精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高一下学期初态考试数学试卷

2024-2025学年上海市南洋模范中学高一年级下学期初态考 数学试卷 2025.2 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，，则取值范围为________． 2. 已知，，则__________.（结果用表示） 3. 设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__． 4. 化简：__________. 5. 已知函数的值域为，则的取值范围是______． 6. 在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是__________. 7. 已知，则__________. 8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是__________. ① ② ③若，则 ④函数的最大值为 9. 不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是__________. 10. 在锐角三角形中，已知，则的最小值为__________. 11. 同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 12. 已知，满足，则值是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ） A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 14. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 15. 已知，则（ ） A. B. C D. 16. 对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线l：为曲线与的“分渐近线”，给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③，；④，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 19. 已知函数. （1）若，为锐角，，，求的值； （2）函数，若存在，成立，求实数的最大值. 20. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）若，求渔网长度； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 21. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市南洋模范中学高一年级下学期初态考 数学试卷 2025.2 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又，两式相加可得 故答案为： 2. 已知，，则__________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 3. 设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__． 【答案】2 【解析】 【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：2. 4. 化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得结论. 【详解】由诱导公式可得，， ，， ，， 所以. 故答案为：. 5. 已知函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数值域为，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是__________. 【答案】方案一 【解析】 【分析】根据题意，由弦长公式以及扇形面积公式，分别求出两种方案对应的弧长和扇形面积，比较大小，即可得出结果. 【详解】是顶角为，腰长为2的等腰三角形， ，易解得 方案一中扇形的弧长，方案二中扇形的弧长， ，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短； 方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积， 故两个方案中扇形的面积相等. 两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一. 故答案为：方案一. 7. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是__________. ① ② ③若，则 ④函数的最大值为 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用正矢、余矢的定义及诱导公式、同角三角函数的基本关系，三角函数的有界性计算即可. 【详解】，①错误； ，②正确； 则 分子分母同除以得： ，③正确； 当时，取得最大值为4，④错误. 故答案为：②③ 9. 不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以取值范围为. 故答案为： 10. 在锐角三角形中，已知，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形内角和性质，结合两角和正弦公式、两角和正切公式、弦化切思想，可把原式转化为关于的函数，再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】根据三角形内角和可知：，即， 所以， ， 代入得： 当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立. 所以的最小值为：. 故答案为：. 11. 同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】可将拼凑成，结合单调性和同构思想易得，将代入即可得解. 【详解】易判断为增函数，， ， 即，， 所以，. 故答案为：5 12. 已知，满足，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式得到，从而得到，再由基本不等式得到，从而得到，进而可求解； 【详解】由题知，， 其中，因为，所以，即， 又由基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，且时取等号， 因为，所以.此时， 所以， 所以， 解得，因为， 所以，又因为， 所以. 故答案为： 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ） A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人， 文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知，， 根据异向不等式可减的性质有， 即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C. 14. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 15. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用辅助角公式计算. 【详解】 ， 所以 ，； 故选：C． 16. 对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线l：为曲线与的“分渐近线”，给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③，；④，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是（ ） A ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据分渐近线定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】由题意知时，与有相同的渐近线，且与图象分别在渐近线的两侧 由①，的图象知（如下图所示），当时，两图象无渐近线，不合题意． 由②，的图象（如下图所示）． 与有相同的渐近线且与分别在渐近线两边，符合题意； 由③，的图象如下图所示 当时与的图象有共同的渐近线，但与的图象在渐近线同侧，不合题意 由④，图象如下图所示， 当时， ∴的渐近线为 由图象知与有共同的渐近线 且与的图象分别在渐近线两侧，符合题意， 故选：C 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【小问1详解】 由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 19. 已知函数. （1）若，为锐角，，，求的值； （2）函数，若存在，成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求出，， ，利用求解即可 （2）设，则不等式可化为. 求出的最大值即可. 【小问1详解】 因为，且为锐角，所以，. 因为，所以. 因为，为锐角，所以，所以. 所以 . 【小问2详解】 . 因为存在，成立， 所以成立， 即成立. 设，则，所以，则. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故的最大值为. 20. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）若，求渔网长度； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】（1）； （2）面积最小值为，； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论； （2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件； （3）解三角形求，表示两个遮阳蓬面积和，结合平方关系，巧用基本不等式求最小值可得结论. 【小问1详解】 过点作垂直于，垂足为， 则， 所以， 所以. 则当时，. 【小问2详解】 ， 所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. 【小问3详解】 因为， 设两遮阳蓬面积和为， 则 当且仅当，即时取等号. 所以两遮阳蓬面积和的最小值为. 21. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可； （2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式，分情况解不等式即可； （3）根据函数变化可得函数解析式，由可得，由，可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，，即可得，再利用定义法证明函数单调性. 【小问1详解】 由已知可得， 又， 即，解得； 【小问2详解】 由已知， 又，即， 由已知， 则当，即时，， 解得或，即或； 当，即时，，即，不等式恒成立，即； 综上所述，或； 【小问3详解】 由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 所以对任意，， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则，即， 由于，可知且，若其中，则， 即当时，， 任取，令， 存在，使， 由函数在上是严格增函数，可知，则， 依此类推可得，即， 即函数在上是严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$