黄金卷06（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷答案 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．B 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．2 8．x≥9 9． 10．14 11．x＝10 12．150 13．34° 14．67.5，． 15．． 16．9． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．x＜﹣4． 在数轴上表示为：． 18． 19．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AC的中点是O， ∴OA＝OC， 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴OE＝OF； 20．解：（1）∵点A（1，2）在的图象上， ∴， 解得m＝2． 把A（1，2）代入y＝﹣x+b得，2＝﹣1+b， 解得b＝3． （2）∵A，B是两个函数图象的交点， ∴， 解得或， ∴B（2，1）． 当时，x的取值范围为1＜x＜2． 21．（1）； （2）画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， ∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 22．（1）1.9； （2）①； （3）（答案不唯一）． 由统计图可知，①我国人口老龄化逐年增长；②2000全国老年人口达到：12.66×6.96%≈0.88（亿）． 23．解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意得，AB＝7km，∠CAB＝90°，∠C＝63°，∠BDE＝37°，∠BAD＝45°， 在Rt△ADE中，AB＝7，∠EAD＝45°， ∴AE＝DE， 在Rt△BDE中，AB＝7，∠BDE＝37°， ∵tan37°， ∴BE＝tan37°•DE， ∵AE+BE＝AB＝7， ∴AE+tan37°•DE＝7， 即AE+0.75AE＝7， 解得AE＝4＝DE， ∴ADAE＝45.6（km）， （2）在Rt△ABC中，AB＝7，∠C＝63°， ∴BC7.9（km）， AC3.5（km）， 在Rt△BDE中，DE＝4，∠BDE＝37°， ∴BD5.0（km）， ∴线路1，即A﹣C﹣B路线长为AC+BC＝3.5+7.9＝11.4（km），线路2，即A﹣D﹣B的路线长为AD+BD＝5.0+5.6＝10.6（km）， ∵11.4＜10.6， ∴线路2更短． 24．【解答】（1）①证明：由题意得，四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABC＝180°， 又∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC； ②解：BD＝CD．理由如下： 如图2，连接AD， ∵O是AB的中点， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）如图3，连接OE交AD于M，则OE＝OD＝OA＝OB， ∵四边形AODE为菱形， ∴DE＝OD，AE＝OA，， ∴DE＝OD＝OE＝AE＝OA， ∴△ODE和△OEA为等边三角形， ∴∠AOE＝∠DOE＝60°， ∴∠DOB＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴OB＝OD＝BDBC8＝4， ∴OB＝OE＝4， ∴，， ∴，， ∴． 所以阴影部分的面积为． 25．解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上， ∴n＝m2， ∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2， 当n取最小值时，m＝0，此时y＝ax2， ∵抛物线过点（1，2）， ∴a＝2， 故答案为：2； （2）∵图象经过点（1，2）， ∴2＝a（1﹣m）2+m2， 化简得：a（m≠1且m）； （3）①当开口向上时， 2﹣m2＞0， ∴m， ∴﹣2＜m＜2， ∴ ∵y2＜y1＜y3， ∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m， 解得：m＜0， ∵， ∴m＜0； ②当开口向下时， ∴m或m， 当m时， 此时，y1＜y2，不合题意， 当m时， 此时，y3＜y2，不合题意， 综上所述：． 26．解：（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）． 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠EAB＝∠ABC+∠C，AG平分∠EAB， ∴∠BAG＝∠ABC， ∴AG∥BC， ∵BF⊥AG， ∴BF⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°， ∴四边形AFBD是矩形； （2）如图，四边形ABPC即为所求． 27．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：以B，D，F为顶点的三角形是等边三角形， 证明：如图（2），取AC的中点G，连接BG，FG，BD，DF，BF， ∴BG＝AG＝CG， ∵∠ACB＝30°， ∴∠CAB＝∠ABG＝∠AGB＝60°， ∴AB＝BG， ∵点F是CE的中点， ∴FG∥AE，FGAE， ∴AD＝FG，∠CAE＝∠CGF， ∴∠BAD＝∠BGF， ∴△BAD≌△BGF（SAS）， ∴BD＝BF，∠ABD＝∠GBF， ∵∠ABD+∠GBD＝∠GBF+∠GBD， ∴∠DBF＝∠ABG＝60°， ∴△BDF是等边三角形； （3）解：如图（3），过C作FC⊥BC于C，且FC＝BC，连接BF，DF， ∵将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°， ∵BC＝CF，BC⊥CF， ∴∠CBF＝45°， ∴∠ABD＝∠CBF， ∴， ∴△ABC∽△DBF， ∴， ∵AC， ∴DF＝2， 取CF的中点G，连接BG，EG， ∵点E是CD的中点， ∴EG是△CFD的中位线， ∴EGDF＝1， ∵BC＝CF＝2， ∴CG， ∴BG5， ∵BE≤BG+EG， ∴BE≤5+1＝6， ∴BE的最大值为6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/13 11:00:37；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m．0.0000077用科学记数法表示是（　　） A．0.77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣5 D．7.7×10﹣6 2．（2分）下列各式中，一定能成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．垂线段最短 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 4．（2分）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 5．（2分）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2 6．（2分）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cosα等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）的算术平方根是 　 　． 8．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 9．（2分）计算：　 　． 10．（2分）如果x+y＝3，则（x+y）2+2x+2y﹣1＝ 　 　． 11．（2分）方程的解为　 　． 12．（2分）淇淇是一名天文爱好者，他统计了8场流星雨的最大天顶流量（单位：颗/小时）的数据，分别为136，150，123，87，36，150，36，150．这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是　 　． 13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，则∠CBA的度数是　 　． 14．（2分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，则∠BDF＝ 　 　度，若CE＝1cm，则BF＝ 　 　cm． 15．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则m的值为　 　． 16．（2分）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠B＝60°，F是BC的中点，点E、G分别在AB，CD上，且EG⊥AB，连接EF、AG，则EF+AG的最小值为 　 　． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．（7分）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 18．（7分）计算：（） 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F．求证：OE＝OF． 20．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象交于两点A、B，其中A（1，2）． （1）求m，b的值： （2）求点B的坐标，并写出时，x的取值范围． 21．（8分）嘉淇家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，嘉淇按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若嘉淇任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是　 　． （2）若任意按下其中的两个开关，求客厅和走廊灯同时亮的概率． 22．（9分）人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 　 　亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 　 　（填序号）； ①1990～2000；②2000～2010；③2010～2020． （3）请结合图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 23．（8分）如图，A，B两地的直线距离为7km，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从A﹣C﹣B；线路2：从A﹣D﹣B．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°方向．（参考数据：°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） （1）求AD的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，哪条线路更短． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O为线段AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与边BC，AC分别交于D，E两点， （1）若O为AB的中点 ①求证：DE＝DC； ②探究BD与CD的数量关系，并说明理由； （2）连结OD，若四边形AODE为菱形，BC＝8，求阴影部分的面积． 25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），顶点（m，n）在抛物线y＝x2上． （1）当n取最小值时，a＝　 　； （2）用含m的式子表示a； （3）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范围． 26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由； （2）若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 27．（9分）问题背景 如图（1），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE； 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，连接CE，点F是CE的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论； 拓展创新 如图（3），在△ABC中，，，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，连接BD，CD．若点E是CD的中点，连接BE，直接写出BE的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m．0.0000077用科学记数法表示是（　　） A．0.77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣5 D．7.7×10﹣6 【答案】D 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6． 故选：D． 2．（2分）下列各式中，一定能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利二次根式的化简的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、，故A符合题意； B、当a＜0时没有意义，故B不符合题意； C、当a﹣1＜0时，，故C不符合题意； D、当a≥3时，，故D不符合题意； 故选：A． 3．（2分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．垂线段最短 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 4．（2分）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】由已知设y，则由图象知点（0.25，400）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y，令x＝0.25，x＝0.5时，分别求y的值后作差即可． 【解答】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.25时，y400， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了400﹣200＝200（度）， 故选：B． 5．（2分）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2 【答案】D 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【解答】解：根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2， 故选：D． 6．（2分）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cosα等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得BC＝3，AC＝4，AB＝5，运用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【解答】解：如图所示，BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴△ABC是直角三角形， ∴， 故选：B． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）的算术平方根是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据算术平方根的概念进行解题即可． 【解答】解：∵8， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥9　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣9≥0， ∴x≥9． 故答案为：x≥9． 9．（2分）计算：　　． 【答案】． 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再把二次根式化简，最后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 10．（2分）如果x+y＝3，则（x+y）2+2x+2y﹣1＝ 　14　． 【答案】14． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当x+y＝3时，原式＝（x+y）2+2（x+y）﹣1＝32+2×3﹣1＝14． 故答案为：14． 11．（2分）方程的解为　x＝10　． 【答案】x＝10． 【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【解答】解：原方程去分母得2（2x﹣5）＝3x， 4x﹣10＝3x， 4x﹣3x＝10， x＝10， 检验：当x＝10时，3x（2x﹣5）≠0， ∴x＝10是原方程的解． 故答案为：x＝10． 12．（2分）淇淇是一名天文爱好者，他统计了8场流星雨的最大天顶流量（单位：颗/小时）的数据，分别为136，150，123，87，36，150，36，150．这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是　150　． 【答案】150． 【分析】根据众数是指一组数据中出现次数最多的数，进行解答即可． 【解答】解：150出现次数最多，因此这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是150． 故答案为：150． 13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若AC∥BO，∠OBC＝28°，则∠CBA的度数是　34°　． 【答案】34°． 【分析】连接OA，先利用平行线的性质可得∠OBC＝∠ACB＝28°，再利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠OBC＝28°，从而可得∠OCA＝56°，然后再利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝56°，从而利用三角形内角和定理可得∠AOC＝68°，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OA， ∵AC∥BO， ∴∠OBC＝∠ACB＝28°， ∵OA＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝28°， ∴∠OCA＝∠OCB+∠ACB＝56°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA＝56°， ∴∠AOC＝180﹣∠OAC﹣∠OCA＝68°， ∴∠ABC∠AOC＝34°， 故答案为：34°． 14．（2分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，则∠BDF＝ 　67.5　度，若CE＝1cm，则BF＝ 　　cm． 【答案】67.5，． 【分析】由正方形的性质可得BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，则∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，由三角形外角的性质可得∠F＝67.5°，即∠BDF＝∠F，则BD＝BF，设BF＝BD＝x，则BC＝CD＝（x﹣1）cm，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：∵BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°， ∴， ∵将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，CE＝1cm， ∴CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°， ∴∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，即∠BDF的度数为67.5°， ∵∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BD＝BF， 设BF＝BD＝x＞1，则BC＝CD＝（x﹣1）cm， ∵BC2+DC2＝BD2， ∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＝x2， 整理得，x2﹣4x+1＝0， 解得或（不合题意舍弃）， ∴，即BF的长为． 故答案为：67.5，． 15．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则m的值为　　． 【答案】． 【分析】首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，接着利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴1+x2＝﹣（4m+1），x1•x2＝2m﹣1， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1•x2+x1+x2+1＝2， 即：2m﹣1﹣（4m+1）+1＝2， 解得：m． 故答案为：． 16．（2分）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠B＝60°，F是BC的中点，点E、G分别在AB，CD上，且EG⊥AB，连接EF、AG，则EF+AG的最小值为 　9　． 【答案】9． 【分析】分别延长EF与DC，设它们交于点K，取DC的中点H，延长AH交BC延长线于点M，连接FG，GM，通过证明△EBF≌△KCF得到F为EK的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EF＝FG；连接AC，可得△ADC为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一得到AH⊥DC，利用线段垂直平分线的性质得到AG＝GM，这样，根据三角形任意两边之和大于第三边，得到EF+AG＝FG+GM≥FM，则EF+AG的值最小为FM． 【解答】解：分别延长EF与DC，设它们交于点K，取DC的中点H，延长AH交BC延长线于点M，连接FG，GM，如图， ∵F是BC的中点， ∴BF＝FC＝3． ∵四边形ABCD是的菱形， ∴AB∥CD． ∴∠B＝∠FCK． 在△EBF和△KCF中， ， ∴△EBF≌△KCF（ASA）． ∴EF＝FK． ∵EG⊥AB，AB∥CD， ∴EG⊥DC． ∴GFEK＝EF． 同理：△ADH≌△MCH， ∴AH＝HM，CM＝AD＝6． 连接AC， ∵四边形ABCD是的菱形， ∴AD＝DC，∠D＝∠B＝60°． ∴△ADC为等边三角形， ∵H为CD的中点， ∴AH⊥CD． ∴CD是AM的垂直平分线． ∴AG＝GM． ∵G为CD上一点， ∴EF+AG＝FG+GM≥FM． ∴当点G与点C重合时，EF+AG的值最小为FM． ∵FM＝FC+CM＝3+6＝9， ∴EF+AG的最小值为9． 故答案为：9． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．（7分）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 【答案】x＜﹣4． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＜﹣4， 由②得，x， 故此不等式的解集为x＜﹣4． 在数轴上表示为：． 18．（7分）计算：（） 【答案】见试题解答内容 【分析】先将被除式分母因式分解、计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，约分即可得． 【解答】解：原式 • ． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F．求证：OE＝OF． 【答案】见解析过程． 【分析】由“ASA”可证△EOA≌△FOC，可得OE＝OF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AC的中点是O， ∴OA＝OC， 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴OE＝OF； 20．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象交于两点A、B，其中A（1，2）． （1）求m，b的值： （2）求点B的坐标，并写出时，x的取值范围． 【答案】（1）m＝2，b＝3． （2）当时，1＜x＜2． 【分析】（1）由点A（1，2）在的图象上，得到，求得m＝2．根据点A（1，2）在y＝﹣x+b的图象上，解方程即可得到结论． （2）根据题意列方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）在的图象上， ∴， 解得m＝2． 把A（1，2）代入y＝﹣x+b得，2＝﹣1+b， 解得b＝3． （2）∵A，B是两个函数图象的交点， ∴， 解得或， ∴B（2，1）． 当时，x的取值范围为1＜x＜2． 21．（8分）嘉淇家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，嘉淇按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若嘉淇任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是　　． （2）若任意按下其中的两个开关，求客厅和走廊灯同时亮的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是； 故答案为：； （2）画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， ∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 22．（9分）人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 　1.9　亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 　①　（填序号）； ①1990～2000；②2000～2010；③2010～2020． （3）请结合图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 【答案】（1）1.9； （2）①； （3）见解答（答案不唯一）． 【分析】（1）根据条折线统计图和条形统计图数据解答即可； （2）根据条形统计图数据判断即可； （3）根据折线统计图信息解答即可． 【解答】解：（1）由折线统计图可知，2020年，全国老年人口约为：14.12×13.50%≈1.9（亿）． 故答案为：1.9； （2）由条形统计图可知，1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是1990～2000， 增速为11.6%． 故答案为：①； （3）由统计图可知，①我国人口老龄化逐年增长；②2000全国老年人口达到：12.66×6.96%≈0.88（亿）． 23．（8分）如图，A，B两地的直线距离为7km，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从A﹣C﹣B；线路2：从A﹣D﹣B．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°方向．（参考数据：°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） （1）求AD的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，哪条线路更短． 【答案】（1）AD≈5.6km； （2）线路2更短． 【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，由方向角的定义以及锐角三角函数的定义求出AE，进而求出AD即可； （2）利用直角三角形的边角关系以及锐角三角函数求出AC，BC，BD即可． 【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意得，AB＝7km，∠CAB＝90°，∠C＝63°，∠BDE＝37°，∠BAD＝45°， 在Rt△ADE中，AB＝7，∠EAD＝45°， ∴AE＝DE， 在Rt△BDE中，AB＝7，∠BDE＝37°， ∵tan37°， ∴BE＝tan37°•DE， ∵AE+BE＝AB＝7， ∴AE+tan37°•DE＝7， 即AE+0.75AE＝7， 解得AE＝4＝DE， ∴ADAE＝45.6（km）， （2）在Rt△ABC中，AB＝7，∠C＝63°， ∴BC7.9（km）， AC3.5（km）， 在Rt△BDE中，DE＝4，∠BDE＝37°， ∴BD5.0（km）， ∴线路1，即A﹣C﹣B路线长为AC+BC＝3.5+7.9＝11.4（km），线路2，即A﹣D﹣B的路线长为AD+BD＝5.0+5.6＝10.6（km）， ∵11.4＜10.6， ∴线路2更短． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O为线段AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与边BC，AC分别交于D，E两点， （1）若O为AB的中点 ①求证：DE＝DC； ②探究BD与CD的数量关系，并说明理由． （2）连结OD，若四边形AODE为菱形，BC＝8，求阴影部分的面积． 【答案】（1）①见解析； ②BD＝CD，理由见解析；（2）． 【分析】（1）①先根据圆内接四边形的性质得∠AED+∠ABC＝180°，进而得∠DEC＝∠ABC，再由AB＝AC得∠ABC＝∠C，再根据等量代换得∠DEC＝∠C，即可得出结论； ②连接AD，可得∠ADB＝90°，依据等腰三角形的性质可得结论； （2）连接OE，则OE＝OD＝OA＝OB，根据四边形AODE为菱形，证明△ODE和△OEA为等边三角形，△BOD为等边三角形可得OB＝4，再根据S阴影＝2（S扇形ODE﹣S△ODE）可得结论． 【解答】（1）①证明：由题意得，四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABC＝180°， 又∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC； ②解：BD＝CD．理由如下： 如图2，连接AD， ∵O是AB的中点， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）如图3，连接OE交AD于M，则OE＝OD＝OA＝OB， ∵四边形AODE为菱形， ∴DE＝OD，AE＝OA，， ∴DE＝OD＝OE＝AE＝OA， ∴△ODE和△OEA为等边三角形， ∴∠AOE＝∠DOE＝60°， ∴∠DOB＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴OB＝OD＝BDBC8＝4， ∴OB＝OE＝4， ∴，， ∴，， ∴． 所以阴影部分的面积为． 25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），顶点（m，n）在抛物线y＝x2上． （1）当n取最小值时，a＝　2　； （2）用含m的式子表示a； （3）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范围． 【答案】（1）2； （2）a（m≠1且m）； （3）所述：m＜0．． 【分析】（1）将顶点（m，n）代入函数y＝x2中，将函数转化为y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值； （2）将（1，2）代入，得出a的代数式； （3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论． 【解答】解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上， ∴n＝m2， ∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2， 当n取最小值时，m＝0，此时y＝ax2， ∵抛物线过点（1，2）， ∴a＝2， 故答案为：2； （2）∵图象经过点（1，2）， ∴2＝a（1﹣m）2+m2， 化简得：a（m≠1且m）； （3）①当开口向上时， 2﹣m2＞0， ∴m， ∴﹣2＜m＜2， ∴ ∵y2＜y1＜y3， ∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m， 解得：m＜0， ∵， ∴m＜0； ②当开口向下时， ∴m或m， 当m时， 此时，y1＜y2，不合题意， 当m时， 此时，y3＜y2，不合题意， 综上所述：． 26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：　AD⊥BC　，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由； （2）若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）AD⊥BC（答案不唯一），证明见解析； （2）见解析． 【分析】（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）．证明∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°即可； （2）延长AD到P，使得DP＝AD，连接BP，CP即可． 【解答】解：（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）． 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠EAB＝∠ABC+∠C，AG平分∠EAB， ∴∠BAG＝∠ABC， ∴AG∥BC， ∵BF⊥AG， ∴BF⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°， ∴四边形AFBD是矩形； （2）如图，四边形ABPC即为所求． 27．（9分）问题背景 如图（1），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE； 尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，连接CE，点F是CE的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论； 拓展创新 如图（3），在△ABC中，，，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，连接BD，CD．若点E是CD的中点，连接BE，直接写出BE的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）以B，D，F为顶点的三角形是等边三角形，证明见解析； （3）BE的最大值为6． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）如图（2），取AC的中点G，连接BG，FG，BD，DF，BF，得到BG＝AG＝CG，求得∠CAB＝∠ABG＝∠AGB＝60°，根据三角形中位线定理得到FG∥AE，FGAE，求得AD＝FG，∠CAE＝∠CGF，根据全等三角形的性质得到BD＝BF，∠ABD＝∠GBF，得到∠DBF＝∠ABG＝60°，根据等边三角形的判定定理得到△BDF是等边三角形； （3）如图（3），过C作FC⊥BC于C，且FC＝BC，连接BF，DF，根据旋转的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，求得∠ABD＝45°，得到∠CBF＝45°，根据相似三角形的性质得到，求得DF＝2，取CF的中点G，L连接BG，EG，根据三角形中位线定理得到EGDF＝1，根据勾股定理得到BG5，根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：以B，D，F为顶点的三角形是等边三角形， 证明：如图（2），取AC的中点G，连接BG，FG，BD，DF，BF， ∴BG＝AG＝CG， ∵∠ACB＝30°， ∴∠CAB＝∠ABG＝∠AGB＝60°， ∴AB＝BG， ∵点F是CE的中点， ∴FG∥AE，FGAE， ∴AD＝FG，∠CAE＝∠CGF， ∴∠BAD＝∠BGF， ∴△BAD≌△BGF（SAS）， ∴BD＝BF，∠ABD＝∠GBF， ∵∠ABD+∠GBD＝∠GBF+∠GBD， ∴∠DBF＝∠ABG＝60°， ∴△BDF是等边三角形； （3）解：如图（3），过C作FC⊥BC于C，且FC＝BC，连接BF，DF， ∵将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°， ∵BC＝CF，BC⊥CF， ∴∠CBF＝45°， ∴∠ABD＝∠CBF， ∴， ∴△ABC∽△DBF， ∴， ∵AC， ∴DF＝2， 取CF的中点G，连接BG，EG， ∵点E是CD的中点， ∴EG是△CFD的中位线， ∴EGDF＝1， ∵BC＝CF＝2， ∴CG， ∴BG5， ∵BE≤BG+EG， ∴BE≤5+1＝6， ∴BE的最大值为6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/13 11:00:37；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 1 学科网（北京）股份有限公司 $$