(2a2-2b2)(x-y) C.2(a2-b2)(x-y) D.2(a-b)(a+b)(x-y) 10.数348-1能被30以内的两位整数整除,则此整数是( ) A.28,26 B.26,24 C.27,25 D.25,23 D A 11.分解因式: m2(m-n)2-4(n-m)2=　 　.  12.若x2-xy+2=0,y2-xy-6=0,则x-y的值是　 　.  13.因式分解: (1)4(a-b)2-(a+b)2; (m-n)2(m-2)(m+2) ±2 解:(1)4(a-b)2-(a+b)2 =[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)] =(3a-b)(a-3b). (2)-9m2+(2m-4n)2; (3)(x2-2y)2-(1-2y)2. 解:(2)-9m2+(2m-4n)2 =(2m-4n)2-9m2 =(2m-4n+3m)(2m-4n-3m) =-(5m-4n)(m+4n). 14.利用简便方法计算: (1)(962-16)-(882-122); 解:(1)原式=(96+4)(96-4)-(88+12)×(88-12) =9 200-7 600=1 600. 15.设n为整数,用因式分解说明(2n+1)2-252能被4整除. 解:(2n+1)2-252 =[(2n+1)+25][(2n+1)-25] =(2n+26)(2n-24) =4(n+13)(n-12), 故原式能被4整除. 素养培优练 16. 观察下面的式子:a1=32-12,a2=52-32,a3=72-52,…. (1)请用含n的式子表示an(n为大于0的自然数); 解:(1)因为a1=32-12,a2=52-32,a3=72-52,…, 所以an=(2n+1)2-(2n-1)2. (2)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你得到的结论. 解(2)是. 因为an=(2n+1)2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =8n. 因为n为大于0的自然数, 所以an是8的倍数. 结论:两个连续奇数的平方差是8的倍数. 谢谢观赏！ 25 (2)4a2-b2; (2)原式=(2a)2-(b)2=(2a-b)(2a+b). [变式1]因式分解: (1)x2-y2; 解:(1)原式=(x+y)(x-y). 5.用平方差公式进行因式分解: (1)-x2+1; (2)16m2-9n2; 解:(1)原式=1-x2=(1+x)(1-x). (3)m2-0.01n2; (4)a4-16b4. 解:(3)原式=(m)2-(0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n). (3)-(1-2y)2 =(x2-2y+1-2y)(x2-2y-1+2y) =(x2-4y+1)(x2-1) =(x2-4y+1)(x-1)(x+1). (2)(1-)(1-)(1-)…(1-). 解:(2)原式=(1-)(1+)(1-)(1+)×(1-)(1+)…(1-)(1+) =××××××…×× =× =. $$