17 6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　简单复合函数的求导法则 知识目标 1.了解复合函数的概念．　2.理解复合函数的求导法则，并会求简单的复合函数的导 素养目标 通过复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养. 问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1”占据“了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 知识点　复合函数及其导数 1．复合函数的概念：一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2．复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [微提醒]　求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为”分解－求导－回代“． 1．下列所给函数为复合函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝ln(x－2) B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ 答案：A 解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，另外三个函数分别为函数y＝ln x与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义．故选A． 2．函数f(x)＝sin(2x＋)的导函数f ′(x)为(　　) A．f ′(x)＝cos B．f ′(x)＝2cos C．f ′(x)＝cos 2x D．f ′(x)＝2cos 2x 答案：B 解析：根据复合函数的求导公式，f(u)＝sin u，u＝2x＋，f ′(x)＝2cos. 3．(多选)以下函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝，则f ′(x)＝ B．若f(x)＝e2x，则f ′(x)＝e2x C．若f(x)＝，则f ′(x)＝ D．若f(x)＝cos，则f ′(x)＝－sin 答案：AC 解析：对A，f ′(x)＝＝，故A正确；对B，f ′(x)＝e2x·2＝2e2x，故B错误；对C，f ′(x)＝[(2x－1)]′＝·(2x－1)－·2＝(2x－1)－＝，所以C正确；对D，f ′(x)＝·2＝－2sin，故D错误．故选AC． 4．函数y＝是由____________三个函数复合而成的． 答案：y＝，u＝v2＋1，v＝sin x 5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f ′(2)＝20，则a＝________． 答案：1 解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，因为f ′(x)＝8x＋4a，所以f ′(2)＝16＋4a＝20，所以a＝1. 学生用书↓第66页 题型一　复合函数的导数 例1　 求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. [点拨]　先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． 解：(1)因为y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成， 所以y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)因为y＝ln(6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成， 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(2x＋1)′＝2cos u＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝ . 　 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． (3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．　 对点练1.求下列函数的导数： (1)y＝103x－2； (2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝2sin. 解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2×ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝ . (3)设y＝2sin u，u＝3x－，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos. 题型二　复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2　 求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. [点拨]　先分析函数的构成，必要时先化简再求导． 解：(1)因为(ln 3x)′＝×(3x)′＝， 所以y′＝＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝. (3)因为y＝xcossin＝x(－sin 2x)·cos 2x＝－xsin 4x， 所以y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4＝－sin 4x－2xcos 4x. 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．　　 学生用书↓第67页 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝xe5x＋2； (2)y＝e2x·cos x； (3)y＝(x＋1)2＋xsin. 解：(1)y′＝x′e5x＋2＋x(e5x＋2)′ ＝e5x＋2＋xe5x＋2·5＝(5x＋1)e5x＋2. (2)y′＝(e2x)′cos x＋e2x(cos x)′ ＝2e2xcos x－e2xsin x. (3)y′＝[(x＋1)2]′＋′ ＝2(x＋1)·(x＋1)′＋(x)′sin＋x′ ＝2(x＋1)＋sin＋xcos·′ ＝2(x＋1)＋sin＋cos. 题型三　导数运算法则的综合应用 例3　 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．2 C．3 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． [点拨]　(1) (2) 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．所以切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A． (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 正确地求出复合函数的导数是解答本题的前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　　 对点练3.设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，求a，b的值． 解：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b， 得f ′(x)＝＋＋a， 则f ′(0)＝1＋＋a＝＋a， 此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率， 由题意，得＋a＝，故a＝0. 易错点　对复合函数的求导不完全而致误 函数y＝xe1－2x的导数为__________． [易错分析]　解答本题时，对e1－2x求导数，容易出现不按照复合函数的求导法则进行运算，导致求导不完全． [误区警示]　在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数． 答案：(1－2x)e1－2x [正解]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x. 1．函数y＝(2 025－8x)3的导数y′＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3(2 025－8x)2 B．－24x C．－24(2 025－8x)2 D．24(2 025－8x)2 答案：C 解析：y′＝3(2 025－8x)2×(2 025－8x)′＝3(2 025－8x)2×(－8)＝－24(2 025－8x)2.故选C． 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　 ) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 答案：B 解析：y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.故选B． 3．(多选)下列结论中不正确的是(　　 ) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 2 025x，则y′＝－sin2 025x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 答案：ACD 解析：对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故A错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故B正确；对于C，y＝cos 2 025x，则y′＝－2 025sin 2 025x，故C错误；对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故D错误．故选ACD． 4．曲线f (x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________________________________________________________________________． 答案：5x＋y－3＝0 解析：因为f ′(x)＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以f ′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0. 课时测评16　简单复合函数的求导法则 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　) A．－2sin 2x＋2e2x B．sin 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．－sin 2x＋e2x 答案：A 解析：因为f(x)＝cos 2x＋e2x，所以f ′(x)＝－2sin 2x＋2e2x.故选A． 2．函数f(x)＝的导数是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为f(x)＝，所以f ′(x)＝＝.故选B． 3．(多选)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜2π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ的可能取值为(　　) A． B． C． D． 答案：AC 解析：f ′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f ′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin，因此φ＋＝kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝.故选AC． 4．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则 的值为(　　 ) A．10 B．－10 C．－20 D．20 答案：C 解析：因为f(x)＝2ln(3x)＋8x，所以f ′(x)＝＋8＝8＋.f′(1)＝8＋2＝10，根据导数定义知 ＝－2 ＝－2f ′(1)＝－20.故选C． 5．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝xln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　　 ) A．y＝－x B．y＝－x＋2 C．y＝x D．y＝x－2 答案：A 解析：因为当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，f ′(x)＝－ln(－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A． 6．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________． 答案： 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝. 7．函数y＝ln(2x＋3)的导数为y′＝________，其函数图象在点处的切线的倾斜角为__________________________________ __________________________________________________． 答案：　 解析：令u＝2x＋3，则y＝ln u，y′＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.当x＝－时，y′＝＝1，所以函数y＝ln(2x＋3)的图象在点处的切线的斜率为1，所以倾斜角为. 8．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 答案：(－ln 2，2) 解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝a2x－3； (2分)(2)y＝x2cos；(2分) (3)y＝e－xln x；(3分) (4)y＝.(3分) 解：(1)因为y＝a2x－3， 所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln A． (2)因为y＝x2cos， 所以y′＝2xcos＋x2′ ＝2xcos－x2sin′ ＝2xcos－2x2sin. (3)因为y＝e－xln x， 所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝. (4)因为y＝＝(1－2x)－， 所以y′＝－(1－2x)－×(－2)＝＝. 10．(10分)曲线y＝esin x 在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解：因为y＝esin x，所以y′＝esin xcos x， 所以y′|x＝0＝1. 所以曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0. 由＝得m＝－1或3. 所以直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. 11．(5分)(新定义)(多选)已知函数f(x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，则称x0是f(x)的一个”巧值点“．下列函数中，有”巧值点“的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 答案：ACD 解析：在A中，若f(x)＝x2，则f ′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求； 在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝′＝ln＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)＝ln x，则f ′(x)＝，由ln x＝，令y＝ln x，y＝(x＞0)，作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；在D中，若f(x)＝，则f ′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD． 12．(5分)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′＝，则φ＝________；若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________． 答案：或　 解析：f ′(x)＝－sin(x＋φ)．由条件知，f ′＝－sin(π＋φ)＝sin φ＝，所以sin φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝或.又f(x)＋f ′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin，所以φ＋＝kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，π)，所以φ＝. 13．(15分)(2024·上海松江高二期中)已知函数f＝sin2x＋sin 2x. (1)求f ′(x)的解析式；(6分) (2)求曲线y＝f(x)在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．(9分) 解：(1)f ′＝2sin xcos x＋2cos 2x＝sin 2x＋2cos 2x. (2)由(1)知f ′＝1，f＝，得切线方程为y＝x－＋， 与x，y轴的交点分别为，， 故所围成的三角形的面积S＝×＝. 14．(15分)设函数f(x)＝aexln x＋. (1)求导函数f ′(x)；(6分) (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．(9分) 解：(1)由f(x)＝aexln x＋， 得f ′(x)＝(aexln x)′＋()′＝aexln x＋＋. (2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上， 将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，所以b＝2. 将x＝1代入导函数f ′(x)中，得f ′(1)＝ae＝e， 所以a＝1. 学生用书↓第68页 学科网（北京）股份有限公司 $$