16 6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 知识目标 掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数． 素养目标 通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养. 问题1.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？ 提示：第一步：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均变化率＝；第三步：取极限，得导数y′＝f ′(x)＝ lim . 问题2.令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 提示：Δy＝[f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)]－[f(x)＋g(x)]， ＝＝＋， y′＝ lim＝lim ＝f ′(x)＋g′(x)． 所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)． 知识点　导数的四则运算法则 导数的四则运算法则 语言表达 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数 ′＝ (g(x)≠0) 两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方 [微提醒]　(1)公式的推广：函数和、差导数可以推广到n个函数． 设f1(x)，f2(x)，…fn(x)在x处可导． 则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． (2)结构特征 乘法公式中间用”加号“，前导后不导＋前不导后导；除法公式，分母平方，分子用”减号“． 1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　 ) A．1－sin 1　　　　　　　 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1 答案：A 解析：因为f ′(x)＝－sin x＋，所以f ′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A． 2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　　 ) A．ab B．－a(a－b) C．0 D．a－b 答案：D 解析：因为f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab，所以f ′(x)＝2x－(a＋b)，所以f ′(a)＝2a－(a＋b)＝a－B．故选D． 3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　 ) A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 答案：B 解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 4．函数y＝x3＋3x2＋6x－10的导数y′＝__________． 答案：3x2＋6x＋6 解析：函数的导数为y′＝3x2＋6x＋6. 5．已知函数f(x)＝f ′cos x＋sin x，则f的值为________． 答案：1 解析：因为f′(x)＝－f ′sin x＋cos x，所以f ′＝－f ′×＋，得f ′＝－1.所以f(x)＝(－1)cos x＋sin x，所以f＝(－1)＋＝1. 学生用书↓第63页 题型一　利用运算法则求函数的导数 例1　 (1)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f ′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________． (2)求下列函数的导数： ①y＝3x2＋xcos x； ②y＝； ③y＝. [点拨]　这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则． 答案：(1)3 解析：(1)因为f ′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f ′(0)＝3. (2)①y′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝6x＋(x)′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. ②y′＝＝. ③y′＝＝＝. 运用导数运算法则的策略 1．分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则和基本公式． 2．如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．　　 对点练1.(1)已知f(x)＝，则f′(x)＝(　　) A． B．－1 C．1－ln x D． (2)已知函数f(x)＝x3＋4xf ′(1)，则f(1)＝(　　) A．－7 B．－3 C．－1 D．4 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)f ′(x)＝＝＝.故选D． (2)f ′(x)＝3x2＋4f ′(1)，所以f ′(1)＝3＋4f ′(1)，所以f ′(1)＝－1，所以f(x)＝x3－4x，所以f(1)＝1－4＝－3.故选B． 题型二　利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数 例2　 求下列函数的导数： (1)y＝xln； (2)y＝； (3)y＝. [点拨]　若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导． 解：(1)因为y＝xln＝xln x＝xln x， 所以y′＝′＝(x)′ln x＋x(ln x)′ ＝ln x＋. (2)因为y＝＝x－x2＋x3， 所以y′＝(x－x2＋x3)′＝1－2x＋3x2. (3)因为y＝＝＝－sin x－cos x， 所以y′＝(－sin x－cos x)′＝sin x－cos x. 求函数的导数时，一般要遵循”先化简再求导“的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数无法直接运用公式和法则求导的问题．尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导．　　 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝sin2； (2)y＝ln2x. 解：(1)因为y＝sin2＝(1－cos x)＝－cos x，所以y′＝sin x. (2)因为y＝ln2x＝ln x·ln x， 所以y′＝(ln x·ln x)′＝·ln x＋ln x·＝. 学生用书↓第64页 题型三　导数运算法则的综合应用 例3　 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [点拨]　(1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程组，解方程组可求出a，B． (2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k，从而解出x0，求得切点坐标和切线方程． 解：(1)因为f(x)＝x3＋ax＋b的导数f ′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f ′(2)＝12＋a＝13, f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16. (2)因为切线与直线y＝－＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4， 所以x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝f(1)＝1＋1－16＝－14，或y0＝f(－1)＝－1－1－16＝－18. 所以切点坐标为(1，－14)或(－1，－18) 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 　 1．导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径． 2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．　 对点练3.已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f ′(x)． (1)求f(1)＋f ′(1)； (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x, 得f ′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f ′(1)＝3a＋1. (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线， 故此时切线斜率为0， 问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f ′(x)＝2ax＋存在零点， 即f ′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 1．(2024·吉林长春高二期末)函数y＝x3－3x2－5x＋6的导数为(　　) A．y′＝3x2－6x＋1 B．y′＝3x2－6x－5 C．y′＝x2－3x＋1 D．y′＝x2－3x－5 答案：B 解析：根据导数的运算法则可知，y′＝3x2－6x－5.故选B． 2．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案：D　 解析：y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．故选D． 3．(多选)(2024·福建漳州高二期末)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1＋ B．′＝ln x＋1 C．′＝－2xsin x D．′＝ 答案：BD 解析：对于A，′＝x′＋′＝1－，故A错误；对于B，′＝ln x＋1，故B正确；对于C，′＝′cos x＋x2′＝2xcos x－x2sin x，故C错误；对于D，′＝＝，故D正确．故选BD． 4．(一题两空)已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x.则f ′(x)＝__________；曲线y＝f(x)在点(2，19)处的切线方程是____________． 答案：8x＋1　17x－y－15＝0 解析：f(x)＝(4x2－4x＋1)＋5x＝4x2＋x＋1，所以f ′(x)＝8x＋1.又f ′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0. 课时测评15　导数的四则运算法则 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列求导数运算不正确的是(　　) A．(sin x)′＝－cos x B．(log2x)′＝ C．()′＝ D．(xex)′＝(1＋x)ex 答案：ABC 解析：(sin x)′＝cos x，(log2x)′＝，′＝，(xex)′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 2．已知函数f(x)＝ln x－3x＋f ′(1)x2，则f(1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案：D 解析：f ′(x)＝－3＋2f ′(1)x，所以f ′(1)＝1－3＋2f ′(1)，即f ′(1)＝2，所以f(x)＝ln x－3x＋2x2，所以f(1)＝0－3＋2＝－1.故选D． 3．如图有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝(　　) A． B．－ C． D．－或 答案：B 解析：f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图③知f ′(0)＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.故选B． 4．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－3x＋1 答案：A 解析：由y＝xex＋2x－1，得y′＝ex＋xex＋2.所以y′|x＝0＝e0＋2＝3，所以切线斜率为3.所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.故选A． 5．曲线y＝f(x)＝－x3＋2x在横坐标为－1的点处的切线为l，则点(3，2)到直线l的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题得y′＝f ′(x)＝－3x2＋2，当x＝－1时，y＝－1，所以切点为(－1，－1)，k＝f′(－1)＝－3＋2＝－1，所以切线l的方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0，所以点(3，2)到直线l的距离为＝.故选A． 6．已知函数f(x)＝x3＋x2·f′(1)，则f ′(－1)＝________． 答案：9 解析：因为f(x)＝x3＋x2·f ′(1)，所以f ′(x)＝3x2＋2x·f ′(1)，则f′(1)＝3＋2·f ′(1)，即f ′(1)＝－3，所以f ′(x)＝3x2－6x，故f ′(－1)＝9. 7．设函数f(x)＝，若f ′(1)＝，则a＝________． 答案：1 解析：因为函数f(x)＝，所以f ′(x)＝，若f ′(1)＝＝，则＝，解得a＝1. 8．如图，y＝f(x)是可导函数，若直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________． 答案：0 解析：由题图知，f(3)＝1.因为点(3，1)在直线l上，所以3k＋2＝1，即k＝－，所以 f ′(3)＝k＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋x f ′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×(－)＝0. 9．(10分)已知曲线C1：y＝ax2上在点P处的切线为l1，曲线C2：y＝bx3上在点P′(1，b)处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2，2)，求a，b的值及P点坐标． 解：设P(t，at2)，所以l1的斜率为k1＝2at， l1的方程为y－at2＝2at(x－t)． 又l2的斜率为k2＝3bx2|x＝1＝3b， 所以l2的方程为y－b＝3b(x－1)． 因为l1⊥l2且交点为M(2，2)， 所以 所以t＝10，a＝－，b＝， 所以P. 10．(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.求实数a，b的值． 解：函数f(x)＝ax－的导数为f′(x)＝a＋， 可得y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为a＋， 切点为，由切线方程7x－4y－12＝0， 可得y＝x－3， 故a＋＝，2a－＝×2－3， 解得a＝1，b＝3. 11．(5分)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 答案：D 解析：设曲线在点P处的切线的斜率为k，则k＝y′＝＝＜0.因为ex＞0，所以由基本不等式，得k≥＝－1，当且仅当ex＝，即x＝0时，等号成立．又k＜0，所以－1≤k＜0，即－1≤tan α＜0，所以≤α＜π.故选D． 12．(5分)(多选) 若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x 答案：BC 解析：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．故选BC． 13．(5分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的导函数为f ′(x)，若方程f(x)－f ′(x)＝0恰有两个相等的实根，则的最大值为________． 答案：2－2 解析：f ′(x)＝2ax＋b，f(x)＝f ′(x)化为：ax2＋(b－2a)x＋c－b＝0，因为方程f(x)－f ′(x)＝0恰有两个相等的实根，所以Δ＝(b－2a)2－4a(c－b)＝0，即b2＋4a2－4ac＝0，即b2＝4ac－4a2＝4a(c－a)≥0，因为a>0，所以c≥a>0，所以≥1，可另t＝，则t≥1，当a＝c时，t＝1，此时b＝0，当t>1时，＝＝＝＝＝≤＝2－2当且仅当t＝1＋时，取的最大值2－2. 14．(5分)(新定义)(2024·江西抚州高二期末)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f在区间内的导函数为f′，f′在区间内的导函数为f″，在区间内f″<0恒成立，则称函数f在区间内为”凸函数“，则下列函数在其定义域内是”凸函数“的是(　　) A．f＝x＋2sin x B．f＝x－ex C．f＝x－ln x D．f＝ 答案：B 解析：对于A，f ′(x)＝1＋2cos x，则f″(x)＝－2sin x，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是”凸函数“；对于B，f′(x)＝1－ex，则f″(x)＝－ex<0，故是”凸函数“；对于C，f′(x)＝1－，则f″(x)＝>0，故不是”凸函数“；对于D，f′(x)＝，则f″(x)＝，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是”凸函数“．故选B． 15．(15分)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若P(x0，y0)为f (x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．(9分) 解：(1)由题意得f′(x) ＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f(x)＝. (2)由(1)可得，f ′(x)＝， 所以直线l的斜率 k＝f ′(x0)＝＝4， 令t＝，则t∈(0，1]， 所以k＝4(2t2－t)＝8－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学生用书↓第65页 学科网（北京）股份有限公司 $$