第12讲 二次函数专项突破一（讲练，9种题型（含20种考向）+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

模块六 函数压轴 第12讲 二次函数压轴专项突破一 （思维导图+9种题型（含20种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与线段 考向一 斜线段 考向二 线段比 ►题型02 二次函数与平行 考向一 平行→k平行 考向二 平行→相似 考向三 证平行 ►题型03 二次函数与垂直 考向一 垂直→唯一存在 考向二 垂直→恒成立求参 考向三 垂直→恒存在 ►题型04 二次函数与面积计算法 考向一 割补法 考向二 铅垂法 考向三 平行转化法 ►题型05 二次函数面积转化法 考向一 面积比→高的比 考向二 面积比→底的比 考向三 平行转化面积 考向四 同加减转化面积 ►题型06 二次函数与等角 考向一 角度→相似 考向二 角度→三角函数等 考向三 角度→相似 ►题型07 二次函数与倍角 考向一 二倍角→减半 考向二 二倍角→加倍 ►题型08 二次函数与角的和差 ►题型09 二次函数与三角函数 考向一 知三角函数 考向二 求三角函数 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 二次函数专项突破 二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题中。以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。 【考试重点与难点】 1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求对称轴，并结合图像分析对称点的位置。 2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意判别式Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。 3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨的逻辑思维和全面的分析能力。 4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查学生对二次函数图像与性质的综合运用能力。 【常见题型】 1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性及弧长公式，通过构造几何图形求解最短路径。 2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学生灵活运用二次函数的性质和几何知识。 3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。 4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备较强的几何直观和逻辑推理能力。 【备考建议】 1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱环节。通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。 2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错题，避免重复犯错，提高解题的准确性和效率。 3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练有助于学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。 4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问题等。理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用能力。 总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学生可以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与线段 考向一 斜线段 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 考向二 线段比 3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点E，且，求点D的坐标； 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】（1）令，用含m的式子表示出A、B两点坐标，根据求出m的值，即可求解； （2）过点D作轴交直线于点F，根据（1）中结论求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求出直线的解析式，设，和含t的式子表示出，再根据，推出，根据相似三角形对应边长度成比例列式求出t的值，即可得出点D的坐标． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点D作轴交直线于点F， 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将B、C的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设， ∵轴， ∴点F的纵坐标为， 则， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， 当时， ， 当时，， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定的性质，正确作出辅助线，综合应用上述知识点是解题的关键． 4．（22-23九年级上·山东泰安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴负半轴交于点，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上第一象限内一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标及此时的面积； (3)如图3，直线与轴交于点，与抛物线交于第四象限的点，与直线交于点，记，请判断是否有最大值，如有请求出取最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)最大值； 【分析】（1）根据，则，根据，则，得到点的坐标；把、和点的坐标，代入，即可； （2）设直线的解析式为：，把点、点的坐标代入，可得到直线的解析式；设点，同理得到点的坐标，根据，即可；连接，过点作于点，根据，即可； （3）作轴，交于，根据轴，则，得，则；根据点在直线上，求出点的坐标，得到的值；设点，则得到点的坐标，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； ∵，，在抛物线， ∴， ∴， ∴． （2）设直线的解析式为：， ∵，在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：； 设点， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴（舍），； ∴点；， 连接，过点作于点， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）作轴，交于， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴点， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当，最大值为：；此时． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式，相似三角形的判定． ►题型02 二次函数与平行 考向一 平行→k平行 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．      (1)直接写出的值； (2)如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1) (2)； (3)线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值； （2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解； （3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， 点， ， 令，即， 解得，， 点A在点B的左侧， 点，， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，   ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 在中，， ， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴， 直线解析式为， 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或4， ； （3）解：设， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， 线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 考向二 平行→相似 6．（2023·湖北武汉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C． (1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n． 【答案】(1)2 (2)，， (3) 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点可得，，再利用完全平方公式变形代入可得方程，解之可得n值； （2）求出、坐标，设出点坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点坐标，分别代入抛物线解析式，求出点坐标； （3）设出点坐标，利用相似表示，再由一元二次方程根与系数关系表示，得到点坐标，进而找到与关系，代入抛物线求、即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴，， ∵，即， ∴ ， 解得：； （2）由（1）当时， 解得，， ，， ，， 抛物线对称轴为直线， 设点坐标为，， 由平行四边形性质可知， 当、为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得则点坐标为，， 当、为为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得则坐标为，， 综上点坐标为，，； （3）设点坐标为， ， 则，， ， ， ， ， ， 由一元二次方程根与系数关系， ， ， 将点，，代入， ， 解得或（舍去）， 则． 【点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想． 考向三 证平行 7．（2021·山东德州·中考真题）小刚在用描点法画抛物线：时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 (1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：　　； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线； ①若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围； ②抛物线的顶点为A，与轴交点为点，（点在点左侧），点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接，，求证：． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）； (2)； (3)①；②见解析． 【分析】（1）从图表中可以得到函数的顶点坐标； （2）根据待定系数法求函数解析式即可； （3）①根据平移的规律到新的函数解析式，联立直线与抛物线得到一元二次方程，利用根的判别式找出有一个交点时的b的取值即可；②利用抛物线解析式求出B、C点的坐标，在中，，再求出直线AP解析式，在中， ，所以，可证明． 【详解】（1）解：（1）表中的数据关于对称， 该抛物线的顶点为． 故答案为：抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）； （2）解：由题意抛物线的解析式为，将表中的三对对应值代入得： 解得： 抛物线的解析式为． （3）解：①由（1）知：抛物线的解析式为， 将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线的顶点为． 抛物线的解析式为． 由题意得：或， 或． 即或． 当时，方程有两个相等的实数根， 或． 解得：或． 直线与两抛物线，共有两个公共点， ． ②由题意画出图形如下：过点A作轴于点， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：或． 抛物线与轴交点为点，（点在点左侧）， ，． ． 由①知：抛物线的顶点为． ，， ． 在中，． 点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点， 设点，则，． 轴， ． 设直线的解析式为，则： ， 解得： 直线的解析式为． 令，则． ． ． 在中， ． ． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，要求掌握函数的图象性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用一次函数与抛物线结合建立一元二次方程，利用根的判别式判断交点情况． ►题型03 二次函数与垂直 考向一 垂直→唯一存在 8．（2023·江苏苏州·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图①，有一定度为1的直尺平行于轴．在点之间平行移动，直尺两长边被线段和抛物线截得两线段．设点的横坐标为，且，试比较线段与的大小； (3)如图②，将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，是轴正半轴上一动点，．经过点的直接交抛物线于两点．当点运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，时，；当时，即时，；当，即时， (3)点的坐标为 【分析】（1）将，代入解析式可得，解方程即可得到答案； （2）用分别表示出的坐标，然后求出，最后分三种情况讨论：①当时，②时，③当时，分别进行计算即可得到答案； （3）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，证明，再联立直线与得到，由韦达定理即可得到答案． 【详解】（1）解：与轴交于，， ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 由（1）得：抛物线的解析式为， 把代入得：， 把代入得： 点的坐标为，点的坐标为， 由（1）的：抛物线的解析式为， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线的解析式为， 把代入得：，把代入得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ① 当时，时，， ② 当时，即时， ， 时，， ③当，即时， ，      时，； （3）解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，如图所示，   ， 由（1）可得抛物线的解析式为：， 将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线， 的解析式为， 设点，， 点，， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， 是正半轴上一动点， 设点，直线的解析式为， 把代入可得：， ， 直线的解析式为：， 联立直线与可得：，即， 由根与系数的关系可得：， ， 代入①可得：，即， 当时，即时，符合条件， 当时，，不符合题意， 综上，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、韦达定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、韦达定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解题的关键． 考向二 垂直→恒成立求参 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于两点在的左边），交轴于点．           图1                    图2 (1)如图1，当时， ①直接写出三点的坐标； ②拋物线的顶点为，求证：； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．过点的直线与拋物线交于两点．直线与拋物线只有一个交点，连接，若恒成立，求． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移和综合应用： （1）①分别令，，求出三点的坐标即可；②求出点坐标，勾股定理逆定理得到，锐角三角函数，求出，，得到，根据角的和差关系，即可得出结论； （2）根据题意求出的解析式，设，求出直线的解析式，根据直线经过点，得到，求出直线的解析式，进而求出点坐标，过点作直线平行于轴，作于点，作于点，证明进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ①当时，，当时，， 解得：， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∵ ， ，即：； （2）由题意，得：， 设，直线的解析式为， 则：，解得， ∴ ∵过得： ∴， 设的解析式为， 令， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 同法可得： 令， 解得 ∴ 过点作直线平行于轴，作于点，作于点．则：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 又， ∵恒成立， 与的值无关， ∴， 考向三 垂直→恒存在 10．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．    (1)求a的值； (2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？ (3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a＝2 (2)m＝﹣ (3)存在，G（0，﹣） 【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论； （2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值； （3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 点在抛物线上， ， ． （2）解：直线与抛物线，分别交于点，， ，， ， ， 当时，的最大值为， 的最大值为4， ，解得， ， ． （3）解：存在，理由如下： 设点的坐标为，则， ， 点在轴正半轴上， 且， ， ，，，． 如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，     ，， ， ， ， ， ，即． ，，， 解得． ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解． ►题型04 二次函数与面积计算法 考向一 割补法 11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 考向二 铅垂法 12．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 考向三 平行转化法 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线上的动点，过点E作，交直线于点F，若面积为2，求点E坐标； (3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为，，当点P在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不变，1 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由，可得，对称轴为直线，则，待定系数法求直线解析式为，同理可求，直线解析式为，如图1，连接，设，则直线解析式为，联立，，可求，则，计算求出满足要求的解，进而可得点坐标； （3）如图2，过点C作轴交直线于点J， 则，由，可得，证明，则，设，，直线的解析式为；同理可求，直线的解析式为；时，可求，同理，，则，由，可得，则 ，然后作答即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴，对称轴为直线， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 同理可求，直线解析式为， 如图1，连接， 设， ∵， ∴直线解析式为， 联立，， 解得，， ∴， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，或（舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图2，过点C作轴交直线于点J， 当时，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， 设，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 同理可求，直线的解析式为； ∵， ∴， 解得， 同理，， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴的值不变，值为1． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，二次函数与面积综合，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，二次函数与面积综合，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． ►题型05 二次函数面积转化法 考向一 面积比→高的比 14．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 考向二 面积比→底的比 15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点． (1)求的值； (2)若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． ①试问：抛物线上是否存在这样的点，使得？ ②若直线与抛物线交于， ，点关于抛物线的对称轴的对称点记为（与不重合），轴交直线于点，直线与直线交于点，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由，即可求解； （2）①由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，当时，则也为等腰直角三角形，即可求解； ②设点、点，则点，求出点、的坐标，进而求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到根和系数的关系、三角形相似等，数据处理和数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，∵抛物线与轴只有一个公共点． ∴， 解得：； （2）解：①， 则点； ，则抛物线与， 则点、， 由点、、的坐标知，为等腰直角三角形， 当时，则也为等腰直角三角形， 如图： 而点、， 根据抛物线的对称性，则点； ②如图： 设点、点，则点， 联立抛物线和的表达式得：， 整理得：， 则，， 将点坐标代入一次函数表达式得：， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 则点，， 同理可得：点，， 则 ， 同理可得：， ， 则， 则． 考向三 平行转化面积 16．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线经过点B交抛物线于点E，点M是线段上一点，作轴交抛物线于点N，若，试求点M的坐标； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把，和代入计算，即运用待定系数法进行求解； （2）先求出的解析式，得，因为，轴，所以，然后求出直线的解析式，联立，求出，那么，即可作答； （3）根据平行线的距离处处相等，即，结合题意，得，作轴交于N，设，则，得，那么，当时，，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把，和代入， 得， 解得， 即； （2）解：、分别与y轴交于G、H，如图：    把代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线为 则， 即 解得：， 因为， ∴， ∴， 把代入， 解得 ∴； （3）解：设的解析式为， 把，分别代入，得 ， 解得， 所以的解析式为， 连接，作轴交于N，如图：    ∵， ∴， ∵与的面积和为， ∴， 设，则， ∴， ∴ 那么对称轴， ∴当时，， 把代入中，解得， 此时． 【点睛】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键． 考向四 同加减转化面积 17．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交于，顶点为． (1)如图①，若为直角三角形，求的值； (2)如图②，设与交于，在的变化过程中，与不重合部分的面积比的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由； (3)如图③，若，作的中点，过点在第二象限内作轴的垂线段，以、为邻边作矩形，记矩形与重叠部分的面积为，矩形以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过点时，停止运动．设运动时间为，求与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在运动过程中，是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值． 【答案】(1) (2)为定值，值为 (3)运动过程中，S存在最大值，且当时， 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质，求出，，的坐标，得到，，，根据勾股定理的应用，，，解出，即可； （2）由（1）可得，，的坐标，根据二次函数的图象和性质，求出顶点的坐标，设直线的解析式为：，设直线的解析式为：，根据待定系数法求出直线，的解析式，联立方程求出的坐标，根据三角形的面积公式，则求出，，，根据，，即可； （3）根据，得到函数解析式，求出，，，，的坐标，根据待定系数法求出直线，，的函数解析式，分类讨论： 当，即时，重叠部分为梯形； 当，即时，重叠部分为两个梯形；当，即时，重叠部分为一个三角形，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵二次函数，与轴交于、两点，与轴交于， ∴当时，， ∴， 时，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴ ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）是定值 由（1）可知：，， ∵， ∴ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为： ∴ 解得： ∴直线的解析式为： 解方程组，得：，， 即， ∴， 同理，，， ∴，， ∴为定值． （3）当， ∴二次函数的解析式为：， ∴，，，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为：， ∴， ∴ ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为： ∴ ∴ ∴直线的解析式为： 经过秒的坐标为，的坐标为， ①  当，即时，重叠部分为梯形，如图， ∵与的交点为，与的交点为，与的交点为，与的交点为，， ∴ ② 当，即时，重叠部分为两个梯形，如图， ∵与的交点为，与的交点为，与的交点为，与的交点为，与轴的交点为， ∴ ∴ ∴ ∴ ③ 当，即时，重叠部分为一个三角形，如图， ∵与的交点为，与的交点为， ∴ ∴与的函数关系式为 在运动过程中，存在最大值，且当时，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，动点的运动轨迹进行解答，即可． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为： 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式、一次函数与二次函数的性质， （1）由二次函数，令，则，则，又由得到，，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由和得到当达到最大值时，的值最小，则当点D为抛物线的顶点时，达到最大值．利用待定系数法求出直线的解析式即可； 【详解】（1）解：由二次函数，令，则， ∴． 又∵， ∴，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式是； （2）． ∵，为定值， ∴当达到最大值时，的值最小． ∵， ∴点D为抛物线的顶点时，达到最大值． 设直线的解析式为， 又， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ►题型06 二次函数与等角 考向一 角等→全等 19．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①直角三角形；②或 【分析】（1）分别求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）连接，过B作于F，判断四边形是正方形，得出，，则可证，利用证明，可求出G的坐标，利用待定系数法求出的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组求解即可； （3）①利用两点间距离公式，勾股定理的逆定理即可判断；②分在的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， 把B、C的坐标代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴轴，则轴，， ∵，， ∴， 如图，连接，过B作于F， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴ （3）解：①∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，其中； ②当在的上方时，如图， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 当在的下方时， 如图，过B作，交于G，过G作于H 又①知， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， ∴ 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、等腰直角三角形求解是解题的关键． 20．（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①，且；②或或；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，    解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 考向二 角等→三角函数 21．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：过D作于N，作于M， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限， 当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 考向三 角等→相似 22．（2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据，利用待定系数法求得，分别令，，即可求解； （2）连接，过点P作轴，交于点E，由，知，利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，得，进而可得，即可求解； （3）如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则，先证，得，易知四边形是矩形，得，设，则．由，知．得，易证，可得，得点P的坐标为代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． ． 令，解得，． ∵点B在点A右侧， ． 令，得， ． （2）如图．连接，过点P作轴，交于点E． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入，，解得． 直线的表达式为 设． 轴， ． ． ． ， 当时，的值最大，为． 的最大值为． （3）点P的坐标为． 如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则． ∵，，， ，． ． ． ． ∵ ． 易得， ． ． ． 易得四边形是矩形， 设，则． ∵， ． ． ∵，， ∴ ． ． 点P的坐标为． ，解得，（舍去）． 当时，，． 点P的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键． ►题型07 二次函数与倍角 考向一 二倍角→减半 23．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 考向二 二倍角→加倍 24．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． (3)如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意可知，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点．当时，求得，解直角三角形可得，，则，，在中，．设点坐标为，则，，列出方程即可求解； （3）先求得直线解析式为，直线解析式为，结合抛物线求得，设，则，得，过点作轴，，则，，得 ，当时，有最大值，此时．作点关于的对称点，则，连接与交于点，由，且．可知，故的最小值为，设交轴于点，根据，结合图形求得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ， 由题意得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）过点作轴于点． 当时，即：，解得，， ． ，，，， ，， ， ， ． 在中，． 设点坐标为，则，， ，解得：（不合题意，舍去），， 点坐标为． （3）由（2）可知，，，则， ∵， ∴，则，， 设直线解析式为：，则，， ． 设直线解析式为： ，则，， ． 联立解得或， ． 设，则， ， 过点作轴，，则， ， ． 当时，有最大值，此时． ∵是的中点， ∴， 作点关于的对称点，则，连接与交于点， ，且． ， 故的最小值为， ， ，又，， ，， 设交轴于点， ， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． ►题型08 二次函数与角的和差 25．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为；； (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； (3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）把代入得，求出，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，，，分两种情况：①当D在下方时，设延长线交x轴于K，证明，有，得，，即可求得直线解析式为，联立可解得；②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，证明，可得，求出，，知，故直线的解析式为，联立，解得； （3）求出抛物线顶点T坐标，联立得，设，，则，，，，由G为的中点，知，故；根据两点间距离公式可得，即可得的值为． 【详解】（1）解：∵，C在y轴负半轴， ∴， 把代入得， ∴， 令得， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当D在下方时，设延长线交x轴于K，如下图， 此时， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； ②当在上方时，设交x轴于W，过B作轴交直线于T，如上图， 此时，， 又， ∴， ∴， 在中，令得， ∴，， ∴，， ∴， 由，得直线CW的解析式为， 联立， 解得或， ∴； 综上所述，D的坐标为或； （3）解：由知抛物线顶点T坐标为， 联立得， 设，，则，，，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，相似三角形判定与性质，根与系数的关系，两点间距离公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． ►题型09 二次函数与三角函数 考向一 知三角函数 28．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 考向二 求三角函数 29．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设 ，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要求较高。以下是针对二次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。 一、基础知识回顾 1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。 2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本性质。 3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、圆及平行线、垂直等几何图形的性质。 二、典型题型与解题技巧 1. 求解析式 例题：已知抛物线经过三点，求解析式。 方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。 2. 面积问题 例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。 方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配方法求最值。 3. 最值问题 例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。 方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线的距离公式）求解。 4. 与圆相关的问题 例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。 方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。 5. 构造特殊图形 例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。 方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐标。 三、解题策略 1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。 2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极值问题。 3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。 4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。 通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。 1．（2025·广西河池·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点P是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)，抛物线顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形面积的综合，掌握二次函数图象的性质，几何图形面积与二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）把点代入抛物线，根据对称轴直线，运用待定系数法即可求解抛物线解析式，再把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把点代入抛物线解析式可得，再令时得到抛物线与轴的两个交点，由，结合图形即可求解； （3）过点P作轴交于点F，与直线交于点E，设P坐标为，根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，可解出直线的解析式为，则，所以有，由，得到，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知：， 解得， 二次函数的解析式为：， 把一般式化为顶点式得：， 抛物线顶点坐标为． （2）解：过点P作轴交于点F，与直线交于点E， 在二次函数中， 令，则， ∴， 令，则， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设P坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大值是． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点．直线经过于点、交轴于点，． (1)求拋物线的解析式； (2)点在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，的面积等于，求点的坐标； (3)在（）的条件下，连接，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交线段于点，过点作的垂线交于点，交线段于点，连接，，当时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线解析式得出，，即可求出，把、坐标代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）设，与轴相交于点，利用待定系数法用表示出直线的解析式，即可表示出点坐标，表示出，根据的面积等于，利用三角形面积公式列方程求解即可得答案； （3）过点作轴于，过点作轴于，于，根据两点间距离公式可得出是等腰直角三角形，，设，则，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角性质可得，，利用平行线的性质及正切的定义得出，，设，，则，，可得，，，根据，得出，根据，得出，即可求出、的值，得出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，联立直线与抛物线解析式即可得答案． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴， ∴拋物线的解析式为． （2）解：设，与轴相交于点， 把代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴不合，舍去， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，于， 由（2）可知，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得， 解得：，或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质，解一元二次方程、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 3．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时， 求点 M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， ，则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 5．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②最大值为． 【分析】本题主要考查待定系数法求函数关系式，交点坐标，三角形面积等． （1）先求出直线的解析式，求出点B的坐标，再求得点A的坐标，再将A，B坐标代入，求出a，b即可； （2）求出直线的解析式，的解析式，联立方程组，求出点P的坐标，可得，再证明，得，从而可得结论； （3）设与交于点R，G，与交于点F，K，分别求出直线的解析式，再分别用含有a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，利用二次函数的性质，可求出和公共部分面积的最大值． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 把 代入得， ， 解得，， 所以，二次函数解析式为：； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由平移得，， ∴设直线的解析式为， 把代入得，， ∴设直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ， ∴， ∴， ∵是由平移得到的， ∴， ∴； ②设点P的坐标为其中，， 由平移知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， ∴ ∴； 设与交于G，R，与交于K，F， 联立， 解得，，， ∴，， 在中， 当时，， ∴，， ∵点P的横坐标为， ∴，， ∴， 设和公共部分的面积为S， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； ∴和公共部分的面积最大值为． 6．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． $$模块六 函数压轴 第12讲 二次函数压轴专项突破一 （思维导图+9种题型（含20种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与线段 考向一 斜线段 考向二 线段比 ►题型02 二次函数与平行 考向一 平行→k平行 考向二 平行→相似 考向三 证平行 ►题型03 二次函数与垂直 考向一 垂直→唯一存在 考向二 垂直→恒成立求参 考向三 垂直→恒存在 ►题型04 二次函数与面积计算法 考向一 割补法 考向二 铅垂法 考向三 平行转化法 ►题型05 二次函数面积转化法 考向一 面积比→高的比 考向二 面积比→底的比 考向三 平行转化面积 考向四 同加减转化面积 ►题型06 二次函数与等角 考向一 角度→相似 考向二 角度→三角函数等 考向三 角度→相似 ►题型07 二次函数与倍角 考向一 二倍角→减半 考向二 二倍角→加倍 ►题型08 二次函数与角的和差 ►题型09 二次函数与三角函数 考向一 知三角函数 考向二 求三角函数 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 二次函数专项突破 二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题中。以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。 【考试重点与难点】 1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求对称轴，并结合图像分析对称点的位置。 2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意判别式Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。 3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨的逻辑思维和全面的分析能力。 4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查学生对二次函数图像与性质的综合运用能力。 【常见题型】 1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性及弧长公式，通过构造几何图形求解最短路径。 2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学生灵活运用二次函数的性质和几何知识。 3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。 4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备较强的几何直观和逻辑推理能力。 【备考建议】 1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱环节。通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。 2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错题，避免重复犯错，提高解题的准确性和效率。 3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练有助于学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。 4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问题等。理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用能力。 总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学生可以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与线段 考向一 斜线段 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 考向二 线段比 3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点E，且，求点D的坐标； 4．（22-23九年级上·山东泰安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴负半轴交于点，且． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上第一象限内一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标及此时的面积； (3)如图3，直线与轴交于点，与抛物线交于第四象限的点，与直线交于点，记，请判断是否有最大值，如有请求出取最大值时点的坐标． ►题型02 二次函数与平行 考向一 平行→k平行 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．      (1)直接写出的值； (2)如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 考向二 平行→相似 6．（2023·湖北武汉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C． (1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n． 考向三 证平行 7．（2021·山东德州·中考真题）小刚在用描点法画抛物线：时，列出了下面的表格： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 (1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：　　； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线； ①若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取值范围； ②抛物线的顶点为A，与轴交点为点，（点在点左侧），点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接，，求证：． ►题型03 二次函数与垂直 考向一 垂直→唯一存在 8．（2023·江苏苏州·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图①，有一定度为1的直尺平行于轴．在点之间平行移动，直尺两长边被线段和抛物线截得两线段．设点的横坐标为，且，试比较线段与的大小； (3)如图②，将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，是轴正半轴上一动点，．经过点的直接交抛物线于两点．当点运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线，使，求点的坐标． 考向二 垂直→恒成立求参 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于两点在的左边），交轴于点．           图1                    图2 (1)如图1，当时， ①直接写出三点的坐标； ②拋物线的顶点为，求证：； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．过点的直线与拋物线交于两点．直线与拋物线只有一个交点，连接，若恒成立，求． 考向三 垂直→恒存在 10．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．    (1)求a的值； (2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？ (3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型04 二次函数与面积计算法 考向一 割补法 11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 考向二 铅垂法 12．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 考向三 平行转化法 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线上的动点，过点E作，交直线于点F，若面积为2，求点E坐标； (3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为，，当点P在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由． ►题型05 二次函数面积转化法 考向一 面积比→高的比 14．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 考向二 面积比→底的比 15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点． (1)求的值； (2)若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． ①试问：抛物线上是否存在这样的点，使得？ ②若直线与抛物线交于， ，点关于抛物线的对称轴的对称点记为（与不重合），轴交直线于点，直线与直线交于点，求的值． 考向三 平行转化面积 16．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线经过点B交抛物线于点E，点M是线段上一点，作轴交抛物线于点N，若，试求点M的坐标； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时的最大值． 考向四 同加减转化面积 17．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交于，顶点为． (1)如图①，若为直角三角形，求的值； (2)如图②，设与交于，在的变化过程中，与不重合部分的面积比的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由； (3)如图③，若，作的中点，过点在第二象限内作轴的垂线段，以、为邻边作矩形，记矩形与重叠部分的面积为，矩形以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过点时，停止运动．设运动时间为，求与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在运动过程中，是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式． ►题型06 二次函数与等角 考向一 角等→全等 19．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 20．（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 考向二 角等→三角函数 21．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 考向三 角等→相似 22．（2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． ►题型07 二次函数与倍角 考向一 二倍角→减半 23．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二 二倍角→加倍 24．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． (3)如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． ►题型08 二次函数与角的和差 25．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 26．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标； (3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值． ►题型09 二次函数与三角函数 考向一 知三角函数 28．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 考向二 求三角函数 29．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要求较高。以下是针对二次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。 一、基础知识回顾 1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。 2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本性质。 3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、圆及平行线、垂直等几何图形的性质。 二、典型题型与解题技巧 1. 求解析式 例题：已知抛物线经过三点，求解析式。 方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。 2. 面积问题 例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。 方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配方法求最值。 3. 最值问题 例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。 方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线的距离公式）求解。 4. 与圆相关的问题 例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。 方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。 5. 构造特殊图形 例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。 方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐标。 三、解题策略 1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。 2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极值问题。 3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。 4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。 通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。 1．（2025·广西河池·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点P是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点．直线经过于点、交轴于点，． (1)求拋物线的解析式； (2)点在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，的面积等于，求点的坐标； (3)在（）的条件下，连接，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交线段于点，过点作的垂线交于点，交线段于点，连接，，当时，求点坐标． 3．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时， 求点 M的坐标． 4．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 5．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 6．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． $$