21 6.2.2 第2课时 函数的最值-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　函数的最值 知识 目标 1.理解函数最值的概念，了解函数极值与最值的区别与联系．　2.会用导数求函数在闭区间上的最值．　3.能利用导数解决与函数最值相关的综合问题． 素养 目标 通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养；利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养. 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 问题1.观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)． 问题2.结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 问题3.函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值． 知识点　函数的最大(小)值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． [微提醒]　函数的极值与最值的区别 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． (3)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在此区间上可能没有极值点 D．f(x)在此区间上可能没有最值点 答案：C 解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A、B、D都不正确． 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 答案：A 解析：f ′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值． 学生用书↓第79页 3．(多选)已知不等式(x－2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的值可能为(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：AB 解析：令f(x)＝(x－2)ex，则a≤f(x)min.f ′(x)＝(x－1)ex，当x<1时，f ′(x)<0；当x>1时，f ′(x)>0.所以，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)，所以f(x)min＝f(1)＝－e，所以a≤－e.因此，满足条件的整数a的可能值为－4，－3.故选AB． 4．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________． 答案：π 解析：因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 5．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m，x∈[－2，2]，f(x)的最小值为1，则m＝________． 答案：1 解析：f ′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2，2]．令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，当x∈(－2，0)时，f ′(x)＜0，当x∈(0，2)时，f ′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．所以f(0)＝m＝1. 题型一　求函数的最值 例1　 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； (3)f(x)＝. [点拨]　在求闭区间[a，b]上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可． 解：(1)f ′(x)＝－4x3＋4x， 令f ′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f ′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大 值4  极小 值3  极大 值4  －5 所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. (2)f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， 因为f ′(x)在[－1，1]内恒大于0，所以f(x)在[－1，1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. (3)函数f(x)＝的定义域为R. f ′(x)＝＝， 令f ′(x)＝0，则x＝2， 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ↘ 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝. 　　 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 1．对函数进行准确求导，并检验f ′(x)＝0的根是否在给定区间内． 2．研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． 3．比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 对点练1.(1)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．2 C．－1 D．4 (2)已知函数f(x)＝x3－6x，x∈R. ①求f(x)的单调区间； ②当x∈[－，3]时，求f(x)的最大值与最小值． 答案：(1)C 解析：(1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令y′＝0解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C． (2)①f ′(x)＝3x2－6＝3(x＋)(x－)， 当x<－或x>时，f ′(x)>0，当－<x<时，f ′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，递减区间为(－，)． ②由①知x∈[－，3]时，f(x)的极大值为f(－)＝4，f(x)的极小值为f()＝－4，又f(－)＝3，f(3)＝9. 所以f(x)的最大值为9，f(x)的最小值为－4. 题型二　含参数的函数最值问题 例2　 设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的a∈[3，6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求实数m的取值范围． 学生用书↓第80页 [点拨]　(1)求f(x)的单调区间，可解不等式f ′(x)≥0，f ′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论．(2)f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点的含义是f ′(x)＝0在[－1，1]内没有实数根，故f(x)在[－1，1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2，2]上恒成立，则f(x)在[－2，2]上的最大值小于等于1. 解：(1)因为f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a)， 又a>0，所以当x<－a或x>时，f ′(x)>0； 当－a<x<时，f ′(x)<0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，，单调递减区间为. (2)由题设可知，方程f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0在[－1，1]上没有实根， 又Δ＝4a2＋12a2＝16a2>0，(a>0)，x1x2＝－<0. 所以所以 因为a>0，所以a>3. 所以实数a的取值范围为(3，＋∞)． (3)因为a∈[3，6]，所以∈[1，2]，－6≤－a≤－3， 又x∈[－2，2]，所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)的最大值为f(2)或f(－2)． 而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，所以f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m， 又因为f(x)≤1在[－2，2]上恒成立， 所以－8＋4a＋2a2＋m≤1， 即m≤9－4a－2a2在a∈[3，6]上恒成立， 因为9－4a－2a2的最小值为－87，所以m≤－87. 所以实数m的取值范围为(－∞，87]． 　 1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论． 2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．　 对点练2.已知函数f(x)＝(ax－2)ex在x＝1处取得极值． (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值． 解：(1)f ′(x)＝aex＋(ax－2)ex＝(ax＋a－2)ex. 由已知得f ′(1)＝0，即2a－2＝0，解得a＝1 . 验证知，当a＝1时，函数f(x)＝(x－2)ex在x＝1处取得极小值，所以a＝1. (2)f(x)＝(x－2)ex，f ′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex. f′(x)，f(x)随x的变化情况如下： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －e  所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)em. 当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增， f(x)min＝f(1)＝－e. 当m≤0时，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上单调递减， f(x)min＝f(m＋1)＝(m－1)em＋1. 综上所述，f(x)在[m，m＋1]上的最小值为 f(x)min＝ 题型三　函数最值的综合应用 例3　 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求函数f(x)的最小值h(t)； (2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围． [点拨]　第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值．第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t<m，可转化为当函数g(t)＝h(t)＋2t在区间(0，2)上的最大值小于m时，求实数m的取值范围的问题． 解：(1)因为f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， 所以当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1， 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0，1) 1 (1，2) g′(t) ＋ 0 － g(t)  极大值  由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1， 又在定义域(0，2)内，g(t)有唯一的极值点， 所以函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0，2)内的最大值g(t)max＝1. h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立，即g(t)<m在(0，2)内恒成立， 当且仅当g(t)max＝1<m，即m>1时上式成立， 所以实数m的取值范围是(1，＋∞)． 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.　　 对点练3.已知函数f(x)＝. (1)当a＝9时，求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的最小值； (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝9时，f(x)＝＝x＋－2，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＝，即x＝3时等号成立， 所以f(x)的最小值为4. (2)根据题意可得x2－2x＋a>0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 等价于a>－x2＋2x在x∈(0，＋∞)上恒成立， 因为g(x)＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a>1， 即实数a的取值范围是(1，＋∞)． 学生用书↓第81页 易错点　没有准确把握条件致误 设l为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线． (1)求l的方程； (2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方． [易错分析]　易误以为C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致． [误区警示]　由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点． [正解]　(1)设f(x)＝，则f ′(x)＝.所以f ′(1)＝1.所以l的方程为y＝x－1. (2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0， 且g′(x)＝1－f ′(x)＝. 当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方． 1．(2024·宁夏六盘山高二期中)下列命题中，真命题是(　　 ) A．函数的最大值一定不是该函数的极大值 B．函数的极大值可以小于该函数的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 答案：B 解析：函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误．故选B． 2．函数f (x)＝在区间[2，4]上的最小值为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B． C． D． 答案：C 解析：f ′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f ′(x)＜0，即函数f (x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.故选C． 3．函数f (x)＝x2－ln x的最小值为__________． 答案： 解析：f (x)＝x2－ln x，x>0，f ′(x)＝x－＝，令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)≤0，解得0<x≤1，所以函数在(0，1]上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝. 4．设函数f (x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围为____________． 答案： 解析：令f ′(x)＝3x2－x－2＝0，得x＝1或－.又对任意x∈[－1，2]，都有f(x)>m，则m<f(x)min，其中f (－1)＝，f ＝，f (1)＝，f (2)＝7，所以m＜，实数m的取值范围为. 课时测评20　函数的最值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是(　　 ) A．12；－8　　　　　　　　 B．1；－8 C．12；－15 D．5；－16 答案：A 解析：y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.故选A． 2．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋1，若函数f(x)在(2a，a2－3)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－1，3) D． 答案：D 解析：由f(x)＝x3＋x2－2x＋1，可得f ′(x)＝x2＋x－2，令f ′(x)>0，解得x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)，令f ′(x)<0，解得x∈(－2，1)，故f(x)在x＝1时取得极小值，极小值f(1)＝－.由f(x)＝－，得(x－1)(2x2＋5x－7)＝0，解得x1＝1，x2＝－，又因为函数f(x)在(2a，a2－3)上存在最小值，故可得－≤2a<1<a2－3，解得－≤a<－2.故选D． 3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A．1＋ln 2 B．1－ln 2 C． D． 答案：C 解析：f ′(x)＝2x－＝，x>0，令f ′(x)＝0，得2x2－1＝0，x＝，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f ′(x)>0，故f(x)在x＝时有极小值．即最小值f＝－ln＝. 4．设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]，则b的值是(　　 ) A．　　　 B． C．　　　 D． 答案：C 解析：因为函数f(x)＝－x3＋3bx，所以f ′(x)＝－3x2＋3b，令f ′(x)＝0，当b＞0时，可得x＝±，x∈(－∞，－)，x∈(，＋∞)，f ′(x)＜0，函数是减函数，则函数的极大值：f()＝2b，当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]，可知0<≤1时，f()＝2b＝1，解得b＝，当b≥1时，f(1)＝－1＋3b＝1，无解．当b≤0时，x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]，不成立．所以b的值是.故选C． 5．(多选)已知函数f(x)＝x3－4x＋2，下列说法中正确的有(　　) A．函数f(x)的极大值为，极小值为－ B．当x∈时，函数f(x)的最大值为，最小值为－ C．函数f(x)的单调减区间为(－2，2) D．曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2 答案：ACD 解析：因为f(x)＝x3－4x＋2，所以f ′(x)＝x2－4，由f ′(x)>0，得x<－2或x>2，由f ′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，故选项C正确；所以当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝×23－4×2＋2＝－，故选项A正确；当x∈时，f(x)为单调递增函数，所以当x＝3时，f(x)取得最小值f(3)＝×33－4×3＋2＝－1，当x＝4时，f(x)取得最大值f(4)＝×43－4×4＋2＝，故选项B不正确；因为f′(0)＝－4，所以曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故选项D正确．故选ACD． 6．若函数f(x)＝x－2＋2x－a在区间[，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________． 答案： 解析：因为f ′(x)＝－2x－3＋2＝，所以当1<x≤3时，f ′(x)>0，当<x<1时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递减，在[1，3]上单调递增．所以f(x)min＝f(1)＝1＋2－a＝3－a＝n.又因为f＝5－a，f(3)＝－a，所以f<f(3)．所以f(x)max＝f(3)＝－a＝m，所以m－n＝－a－(3－a)＝. 7．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 答案：－1 解析：f ′(x)＝＝，当x>时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当－<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．所以f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 8．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，则实数m的取值范围是__________． 答案：(－∞，0) 解析：f ′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，由f ′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f ′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f′(x) 0 － 0 ＋ 4e2 f(x)  0  2e2 所以当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)>m对x∈[－2，2]恒成立，只需m<f(x)min，所以m<0. 9．(15分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值；(6分) (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．(9分) 解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，所以f ′(x)＝3ax2＋b， 因为f(x)在点x＝2处取得极值c－16， 所以即 化简得解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2， 当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数， 当x∈(－2，2)时，f ′(x)<0，f(x)在(－2，2)上为减函数． 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12， 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4， 因此f(x)上[－3，3]的最小值为f(2)＝－4. 10．(15分)已知函数f(x)＝ex－ax，x∈R，e是自然对数的底数． (1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求a的值及f(x)的极值；(6分) (2)求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．(9分) 解：(1)函数f(x)＝ex－ax，x∈R， 所以f ′(x)＝ex－a， 因为函数f(x)在x＝2处取得极值， 所以f ′(2)＝0，所以a＝e2， 所以f ′(x)＝ex－e2，当x∈(－∞，2)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的极小值为f(2)＝e2－2e2＝－e2，无极大值． (2)f ′(x)＝ex－a， ①当a≤0时，f ′(x)>0恒成立，即函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以函数f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝1； ②当a>0时，令f ′(x)＝0得到x＝ln a，若ln a≤0，即0<a≤1时，在[0，1]上，f ′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以函数f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝1， 若ln a≥1，即a≥e时，在[0，1]上，f ′(x)≤0，函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以函数f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝e－a， 若0<ln a<1，即1<a<e时，在[0，ln a)上，f′(x)<0，在(ln a，1]上，f ′(x)>0，即函数f(x)在[0，ln a)上单调递减，在(ln a，1]上单调递增，所以函数f(x)在[0，1]上的最小值为f(ln a)＝a－aln a， 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在[0，1]上的最小值为1；当1<a<e时，函数f(x)在[0，1]上的最小值为a－aln a；当a≥e时，函数f(x)在[0，1]上的最小值为e－A． 11．(5分)(多选)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方 B．f(x)存在单调递增区间 C．f(x)有且仅有两个极值点 D．f(x)在区间(1，2)上有最大值 答案：AB 解析：由f(x)＝，当x∈(0，1)时，ln x<0，所以f(x)<0，所以f(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；由f(x)＝，得 f ′(x)＝＝·，令g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则函数f ′(x)＝0只有一个根x0，使得f ′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f ′(x)<0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以B正确，C不正确；由g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函数在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以D不正确．故选AB． 12．(5分)函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)＝ex，且f(1)＝e，则(　　) A．f(x)的最小值为e B．f(x)的最大值为e C．f(x)的最小值为 D．f(x)的最大值为 答案：A 解析：设g(x)＝xf(x)－ex，所以g′(x)＝f(x)＋xf ′(x)－ex＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex为常数函数．因为g(1)＝1×f(1)－e＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex＝g(1)＝0，所以f(x)＝，f′(x)＝，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)≥f(1)＝e. 13．(20分)已知函数f(x)＝2x＋＋aln x，a∈R. (1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(8分) (2)记函数g(x)＝x2[f ′(x)＋2x－2]，若g(x)的最小值是－6，求函数f(x)的解析式．(12分) 解：(1)f ′(x)＝2－＋，若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f ′(x)≥0， 所以a≥－2x在[1，＋∞)上恒成立， 令h(x)＝－2x，x∈[1，＋∞)， 因为h′(x)＝－－2<0恒成立，h(x)在[1，＋∞)单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0. 所以实数a的取值范围为[0，＋∞)． (2)g(x)＝2x3＋ax－2，x>0， 因为g′(x)＝6x2＋a， 当a≥0时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，无最小值，不合题意， 当a<0时， 令g′(x)＝0，则x＝(舍负)， 所以g(x)在上单调递减， 在上单调递增， 则x＝ 是函数的极小值点． g(x)min＝g(x)极小＝g＝－6， 解得a＝－6，f(x)＝2x＋－6ln x. 学生用书↓第82页 学科网（北京）股份有限公司 $$