热点02 锐角三角函数与解直角三角形的应用（6大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

热点02 锐角三角函数与解直角三角形 中考数学中锐角三角函数与解直角三角形主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值的运算（每年1~2道，3~9分） 二、解直角三角形（每年1~2道，3~11分） 三、解直角三角形的综合应用（每年1~2题，3~10分） 中考数学中，锐角三角函数与解直角三角形是和相似三角形性质比较接近的一个考点，有时候应用也可以相通。解直角三角形的思想与几何图形的融合性也比较强，可以通过构造并使用锐角三角函数的性质，解决几何问题的“由特殊角到边长关系”的转化。而要灵活运用该考点，就需要考生熟练掌握特殊锐角三角函数的值，解直角三角形的意义与常见辅助线等。 考向一：特殊角的三角函数值的计算 【题型1 与实数结合的计算】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。 1．（2024春•西湖区校级月考）tan45°的值是（　　） A． B．1 C． D． 2．（2024秋•西湖区校级月考）在Rt△ABC中，，那么∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2024•鹿城区校级开学）已知tan（α+15°），则tanα的值为 　 　． 4．（2024秋•东阳市期末）计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 5．（2024秋•湖州期末）计算．2cos60°+tan45°+（﹣1）2025． 考向二：解直角三角形 【题型2 利用边的信息求解对应角的三角函数值】 解直角三角形求角的三角函数值时，必须有直角三角形，所以常做垂线来构造直角三角形；另外，常结合勾股定理来求需要边的长度。 1．（2024•丽水一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•镇海区校级模拟）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 3．（2024•余姚市校级四模）如图所示，格点三角形ABC放置在5×4的正方形网格中，则sin∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若ADCD，AB＝BD，则tan∠C的值为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2024•路桥区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，则cosC的值为 　 　． 6．（2024•海宁市校级模拟）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥BD于点G，FH⊥BD于点H，连接GF，EH． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形． （2）当∠ABD＝45°，tan∠EHG，EG＝1时，求AD的长． 【题型3 利用三角函数表示（或求解）对应边长】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 1．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上的一点，BD＝2CD，AB＝9，．则AD＝ 　 　． 3．（2024•吴兴区二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝3，D为边AB上一点，且AD＝2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连结CE，若∠DCE＝∠B，则的值为 　 　. 4．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 5．（2025•鹿城区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD． （1）求BC的长． （2）求∠ACB的正切值． 考向三：解直角三角形的综合应用 【题型4 解直角三角形的直接应用】 1．（2024•下城区校级三模）如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则用此圆规所能画出圆的半径为（　　） A．10sinα B．10cosα C．20sin D．20cos 2．（2024•温州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 3．（2024•金华三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝140°，AC＝BC＝1.6m，CD与地面垂直且CD＝8m，则灯顶A到地面的高度为（　　） A．（8+1.6sin20°）m B．（8+1.6cos20°）m C． D． 4．（2024•鹿城区校级三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，∠ABC＝70°，AB＝26cm，BD＝9cm，则此时点A到DE的距离为（　　） A．（26sin70°+9）cm B．（26cos70°+9）cm C． D．cm 5．（2024•龙港市二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA相交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，AC＝0.5米，OG＝1.8米，∠AGC＝α，则立柱的高OA为（　　）米． A． B． C． D．0.5sinα+1.8 6．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°，当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A'B'C＝α，则AA′的长可以表示为 　 　． 7．（2024•拱墅区二模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　 　cm． 【题型5 与特殊几何图形的结合应用】 1、 常结合几何图形：等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形； 2、 解决方向：万变不离其宗，①给定三角函数值的角已经在直角三角形中了，就直接应用；②没有在直角三角形中，则做辅助线构造直角三角形，而常做辅助线要根据结合的特殊几何图形性质来做；③以上两点都行不通，那就找相似，转化给定角到其他直角三角形中，再进行对应思考。 1．（2024•仙居县二模）如图，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一点，D在CB的延长线上，且BC＝2DB，若，则tanD的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•莲都区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F，且DF⊥BC，则cos∠ACD为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•温州模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（　　）#ZZ01 A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 4．（2024•下城区校级三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　 　． 5．（2024•瑞安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，记△ABC的面积为S1，三个正方形的面积和为S2，过点C作CM⊥FG于点M，连结CG交AB于点N，设∠ABC＝α，∠MCG＝β，若，则S1：S2为（　　） A． B． C． D． 【题型6 解直角三角形的综合简答题】 1、方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 2、仰角俯角的意义： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角； 3、坡度坡角的意义： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。 1．（2024•拱墅区一模）图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆AB与水平桌面垂直，臂杆BC可绕点B旋转调节，灯体CD可绕点C旋转调节．若AB，BC，CD在同一平面上，AB＝5厘米，BC＝40厘米，CD＝40厘米，臂杆BC与座杆AB的夹角即∠ABC＝138°，臂杆BC与灯体CD的夹角即∠BCD＝90°．灯体上D点到水平桌面的高度为DE． （1）求∠CDE的度数． （2）求DE的长．（结果精确到0.1厘米．参考数据：sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111） 2．（2024•西湖区校级二模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：1.41，1.73） 3．（2024•浙江一模）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） （2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 4．（2024•浙江模拟）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面ABC与A1B1C1全等且平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1，BB1，CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为30°（即∠AOB＝30°），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O，O1分别在CA，C1A1的延长线上）． （1）若OA＝1.5m，AC＝0.3m，AA1＝2m，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以近似为线段BC与线段BB1长的乘积，且∠ACB＝60°． ②曲线BC近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1m2）． （2）如图2，设AB垂直墙面（AB⊥AC），支架线段AA1下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于AA1，上、下窗框所在直线分别与CO相交于点E，F．若AB＝0.6m，窗的上、下框距离EF＝1m，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚AB外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：1.732，精确到0.01m）． 5．（2024•浙江模拟）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）. （建议用时：40分钟） 1．（2024•建德市自主招生）如果，则sin2A＝　 　． 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度AD为h，灯泡照亮范围的横截面是△ABC，且AB＝AC，∠BAC＝78°，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径BC为（　　） A．2h•tan39° B． C．2h•tan78° D． 3．（2024秋•杭州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　 　． 4．（2024•东阳市二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，此时A′B′与地面的夹角为β，若，B′B＝1m，则sinβ＝（　　） A．2 B． C． D． 5．（2024•浙江校级模拟）如图，在△ABC中，已知，点P，Q在边AC，BC上，PQ∥AB．设AP＝x，PQ＝y，若y＝﹣x+14，则BC＝（　　） A．7 B．14 C．8 D．20 6．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC2﹣AB2＝BC2﹣2，S△ABC，则tanB＝　 　. 7．（2024秋•越城区期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC＝18，AB＝4，tanC，则DP的长是　 　． 8．（2024秋•婺城区校级期末）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设tanA＝k，则的值为（　　） A．1﹣k B．k C． D． 9．（2024•滨江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，BA＜BC，点D为AC的中点，线段BD的垂直平分线l交边BC于点E．设BE＝x，tanC＝y，则（　　） A．x﹣3y2＝3 B．2x﹣3y2＝7 C．3x﹣3y2＝15 D．4x﹣3y2＝15 10．（2024•绍兴一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D． 11．（2024•平湖市模拟）如图，四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝30°，对角线AC平分，则tan∠BAC的值是 　 　． 12．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6． （1）四边形KIDG的面积为 　 　； （2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　 　． 13．（2024•余姚市校级四模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，EF⊥AE垂足分别为A，E，CD∥AE．已知BC＝1.8米，CD＝2.7米，AB＝EF＝1.2米，AE＝4.5米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若∠ABC＝135°，求点C距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若∠ABC＝150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 14．（2024•黄岩区校级模拟）根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1 素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，计划安装遮阳篷的外端A到BC的距离为3米，与水平面的夹角为15° 解决问题 任务1 确定材料宽度 求AB的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线AD与地面CE的夹角为70°时，量得影长CD为2米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长. （结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 15．（2024•金东区二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间．学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：tan（α+β）． 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°＝tan（45°+60°） 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为75°，塔底B的俯角为45°，测得万佛塔与这一建筑之间的距离BC为21m． （1）求tan75°的值． （2）根据测量结果，求万佛塔AB的高度．（结果保留根号） （3）通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是99.99m．请利用1.732根据本次测量结果求出万佛塔AB的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 锐角三角函数与解直角三角形 中考数学中锐角三角函数与解直角三角形主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值的运算（每年1~2道，3~9分） 二、解直角三角形（每年1~2道，3~11分） 三、解直角三角形的综合应用（每年1~2题，3~10分） 中考数学中，锐角三角函数与解直角三角形是和相似三角形性质比较接近的一个考点，有时候应用也可以相通。解直角三角形的思想与几何图形的融合性也比较强，可以通过构造并使用锐角三角函数的性质，解决几何问题的“由特殊角到边长关系”的转化。而要灵活运用该考点，就需要考生熟练掌握特殊锐角三角函数的值，解直角三角形的意义与常见辅助线等。 考向一：特殊角的三角函数值的计算 【题型1 与实数结合的计算】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。 1．（2024春•西湖区校级月考）tan45°的值是（　　） A． B．1 C． D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：tan45°＝1． 故选：B． 2．（2024秋•西湖区校级月考）在Rt△ABC中，，那么∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据，，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，， ∴∠A是锐角， ∵， ∴∠A＝60°， 故选：C． 3．（2024•鹿城区校级开学）已知tan（α+15°），则tanα的值为 　1　． 【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案． 【解答】解：∵tan60°， ∴α+15°＝60°， 解得：α＝45°， ∴tanα＝1， 故答案为：1． 4．（2024秋•东阳市期末）计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245° ＝（）2﹣2（）2 ． 5．（2024秋•湖州期末）计算．2cos60°+tan45°+（﹣1）2025． 【分析】利用特殊锐角三角函数值及有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：原式＝21﹣1 ＝1+1﹣1 ＝1． 考向二：解直角三角形 【题型2 利用边的信息求解对应角的三角函数值】 解直角三角形求角的三角函数值时，必须有直角三角形，所以常做垂线来构造直角三角形；另外，常结合勾股定理来求需要边的长度。 1．（2024•丽水一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10， ∴cosB， 故选：D． 2．（2025•镇海区校级模拟）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BC，如图所示， 则BC⊥AC． 令小正方形网格的边长为a， 则由勾股定理得， BC； AC． 在Rt△ABC中， tan∠BAC． 故选：D． 3．（2024•余姚市校级四模）如图所示，格点三角形ABC放置在5×4的正方形网格中，则sin∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形的边角关系得结论． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵BD＝2，AD＝4， ∴AB2． ∴sin∠ABC． 故选：D． 4．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若ADCD，AB＝BD，则tan∠C的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据正切的定义表示出tan∠C，再结合题中所给线段之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为AD， 所以设CD＝k，则AD． 又因为AB＝BD，且∠B＝90°， 所以AB＝BD＝k， 则BC＝k+k＝2k． 在Rt△ABC中， tan∠C． 故选：D． 5．（2024•路桥区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，，则cosC的值为 　　． 【分析】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点B作AC边的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinA， ∴BM， ∴AM， ∴CM＝AC﹣AM＝5﹣3＝2． 在Rt△BCM中， BC， ∴cosC． 故答案为：． 6．（2024•海宁市校级模拟）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥BD于点G，FH⊥BD于点H，连接GF，EH． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形． （2）当∠ABD＝45°，tan∠EHG，EG＝1时，求AD的长． 【分析】（1）先证EG∥FH，再证△BEG和△DFH全等得EG＝FH，由此可得出结论； （2）过点A作AK⊥BD于点K，证EG为△BAK的中位线得AK＝2EG＝2，BG＝GK，再证△BAK为等腰直角三角形得BK＝AK＝2，则BG＝GK＝DH＝1，再由tan∠EHG得HG＝4EG＝4，进而可得KD＝4，然后在Rt△ADK中由勾股定理即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：∵EG⊥BD于点G，FH⊥BD于点H， ∴EG∥FH，∠EGB＝∠FHD＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EBG＝∠FDH， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴BEAB，DFCD， ∴BE＝DF， 在△BEG和△DFH中， ， ∴△BEG≌△DFH（AAS）， ∴EG＝FH，BG＝DH， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）过点A作AK⊥BD于点K，如图所示： ∵EG⊥BD于点G， ∴EG∥AK， 又∵点E为AB的中点， ∴EG为△BAK的中位线，EG＝1， ∴AK＝2EG＝2，BG＝GK， ∴∠ABD＝45°， ∴△BAK为等腰直角三角形， ∴BK＝AK＝2， ∴BG＝GK＝1， ∴DH＝BG＝1， 在Rt△EHG中，tan∠EHG， ∴HG＝4EG＝4， ∴KD＝KH+DH＝HG﹣GK+DH＝4﹣1+1＝4， 在Rt△ADK中，KD＝4，AK＝2， 由勾股定理得：AD． 【题型3 利用三角函数表示（或求解）对应边长】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 1．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm 【分析】过点B作BM⊥AC2于点M，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM＝3cm，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出C1M＝C2Mcm，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：过点B作BM⊥AC2于点M， ∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm， ∴BMAB＝3cm， ∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2， ∴C1M＝C2Mcm， ∴C1C2＝2cm， 故选：D． 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上的一点，BD＝2CD，AB＝9，．则AD＝ 　　． 【分析】根据正弦函数的定义求出AC，利用勾股定理求出BC，再求出CD，利用勾股定理求出AD即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴sinB， ∵AB＝9， ∴AC＝6， ∴BC3， ∵BD＝2CD， ∴CD， ∴AD． 故答案为：． 3．（2024•吴兴区二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝3，D为边AB上一点，且AD＝2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连结CE，若∠DCE＝∠B，则的值为 　　. 【分析】如图，过点D作DG⊥BC于点G，求得BD＝2，AD＝4，CD＝5，根据tan∠DCE＝tan，得到，，根据勾股定理可得，、根据 ，得到，从而得到EF，再计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G， ∵AB＝6，AD＝2BD， ∴AD+BD＝3BD＝6， ∴BD＝2，AD＝4， ∴， ∵∠DCE＝∠B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设DG＝x，则BG＝2x， 则：DG2+BG2＝BD2，即x2+（2x）2＝22， 解得： ∴， ∴， ∵∠FDG+∠CDG＝∠CDG+∠DCG＝90°， ∴∠FDG＝∠DCG， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 5．（2025•鹿城区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD． （1）求BC的长． （2）求∠ACB的正切值． 【分析】（1）易得∠DEB＝90°，设CE＝4x，所以CD＝5x，运用勾股定理得DE＝3x，由CD＝15可求出x＝3，从而可求出答案． （2）过点A作AF⊥BC于点F，得E是BC的中点，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝18，再求出CF＝3即可求出∠ACB的正切值． 【解答】解：（1）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵， ∴， ∴设EC＝4x， ∴CD＝5x， ∴DE＝3x， ∵CD＝15， ∴x＝3， ∴CE＝12， ∵∠B＝45°， ∴DE＝BE＝3x＝9， ∴BC＝BE+CE＝7x＝21； （2）过点A作AF⊥BC于点F， 由条件可知DE∥AF， ∴，AD＝BD， ∴， ∴BE＝FE， ∴E是BF的中点， ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴AF＝2DE，BF＝2BE， 由（1）可知：DE＝BE＝9， ∴AF＝18，BF＝18， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∴． 考向三：解直角三角形的综合应用 【题型4 解直角三角形的直接应用】 1．（2024•下城区校级三模）如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则用此圆规所能画出圆的半径为（　　） A．10sinα B．10cosα C．20sin D．20cos 【分析】过点O作AB的垂线，再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点O作AB的垂线，垂足为M， ∵OA＝OB，∠AOB＝α， ∴AM＝BM，∠BOM． 在Rt△BOM中， sin∠BOM， 即BM， ∴AB＝2BM＝20， 即用此圆规所能画出圆的半径为20． 故选：C． 2．（2024•温州模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠BAC＝88°，∠C＝42°， ∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°， 在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 3．（2024•金华三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB＝140°，AC＝BC＝1.6m，CD与地面垂直且CD＝8m，则灯顶A到地面的高度为（　　） A．（8+1.6sin20°）m B．（8+1.6cos20°）m C． D． 【分析】连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE∠ACB＝70°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度． 【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E， 由题意可知：∠ACE∠ACB＝70°， 在Rt△ACE中，cos∠ACE＝cos70°， ∴CE＝1.6cos70°（m）， ∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.6cos70°+8）m， ∵cos70°＝sin20°， ∴CE+CD＝（1.6sin20°+8）m， 故选：A． 4．（2024•鹿城区校级三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，∠ABC＝70°，AB＝26cm，BD＝9cm，则此时点A到DE的距离为（　　） A．（26sin70°+9）cm B．（26cos70°+9）cm C． D．cm 【分析】过点A作AF⊥DE于点F，过点B作BH⊥AF于点H，在Rt△ABH中，根据三角函数求出AH，根据AF＝AH+FH，即可作答． 【解答】解：过点A作AF⊥DE于点F，过点B作BH⊥AF于点H， ∴四边形BDFH为矩形， ∴HF＝BD＝9cm， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BAH＝70°， 在Rt△ABH中， AH＝AB•cos70°＝26cos70°（cm）， ∴AF＝AH+FH＝26cos70°+9（cm）， 故选：B． 5．（2024•龙港市二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA相交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，AC＝0.5米，OG＝1.8米，∠AGC＝α，则立柱的高OA为（　　）米． A． B． C． D．0.5sinα+1.8 【分析】先在Rt△AGC中利用直角三角形的边角间关系表示出AG，再利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：∵CG⊥CD， ∴∠ACG＝90°． 在Rt△AGC中， ∵sin∠AGC， ∴AG． ∴OA＝OG+AG ＝1.8． 故选：A． 6．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°，当梯子底端点B水平向左移动到点B′，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A'B'C＝α，则AA′的长可以表示为 　（sinα﹣1）m　． 【分析】根据题意可得：AC⊥CB，AB＝A′B′，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，从而可得AB＝A′B′m，再在Rt△A′CB′中，利用锐角三角函数的定义求出A′C的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AC⊥CB，AB＝A′B′， 在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝1m， ∴AB（m）， ∴AB＝A′B′m， 在Rt△A′CB′中，∠A′B′C＝α， ∴A′C＝A′B′•sinαsinα（m）， ∴AA′＝A′C﹣AC＝（sinα﹣1）m， ∴AA′的长可以表示为（sinα﹣1）m， 故答案为：（sinα﹣1）． 7．（2024•拱墅区二模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　76　cm． 【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为12cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】解：如图所示过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F， 则Rt△ACE中，AEAC64＝32（cm）， 同理可得，BF＝32cm， 又∵点A与B之间的距离为12cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32＝76（cm）， 故答案为：76． 【题型5 与特殊几何图形的结合应用】 1、 常结合几何图形：等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形、圆； 2、 解决方向：万变不离其宗，①给定三角函数值的角已经在直角三角形中了，就直接应用；②没有在直角三角形中，则做辅助线构造直角三角形，而常做辅助线要根据结合的特殊几何图形性质来做；③以上两点都行不通，那就找相似，转化给定角到其他直角三角形中，再进行对应思考。 1．（2024•仙居县二模）如图，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一点，D在CB的延长线上，且BC＝2DB，若，则tanD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CM⊥DA于M，证明△DBE∽△DCM，列比例式可得，根据三角函数定义设BE＝x，则AE＝4x，由勾股定理得ABx，证明∠DAB＝∠ACM，根据等角的三角函数可得AM的长，最后由勾股定理，三角形面积，正切定义可解答． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CM⊥DA于M， ∴BE∥CM， ∴△DBE∽△DCM， ∴， ∵BC＝2BD， ∴， 在Rt△ABE中，tan∠DAB， 设BE＝x，则AE＝4x，ABx， ∴CM＝3x， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠CAM＝90°， ∵∠CAM+∠ACM＝90°， ∴∠DAB＝∠ACM， ∴tan∠DAB＝tan∠ACM， ∴，即， ∴AM， 由勾股定理得：ACx， BCx， ∴BDBCx， ∵S△ABC•AB•AC•BC•AF， ∴•x•x•x•AF， ∴AFx， ∴BFx， ∴DF＝BD+BFxxx， ∴tan∠D． 故选：C． 2．（2024•莲都区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F，且DF⊥BC，则cos∠ACD为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AG∥BC交CD于G，延长DF与AB的延长线交于H，证四边形ABCG为菱形，进而可证AG＝GD＝GC＝AB＝BC，则CD＝2AB，再证△AHE和△CDE全等得AH＝CD＝2AB，EH＝ED，则BH＝AB，证△BHF∽△CDF得BF：CF＝BH：CD＝1：2，设BF＝k，则CF＝2k，则BC＝AB＝BH＝BC＝3k，CD＝2AB＝6k，在Rt△BHF中由勾股定理得FH，在Rt△CDF中由勾股定理得DF，则DH，进而得EH＝ED，则EF＝EH﹣FH，在Rt△CEF中由勾股定理得CE，则AC＝2CE，然后在Rt△ACD中由锐角三角函数的定义可得出cos∠ACD的值． 【解答】解：过点A作AG∥BC交CD于G，延长DF与AB的延长线交于H，如图所示： ∵AB∥DC， ∴四边形ABCG为平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCG为菱形， ∴AG＝CG＝BC＝AB， ∴∠DCA＝∠CAG， ∵AD⊥AC， ∴∠DCA+∠ADC＝90°，∠CAG+∠DAG＝90°， ∴∠ADC＝∠DAG， ∵AG＝GD， ∴CD＝GD+CG＝2AB， ∵AB∥DC， ∴∠H＝∠EDC，∠HAH＝∠DCE， ∵点E为对角线AC的中点， ∴EA＝EC， 在△AHE和△CDE中， ， ∴△AHE≌△CDE（AAS）， ∴AH＝CD＝2AB，EH＝ED， ∴BH＝AB， ∵BH∥CD， ∴△BHF∽△CDF， ∴BF：CF＝BH：CD， 即BF：CF＝AB：2AB＝1：2， 设BF＝k，则CF＝2k， ∴BC＝BF+CF＝3k， ∴AB＝BH＝BC＝3k，CD＝2AB＝6k， ∵DF⊥BC， ∴在Rt△BHF中，由勾股定理得：FH， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF， ∴DH＝DF+FH， ∴EH＝EDDH， ∴EF＝EH﹣FH， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE， ∴AC＝2CE， 在Rt△ACD中，cos∠ACD． 故选：C． 3．（2024•温州模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（　　） A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【分析】如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF，由圆周角定理得到∠DEF＝90°，解Rt△ABC得到sin∠ABC，证明∠ABC＝∠F得到sin∠ABC＝sinF，解Rt△DEF即可求出答案． 【解答】解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF， ∵DO是直径， ∴∠DEF＝90°， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12， ∴AB15， ∴sin∠ABC， ∵四边形BDFE是圆内接四边形， ∴∠F+∠DBE＝180°， 又∵∠ABC+∠DBE＝180°， ∴∠ABC＝∠F， ∴sin∠ABC＝sinF， 在Rt△DEF中，sinF， ∴DEDF＝108， 故选：D． 4．（2024•下城区校级三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan∠ADB＝　　． 【分析】过点B作AC的垂线，构造出直角三角形，再根据BD平分△ABC的周长及正切的定义即可解决问题． 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABC中， AC， 又∵， ∴BM． 在Rt△ABM中， AM． ∵BD平分△ABC的周长， ∴AB+AD， ∴AD＝15﹣5＝10， ∴DM＝10． 在Rt△BDM中， tan∠ADB． 故答案为：． 5．（2024•瑞安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，记△ABC的面积为S1，三个正方形的面积和为S2，过点C作CM⊥FG于点M，连结CG交AB于点N，设∠ABC＝α，∠MCG＝β，若，则S1：S2为（　　） A． B． C． D． 【分析】设CM与AB交于点P，证明四边形BPMG为矩形得PB＝MG，PM＝BG＝AB，再证△CPN∽△CMG，可得tanβ•tanα，进而，解得CNNG，再由三角形面积及勾股定理分别计算S1，S2即可． 【解答】解：设CM与AB交于点P， 在Rt△CPN中，tanβ， 在Rt△CPB中，tanα， ∴tanβ•tanα， ∵CM⊥FG，BG⊥FG， ∴PM∥BG， ∵AB∥FG， ∴四边形BPMG为矩形， ∴PB＝MG，PM＝BG＝AB， ∴tanβ•tanα， ∵PN∥MG， ∴△CPN∽△CMG， ∴，， ∴tanβ•tanα， ∵， ∴， ∴CN2+CN•NG﹣NG2＝0， ∴CNNG（负值已舍）， ∴，即CPAB， ∴S△ABCAB×CPAB2＝S1， ∵△ABC为直角三角形， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴S2＝AC2+BC2+AB2＝2AB2， ∴． 故选：D． 【题型6 解直角三角形的综合简答题】 1、方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 2、仰角俯角的意义： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角； 3、坡度坡角的意义： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。 1．（2024•拱墅区一模）图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆AB与水平桌面垂直，臂杆BC可绕点B旋转调节，灯体CD可绕点C旋转调节．若AB，BC，CD在同一平面上，AB＝5厘米，BC＝40厘米，CD＝40厘米，臂杆BC与座杆AB的夹角即∠ABC＝138°，臂杆BC与灯体CD的夹角即∠BCD＝90°．灯体上D点到水平桌面的高度为DE． （1）求∠CDE的度数． （2）求DE的长．（结果精确到0.1厘米．参考数据：sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111） 【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G，根据题意可得：AG⊥CF，从而根据垂直定义可得∠AGC＝∠CFD＝90°，再利用平角定义可得∠CBG＝42°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝48°，从而可得∠DCF＝42°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：AG＝EF，然后分别在Rt△CBG和Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出BG和DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G， 由题意得：AG⊥CF， ∴∠AGC＝∠CFD＝90°， ∵∠ABC＝138°， ∴∠CBG＝180°﹣∠ABC＝42°， ∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝48°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCG＝42°， ∴∠CDE＝90°﹣∠DCF＝48°， ∴∠CDE的度数为48°； （2）由题意得：AG＝EF， 在Rt△CBG中，BC＝40厘米，∠BCG＝48°， ∴BG＝BC•sin48°≈40×0.743＝29.72（厘米）， 在Rt△CDF中，∠CDF＝48°，CD＝40厘米， ∴DF＝CD•cos48°≈40×0.669＝26.76（厘米）， ∵AB＝5厘米， ∴DE＝DF+EF＝DF+AG＝DF+BG+AB＝26.76+29.72+5≈61.5（厘米）， ∴DE的长约为61.5厘米． 2．（2024•西湖区校级二模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：1.41，1.73） 【分析】（1）根据题意可得：CB⊥FH，ED⊥HG，然后分别在Rt△FBC和Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出BF和DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设AH＝x米，在Rt△AHF中，利用锐角三角函数的定义求出HF的长，从而求出HG的长，再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义可得HGAH，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG， 在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2， ∴BF2（米）， 在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2， ∴DG2（米）， ∵BD＝6米， ∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+22＝（4+2）米， ∴FG的长为（4+2）米； （2）设AH＝x米， 在Rt△AHF中，∠AFH＝45°， ∴FHx（米）， ∵FG＝（4+2）米， ∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米， 在Rt△AHG中，∠G＝30°， ∴HGAH， ∴x+4+2x， 解得：x＝5+310.2， ∴AH＝10.2米， ∴山峰高度AH的长约为10.2米． 3．（2024•浙江一模）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） （2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【分析】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M， ∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°． 由题意得：∠BAF＝90°， ∴四边形ABMF为矩形， ∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°． ∵∠ABC＝150°， ∴∠MBC＝60°． ∵BC＝18cm， ∴CM＝BC•sin60°＝189（cm）． ∴CF＝CM+MF＝（92）cm． 答：支点C离桌面l的高度为（92）cm； （2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H， ∴∠EHC＝90°． ∵DE＝24cm，CD＝6cm， ∴CE＝18cm． 当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝189（cm）； 当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）； ∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm） ∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm． 4．（2024•浙江模拟）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面ABC与A1B1C1全等且平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1，BB1，CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为30°（即∠AOB＝30°），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O，O1分别在CA，C1A1的延长线上）． （1）若OA＝1.5m，AC＝0.3m，AA1＝2m，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以近似为线段BC与线段BB1长的乘积，且∠ACB＝60°． ②曲线BC近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1m2）． （2）如图2，设AB垂直墙面（AB⊥AC），支架线段AA1下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于AA1，上、下窗框所在直线分别与CO相交于点E，F．若AB＝0.6m，窗的上、下框距离EF＝1m，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚AB外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：1.732，精确到0.01m）． 【分析】（1）①根据“挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以近似为线段BC与线段BB1长的乘积”确定出BC的长即可； ②利用扇形的弧长公式求出BC的弧长，进而计算即可； （2）根据∠AOB＝30°，AB＝0.6m，可得AO≈1.04（m），根据AF＝1.1＞AO，可以判断出下雨时，雨滴会打进窗内，设雨棚AB外沿加长a米，若使雨滴不会打进窗内，即：AO＞AF，从而列出含a的不等式解答即可． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝60°，∠AOB＝30°， ∴△OBC是直角三角形， ∴BCOC＝0.9m， ∴挡雨板的面积为：0.9×2＝1.8（m2）； ②由题意得：扇形COB的圆心角为30°， ∴BC的弧长为：0.3π（m）， ∴挡雨板的面积为：0.3π×2＝0.6π≈1.9（m2）； （2）如图，雨滴按照BO下落，与CO相交于点O， ∵∠AOB＝30°，AB＝0.6m， ∴AO0.61.04（m）， ∴AF＝AE+EF＝1.1＞AO， ∴下雨时，雨滴会打进窗内， 设雨棚AB外沿加长a米，即：AB＝（0.6+a）m， 若使雨滴不会打进窗内，即：AO＞AF， ∴AOAB（0.6+a）＞1.1， ∴a0.04（m）， ∴雨棚AB外沿加长0.04米，才能使雨滴不会打进窗内． 5．（2024•浙江模拟）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）. 【分析】（1）根据∠BAC的正切值可得AB的长； （2）作HP⊥BC于点P．根据水面EF在容器高度一半，可得CP，HP的长度，进而可得PG的长度，利用勾股定理可得HG的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角∠AHQ＝∠BAC，那么可得入射角的正弦值，即可求得n的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得CG′和GG′的比值；根据水平面也是平行的，可得AE和EE′的比值．即可求得EE′的值． 【解答】解：（1）∵tan∠BAC，BC＝32cm，tan53°， ∴AB3224（cm）． （2）作HP⊥BC于点P． ∴∠HPG＝90°． 由题意得：HPAB＝12 cm，CPBC＝16 cm，∠AHQ＝∠BAC＝53°． ∵CG＝7 cm， ∴PG＝CP﹣CG＝9 cm． ∴HG15 cm． ∴sin∠PHG． ∵sin∠AHQ＝sin∠BAC． ∴n． （3）∵CG′CB， ∴CG′ cm． ∴GG′＝CG′﹣CG． 由题意得：HG∥H′G′， ∴． 由题意得：E′F′∥EF，AH＝CH． ∴． 即：． 解得：EE′6.3（cm）． （建议用时：40分钟） 1．（2024•建德市自主招生）如果，则sin2A＝　　． 【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再利用对称构造全等三角形，得∠BAD＝2∠BAC，再根据勾股定理求出边长的表达式即可推出sin2A的值． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，， 作△ABC关于AC对称△ADC，过点D作DH⊥AB， ∴AB＝AD，∠BAD＝2∠BAC， 设AC＝3a，则AD＝AB＝5a， ∴BC＝4a， ∴BD＝2BC＝8a， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度AD为h，灯泡照亮范围的横截面是△ABC，且AB＝AC，∠BAC＝78°，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径BC为（　　） A．2h•tan39° B． C．2h•tan78° D． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠CAD＝39°，BD＝CD，在Rt△ABD中解直角三角形求出BD，进而解答即可． 【解答】解：由题意得： AB＝AC，∠BAC＝78°， ∴∠BAD＝∠CAD＝39°，BD＝CD， ∵AD＝h， 在Rt△ABD中，BD＝h•tan39°， ∴BC＝2BD＝2h•tan39°， 故选：A． 3．（2024秋•杭州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 【分析】借助于格点，连接BM，AM，得出BM∥DC，进而得出∠ABM＝∠APC，最后在Rt△ABM中根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC． 令正方形网格的边长为a， 则AM， AB． 在Rt△ABM中， sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 4．（2024•东阳市二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，此时A′B′与地面的夹角为β，若，B′B＝1m，则sinβ＝（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据题意可得：AO⊥BO，然后在Rt△AOB中，根据锐角三角函数的定义可设AO＝4x m，则BO＝3x m，从而利用勾股定理可得AB＝5x m，再利用线段的和差关系可得A′O＝（4x﹣1）m，B′O＝（3x+1）m，然后根据题意可得：AB＝A′B′＝5x m，从而在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AO⊥BO， 在Rt△AOB中，tanα， ∴设AO＝4x m，则BO＝3x m， ∴AB5x（m）， ∵AA′＝1m，BB′＝1m， ∴A′O＝AO﹣AA′＝（4x﹣1）m，B′O＝BB′+BO＝（3x+1）m， 由题意得：AB＝A′B′＝5x m， 在Rt△A′B′O中，OB′2+A′O2＝A′B′2， ∴（3x+1）2+（4x﹣1）2＝（5x）2， 解得：x＝1， ∴A′O＝3m，B′O＝4m，A′B′＝5m， ∴sinβ， 故选：B． 5．（2024•浙江校级模拟）如图，在△ABC中，已知，点P，Q在边AC，BC上，PQ∥AB．设AP＝x，PQ＝y，若y＝﹣x+14，则BC＝（　　） A．7 B．14 C．8 D．20 【分析】当x＝0时，PQ＝14，即点A与点P重合，则AB＝14，当x＝14时，PQ＝0，即点P与点Q重合，则AC＝14，由锐角三角函数和等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H， 当x＝0时，PQ＝14，即点A与点P重合，则AB＝14， 当x＝14时，PQ＝0，即点P与点Q重合，则AC＝14， ∵cosB， ∴BH＝10， ∵AB＝AC＝14，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝10， ∴BC＝20， 故选：D． 6．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC2﹣AB2＝BC2﹣2，S△ABC，则tanB＝　　. 【分析】根据勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：在Rt△ADC中，由勾股定理得， AC2＝AD2+CD2， 同理AD2+BD2＝AB2， ∵AC2﹣AB2＝BC2﹣2，即AD2+CD2﹣AD2﹣BD2＝（BD+CD）2﹣2， ∴AD2+CD2﹣AD2﹣BD2＝BD2+2BD•CD+CD2﹣2， 即2BD2+2BD•CD＝2， ∴BD2+BD•CD＝1， ∴BD•（BD+CD）＝1， 即BD•BC＝1， ∵S△ABCBC•ADADtanB， ∴tanB2， 故答案为：． 7．（2024秋•越城区期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC＝18，AB＝4，tanC，则DP的长是　　． 【分析】先根据所给条件得出AP∥CD，进而得出∠APB＝∠C，再结合正切的定义及AB的长求出BP的长，进一步可求出PC的长，最后再结合∠C的正切即可解决问题． 【解答】解：∵AP⊥DP，CD⊥DP， ∴∠APD＝∠D＝90°， ∴AP∥CD， ∴∠APB＝∠C， ∴tan∠APB＝tanC． 在Rt△ABP中， tan∠APB， ∴， 则PB＝8． 又∵BC＝18， ∴PC＝18﹣8＝10． 在Rt△DCP中， tanC， ∴DC＝2DP， ∴DP2+（2DP）2＝102， 解得DP， ∴DP的长是． 故答案为：． 8．（2024秋•婺城区校级期末）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设tanA＝k，则的值为（　　） A．1﹣k B．k C． D． 【分析】在Rt△ABC中，根据tanAk，设AC＝a，则BC＝ak，由旋转的性质得：CD＝AC＝a，CE＝BC＝ak，∠D＝∠A，则BD＝a﹣ak，AE＝a+ak，证明∠DFB＝90°得△DBF和△AEF都是直角三角形，在Rt△DFB中，sinD，在Rt△AEF中，sinA，由此得，据此可得的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，tanAk， 设AC＝a，则BC＝ak， 由旋转的性质得：CD＝AC＝a，CE＝BC＝ak，∠D＝∠A， ∴BD＝CD﹣BC＝a﹣ak，AE＝AC+CE＝a+ak， ∵∠A+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠DBF，∠D＝∠A， ∴∠D+∠DBF＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∴△DBF和△AEF都是直角三角形， 在Rt△DFB中，sinD， 在Rt△AEF中，sinA， ∵∠D＝∠A， ∴， ∴． 故选：D． 9．（2024•滨江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，BA＜BC，点D为AC的中点，线段BD的垂直平分线l交边BC于点E．设BE＝x，tanC＝y，则（　　） A．x﹣3y2＝3 B．2x﹣3y2＝7 C．3x﹣3y2＝15 D．4x﹣3y2＝15 【分析】先证明△BDE∽△BCD，得出BD2，再根据tanC求得x与y的关系式． 【解答】解：连接DE， ∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点， ∴CD＝BD， ∴∠C＝∠DBC， ∵l是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴∠BDE＝∠DBC＝∠C， ∴△BDE∽△BCD， ∴BD2＝BE•BC＝12x， ∴AC2＝4BD2＝48x， ∴AB2＝48x﹣122＝48x﹣144， ∴， ∴x﹣3y2＝3， 故选：A． 10．（2024•绍兴一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作△ABC的外接圆，连接AF，证点F在△ABC的外接圆上，则∠BAF＝∠BCF＝45°，进而得FA⊥DE，则BD∥FA∥CE，由此得S△ADF＝S△ABF，同理S△AEF＝S△ACF，则S△EEF＝S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则S△ABC，b2+c2＝a2，S△BCF，由此得S△EEF，在根据△DEF与△ABC面积比为5：2得，整理得3bc＝a2＝b2+c2，将上式两边同时除以ab得，设，则，整理得x2﹣3x+1＝0，由此解出x可得的值，然后根据三角函数的定义可得tan∠ABC的值． 【解答】解：作△ABC的外接圆，连接AF，如图所示： 依题意得：∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝∠BFC＝90°，∠DAB＝∠EAC＝∠FBC＝∠FCB＝45°， ∴点F在△ABC的外接圆上， ∴∠BAF＝∠BCF＝45°， ∴∠FAD＝∠BAF+∠DAB＝90°， 即FA⊥DE， ∵∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴BD∥FA∥CE， ∴△ADF和△ABF的公共边AF上的高相等， ∴S△ADF＝S△ABF， 同理：S△AEF＝S△ACF， ∴S△DEF＝S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF， 设BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴S△ABC，b2+c2＝a2， 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2+CF2＝BC2， 即2BF2＝a2， ∴BF2， ∴S△BCFBF2， ∴S△DEF， ∵△DEF与△ABC面积比为5：2， ∴， 整理得：3bc＝a2， ∴3bc＝b2+c2， 将上式两边同时除以ab，得：， 设，则， ∴， 整理得：x2﹣3x+1＝0， 解得：x1，x2， ∵AB＞AC， ∵c＞b， ∴， 即x＜1， ∴x， 即， 在Rt△ABC中，tan∠ABC． 故选：B． 11．（2024•平湖市模拟）如图，四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝30°，对角线AC平分，则tan∠BAC的值是 　　． 【分析】延长AB，截取AE＝AD，连接CE，由AC为角平分线得到一对角相等，利用SAS得到△ACD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠E＝∠D＝30°，DC＝EC，根据题意得到△BCE为直角三角形，设BC＝x，利用含30度直角三角形的性质得到BE＝2x，根据勾股定理表示出CE，即为CD，根据AB与CD的关系表示出AB，过C作CF⊥BE，利用面积法表示出CF，在Rt△BCF中，根据BC表示出BF，由AB+BF表示出AF，在Rt△ACF中，利用锐角三角函数定义求出tan∠BAC的值即可． 【解答】解：延长AB，截取AE＝AD，连接CE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAC， 在△ACD和△ACE中， ， ∴△ACD≌△ACE（SAS）， ∴DC＝EC，∠E＝∠D＝30°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△BCE中，设BC＝x，则有BE＝2x， 根据勾股定理得：CE＝CDx， 过C作CF⊥BE，垂足为点F， ∵S△BCE•BE•CF•BC•CE， ∴CFx， 在Rt△BCF中，∠CBF＝60°， ∴∠BCF＝30°， ∴BFBCx， ∵AB：CD：2， ∴ABCDx， ∴AF＝AB+BFxx＝2x， 在Rt△ACF中， tan∠BAC． 故答案为：． 12．（2024•瓯海区校级三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方（CDIH）与青方（ABCD）是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，BE＝6． （1）四边形KIDG的面积为 　　； （2）连结CF，则tan∠DCF的值为 　　． 【分析】（1）首先证明△AEL∽△BCE，求出正方形ABCD的边长，得出tan∠BCE，再求出正方形GDIH的边长为6，根据tan∠DCG＝tan∠BCE，求出IK，由梯形面积公式得四边形KIDG的面积； （2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q，证明△AEQ∽△CEB，求出OE＝1.2，AQ＝1.6，求出tan∠ACQ，从而可得结论． 【解答】解：（1）根据题意知，四边形FECG是正方形， ∴∠FEC＝∠ECG＝90°， ∵四边形ABCD，DIHG是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠GDC＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD， ∴∠AEL+∠ALE＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AEL+∠BEC＝90°， ∴∠ALE＝∠BEC， ∵∠EAL＝∠CBE＝90°， ∴△AEL∽△BCE， ∴， 设BC＝a，则AE＝AB﹣BE＝a﹣6， ∴， 解a＝8， ∴AB＝BC＝CD＝8， ∴AE＝2， ∴tan∠BCE， ∵∠ECG＝∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝∠BCE， ∴tan∠DCG＝tan∠BCE， ∴DGDC＝6， ∴DI＝DG＝6， ∴CI＝DC﹣DI＝2， 又， ∴IK， ∴四边形KIDG的面积为：（IK+DG）•DI（3+6）×6， 故答案为：； （2）连接CA，延长CE，过点A作AQ⊥CE交CE的延长线于点Q， 在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝8， ∴CE10， ∵∠AQE＝∠B＝90°，∠AEQ＝∠CEB， ∴∠AEQ∽△CEB， ∴， ∴， ∴QE＝1.2，AQ＝1.6， 在Rt△AQC中， tan∠ACQ， ∵∠GCF＝∠BCA＝45°，且∠DCG＝∠BCE， ∴∠DCF＝∠ACQ， ∴tan∠DCF＝tan∠ACQ， 故答案为：． 13．（2024•余姚市校级四模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸柱AB，EF，折叠栏BC，CD构成，折叠栏BC绕点B转动从而带动折叠栏CD平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，EF⊥AE垂足分别为A，E，CD∥AE．已知BC＝1.8米，CD＝2.7米，AB＝EF＝1.2米，AE＝4.5米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若∠ABC＝135°，求点C距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若∠ABC＝150°，请问一辆宽为3米，高为2.5米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【分析】（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN，再根据CM＝CN+MN，即可作答； （2）当∠ABC＝150°，在Rt△BCN中，根据三角函数求出CN和BN，再根据CM＝CN+MN，比较高度和宽度即可作答； 【解答】解：（1）过点C作CM⊥AE于点M，过点B作BN⊥CM于点N， ∴四边形ABNM为矩形， ∴AB＝MN，∠ABN＝90°， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBN＝45°， 在Rt△BCN中， CNBC≈1.3（米）， ∴CM＝CN+MN＝1.3+1.2＝2.5（米）， ∴点C距离地面的高度为2.5米； （2）根据题意四边形ABNM为矩形， ∴AB＝HG，∠ABN＝90°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBN＝60°， 在Rt△BCN中， CNBC≈1.5（米），BNBC＝0.9（米）， ∴CM＝CN+MN＝1.5+1.2＝2.7（米）， 2.7＞2.5， BN＝AM＝0.9米， ME＝AE﹣AM＝4.5﹣0.9＝3.6（米）， 3.6＞3， ∴一辆宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 14．（2024•黄岩区校级模拟）根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1 素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，计划安装遮阳篷的外端A到BC的距离为3米，与水平面的夹角为15° 解决问题 任务1 确定材料宽度 求AB的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线AD与地面CE的夹角为70°时，量得影长CD为2米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长. （结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【分析】任务1：过点A作AN⊥BC于点N，根据余弦的定义求出AB； 任务2：过点A作AM⊥CE于点M，根据正切的定义分别求出BN、AM，计算即可． 【解答】解：任务1：如图，过点A作AN⊥BC于点N， 在Rt△ABN中，AN＝3米，∠BAN＝15°， ∵cos∠BAN， ∴AB3.1（米）， 答：AB的长约为3.1米； 任务2：如图，过点A作AM⊥CE于点M， 则四边形NCMA为矩形， ∴CM＝AN＝3米，NC＝AM， ∵CD＝2米， ∴DM＝CM﹣CD＝3﹣2＝1（米）， ∵∠ADM＝70°， ∴AM＝DM•tan70°≈2.75（米）， 在Rt△ABN中，AN＝3米，∠BAN＝15°， ∵tan∠BAN， ∴BN＝AN•tan∠BAN≈3×0.27≈0.81（米）， ∴BC＝2.75+0.81≈3.6（米）， 答：遮阳篷靠墙端离地高BC的长约为3.6米． 15．（2024•金东区二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间．学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：tan（α+β）． 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°＝tan（45°+60°） 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为75°，塔底B的俯角为45°，测得万佛塔与这一建筑之间的距离BC为21m． （1）求tan75°的值． （2）根据测量结果，求万佛塔AB的高度．（结果保留根号） （3）通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是99.99m．请利用1.732根据本次测量结果求出万佛塔AB的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【分析】（1）利用两角和的正切值公式：tan（α+β），进行计算即可解答； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CD＝BE，BC＝DE＝21m，然后分别在Rt△ADE和Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）tan75°2； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由题意得：CD＝BE，BC＝DE＝21m， 在Rt△ADE中，∠ADE＝75°， ∴AE＝DE•tan75°＝21×（2）＝（42+21）m， 在Rt△BDE中，∠EDB＝45°， ∴EB＝DE•tan45°＝21（m）， ∴AB＝AE+BE＝42+2121＝（63+21）m， ∴万佛塔AB的高度为（63+21）m； （3）万佛塔AB的高度＝63+2199.372（m）， ∵万佛塔的实际高度是99.99m， ∴本次测量结果的误差＝99.99﹣99.372＝0.618（m）， 建议：多次测量求平均值，可以减小误差． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$