18 习题课2 曲线的切线问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

习题课2　曲线的切线问题 [学习目标]　1.会求在某点处、过某点的切线方程．　2.会求与切线有关的求参问题．　3. 理解并掌握两条曲线的公切线的求法． 类型一　求”在某点处的切线“或 ”过某点的切线”问题 例1　 (1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为______________． (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________. 答案：(1)y＝3x　(2) y＝x　y＝－x(不分先后) 解析：(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，所以该切线斜率k＝e0×3＝3，所以切线方程为y＝3x. (2)由题意可知，函数的定义域为{x|x≠0}．易证函数y＝ln|x|为偶函数，当x＞0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0)，因为y′＝，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x；y＝－x.(不分先后)． 　 1．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤 第一步：求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)； 第二步：根据直线方程的点斜式，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 第一步：设切点为P′(x′，f(x′))，求切线的斜率k＝f′(x′)，结合切点P′在切线上，写出切线方程； 第二步：由切线过点P，将P点的坐标代入切线方程，建立关于x′的方程，解得x′的值，进而求出切线方程．　 对点练1.(1)曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－x (2)(多选)(2024·黑龙江双鸭山高二期末)已知曲线f(x)＝2(x＋1)3＋1，则曲线过点P(0，3)的切线方程为(　　) A．6x＋y－3＝0 B．6x－y＋3＝0 C．5x－2y＋6＝0 D．3x－2y＋6＝0 答案：(1)D　(2)BD 解析：(1)由y＝x3－2x2，得y′＝3x2－4x，所以y′＝－1.所以曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.故选D． (2)设切点坐标为(x0，2(x0＋1)3＋1)，因为f′(x)＝6(x＋1)2，所以切线斜率k＝f′(x0)＝6(x0＋1)2，所以切线方程为y－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(x－x0)，又切线过点P(0，3)，所以3－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(－x0)，化简得(x0＋1)3－3x0(x0＋1)2＝1，即－2x－3x＝0，解得x0＝0，或x0＝－，则曲线过点P(0，3)的切线方程为6x－y＋3＝0，或3x－2y＋6＝0.故选BD． 类型二　 与切线有关的求参问题 例2　 (1)已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． (2)(2024·陕西咸阳高二期中)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则(　　) A．2m＋n为定值 B．m＋3n为定值 C．m＋n为定值 D．m＋2n为定值 答案：(1)C 　(2)D 解析：(1)因为f(x)＝x(x＋2)－mln x(x>0)，所以f ′(x)＝2x－＋2(x>0)，所以f ′＝3－2m.因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以切线的斜率k＝f ′＝3－2m＝2，解得m＝.故选C． (2)设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n切于点(x0，ex0－2n)．因为y＝ex－2n，所以y′＝ex－2n，又直线y＝x＋m的斜率为1，所以ex0－2n＝1，所以x0－2n＝0，即x0＝2n，所以切点为(2n，1)，将切点代入直线方程得1＝2n＋m，即m＋2n为定值．故选D． 　 1．一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步得角α或有关参数的值． 2．求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．　 对点练2.(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________． (2)(2024·重庆万州高二联考)已知曲线C1：y＝sin x＋ax2上一点(1，2)处的切线为l，若曲线C2：y＝x3－bx2＋1上至多存在一条与l垂直的切线，则实数b的取值范围是________． 答案：(1)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　(2) 解析：(1)y′＝(x＋a＋1)ex，设切点为(x0，y0)， 故切线斜率k＝(x0＋a＋1)ex0，y0＝(x0＋a)ex0， 所以切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)．因为切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理得x＋ax0－a＝0.因为切线有两条，则Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4，或a>0，所以a的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)． (2)将(1，2)代入y＝sinx＋ax2，解得a＝1.对y＝sinx＋x2求导得y′＝cosx＋2x，点(1，2)处的切线l的斜率kl＝2，故与l垂直的切线的斜率为－.对y＝x3－bx2＋1求导得y′＝3x2－2bx，若曲线C2上至多存在一条与l垂直的切线，则令3x2－2bx＝－，可得Δ＝4b2－6≤0，解得－≤b≤. 学生用书↓第69页 类型三　 两条曲线的公切线问题 例3　(1)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，求实数a的值． (2)求曲线f(x)＝ex－1和曲线g(x)＝ln x＋1公切线的方程． 解：(1)由f(x)＝x3＋ax＋， 得f ′(x)＝3x2＋A． 因为f ′(0)＝a，f(0)＝， 所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax. 设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)， g′(x)＝－， 所以 将②代入①得ln x0＝，所以x0＝e， 所以a＝－＝－e－. (2)根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)， 对于f(x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0，或m＝1， 则公切线方程为y＝ex－1，或y＝x. 　　 解决两曲线的公切线问题的两种方法 1．利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． 2．分别写出曲线y＝f(x)在P1(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)在P2(x2，g(x2))的切线方程l1与l2，并分别写成y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2，利用公切线列出求解． 对点练3.若函数f(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝ln x和直线l：y＝kx－1，f′(3)＝3. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使得直线l既是函数f(x)图象的切线，又是g(x)图象的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知得f′(x)＝2x－a， 因为f′(3)＝3，所以a＝3. (2)假设存在k，设直线l与f(x)，g(x)的图象相切的切点的横坐标分别为x1，x2， 则有 解得x1＝2，x2＝1，k＝1. 所以存在k＝1，使得直线l既是函数f(x)图象的切线，又是g(x)图象的切线． 课时测评17　曲线的切线问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知函数f(x)＝ln x＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x－y＋3＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋3＝0 答案：C 解析：由f(x)＝ln x＋2x2－4x，得f ′(x)＝＋4x－4，所以f ′(1)＝1，又f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.故选C． 2．设曲线y＝在点(1，0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案：A 解析：由题意得， y′＝＝(x>0)，因为曲线在点(1，0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，所以＝－a，解得a＝－.故选A． 3．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　) A．e B．－e C． D．－ 答案：C 解析：设切点坐标为(a，ln a)，因为y＝ln x(x>0)，所以y′＝，切线的斜率是，切线的方程为y－ln a＝(x－a)，将(0，0)代入可得ln a＝1，所以a＝e，所以切线的斜率是＝.故选C． 4．(多选)设点P是曲线y＝ex－x＋上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含区间(　　) A． B． C． D．∪ 答案：CD 解析：y＝ex－x＋的导数为y′＝ex－，由ex>0，可得切线的斜率k>－，由tan α>－，可得0≤α<，或<α<π.故选CD． 5．(多选)已知函数f(x)＝与g(x)＝ex＋1－的图象的公切线为l，则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．l的斜率大于 B．l在x轴上的截距为－2 C．l的斜率小于 D．l在y轴上的截距为2 答案：BC 解析：设切点分别为P，Q.因为f′(x)＝ex－1，g′(x)＝ex＋1，所以ex1－1＝ex2＋1＝，可得x1－1＝x2＋1，即x1＝x2＋2，则＝，所以x1＝0，P，Q，所以公切线方程为y－＝x，即x－ey＋2＝0.所以选项B、C正确．故选BC． 6. 若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1) B． C． D． 答案：D 解析：y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y＝(a>0)在点处的切线斜率为en，如果两个曲线存在公共切线，那么2m＝en，又由斜率公式可得2m＝，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝en有解，所以函数y＝4x－4与y＝ex的图象有交点．当直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，即有切点(2，4)，a＝，故实数a的取值范围是. 7．若曲线f(x)＝x ln x＋x在点(1，1)处的切线与直线2x＋ay－4＝0平行，则a＝________． 答案：－1 解析：因为f(x)＝x ln x＋x(x＞0)，所以f ′(x)＝ln x＋2，所以f(x)在x＝1处的切线斜率k＝f ′(1)＝2.由条件知－＝2，解得a＝－1. 8．已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1>k2)是曲线y＝ax＋2ln |x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝_____________________________________________ ___________________________________________________. 答案： 解析：由题意可知，当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x，设x1>0，切点为(x1，ax1＋2ln x1)，则y′|x＝x1＝a＋，切线方程为y－(ax1＋2ln x1)＝(x－x1)，若切线过(0，0)时，则－ax1－2ln x1＝－ax1－2，解得x＝e，所以过原点的切线斜率为a＋.当x<0时，同理可知，过原点的切线斜率为a－.所以k1＝a＋，k2＝a－，k1－k2＝. 9．曲线y＝ln x＋1在点(1，1)处的切线也是y＝ex＋a的切线，则a＝________． 答案：－1 解析：由y＝ln x＋1得y′＝，则曲线y＝ln x＋1在点(1，1)处的切线斜率为1，切线方程为y＝x.设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切的切点为(t，et＋a)，对y＝ex＋a求导得y′＝ex，于是得解得所以a＝－1. 10．(10分)(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知函数f(x)＝x2＋x与函数g(x)＝ln x＋2x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程；(4分) (2)求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的公切线方程．(6分) 解：(1)因为f(x)＝x2＋x，所以f ′(x)＝2x＋1，f ′(0)＝1. 所以f(x)在(0，0)点处的切线方程为y＝x. (2)设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切点为P， 因为f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln x＋2x，所以f ′(x)＝2x＋1，g′(x)＝＋2， 令f ′＝g′，即2x0＋1＝＋2， 所以x0＝1，或x0＝－(舍)， 所以P(1，2)，f′(1)＝3， 所以所求公切线方程为y－2＝3，即3x－y－1＝0. 11．(5分)(多选)已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝ln x．下列说法正确的是(　　) A．f(x)与g(x)的图象在点(1，0)处有公切线 B．存在f(x)的图象的某条切线与g(x)的图象的某条切线互相平行 C．f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点 D．f(x)与g(x)的图象有且只有两个交点 答案：BD 解析： f ′(x)＝2x，g′(x)＝，则f ′(1)＝2，g′(1)＝1，二者不相等，即在点(1，0)处，f(x)与g(x)的图象的切线斜率不相等，故在点(1，0)处没有公切线，故A错误；两切线平行即两切线斜率相等，因为f ′(x)＝2x∈R，g′(x)∈(0，＋∞)，故存在x1∈R，x2∈(0，＋∞)，使f′(x1)＝g′(x2)．因此f(x)与g(x)的图象有互相平行的切线，故B正确；在同一平面直角坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象，如图，观察图象可知C错误，D正确．故选BD． 12．(5分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则实数a＝________． 答案：1 解析：设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，因为f(x)＝xln x，所以f ′(x)＝1＋ln x，所以f ′(x0)＝1＋ln x0，所以直线l：y－x0ln x0＝(1＋ln x0)(x－x0)，又直线l过点A(1，0)，所以－x0ln x0＝(1＋ln x0)(1－x0)，所以1－x0＋ln x0＝0，解得x0＝1，所以y0＝0，所以切点为A(1，0)，所以曲线y＝f(x)在点A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 13．(15分)(2024·江西部分学校期中联考)已知函数f(x)＝(x－a)2，g(x)＝－(x－b)2. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在x＝0处的切线方程；(6分) (2)若a＋b＝1，是否存在直线l与曲线f(x)，g(x)都相切？若存在，求出直线l的方程(若直线l的方程含参数，则用a表示)；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)当a＝1时，f ′(x)＝2(x－1)，f(0)＝1，f ′(0)＝－2. 所以曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y－f(0)＝f ′(0)(x－0)，即y＝－2x＋1. (2)设直线l与曲线f(x)，g(x)分别相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题知f ′(x)＝2(x－a)，g′(x)＝－2(x－b)，则－2(x2－b)＝2(x1－a)，即x1＋x2＝a＋b． 曲线f(x)在点A处的切线方程为y－(x1－a)2＝2(x1－a)(x－x1)， 又该切线过点B， 所以－(x2－b)2－(x1－a)2＝2(x1－a)(x2－x1)．(*) 由x1＋x2＝a＋b，得x1－a＝－(x2－b)， 代入(*)，得－(x1－a)2＝(x1－a)(x2－x1)， 解得x1＝a，或x2＝a， 当x1＝a时，直线l：y＝0， 当x2＝a时，x1＝a＋b－x2＝1－a， 直线l：y＝2(1－2a)x＋2a－1. 故存在直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，直线l的方程为y＝0，或y＝2(1－2a)x＋2a－1. 14．(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2－x)－2f(x)＝－x2－4x＋4，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．6x－y－5＝0 B．6x－y＋5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋1＝0 答案：C 解析：对f(2－x)－2f(x)＝－x2－4x＋4两边求导，得(2－x)′·f′(2－x)－2f′(x)＝－2x－4，即f′(2－x)＋2f′(x)＝2x＋4，所以f′(2－1)＋2f′(1)＝2×1＋4，因此3f′(1)＝6，即f′(1)＝2.又f(2－1)－2f(1)＝－12－4×1＋4，即f(1)＝1，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选C． 15．(15分)(2024·江苏苏州高二期末)已知函数f＝ex－b和g＝－b2，其中a，b为常数且b>0. (1)当b＝1时，求曲线y＝f在x＝1处的切线方程；(5分) (2)若存在斜率为1的直线与曲线y＝f和y＝g都相切，求的最小值．(10分) 解：(1)当b＝1时，f＝ex－1，当x＝1时，切点为， 因为f′＝ex，切线斜率为f′＝e， 所以切线方程为y－＝e， 即y＝ex－1. (2)f＝ex－b的定义域为R，g＝－b2的定义域为， 且f′＝ex，g′＝， 设曲线y＝f在点A处的切线斜率为1，则ex1＝1， 所以x1＝0，则A， 设曲线y＝g在点B处的切线斜率为1，则＝1， 所以x2＝－a，则B，直线AB的斜率＝1， 所以a＝b2－b＋，由于b>0， 则＝b＋－1≥2－1＝－1， 当且仅当b＝，即b＝时等号成立，故的最小值为－1. 学生用书↓第70页 学科网（北京）股份有限公司 $$