15 6.1.3 基本初等函数的导数-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1.3　基本初等函数的导数 知识 目标 1.理解导函数的概念．　2.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．　3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 素养 目标 通过导函数概念的学习，培养数学抽象素养；通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养. 问题1.回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数． 问题2.如何求常函数f(x)＝c的导数？ 提示：因为＝＝＝0， 所以f ′(x)＝ lim＝lim0＝0，即(c)′＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f ′(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f ′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f ′(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f ′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝x⇒f ′(x)＝x－＝x－1.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的导数的规律，即(xα)′＝αxα－1. 知识点一　导函数(导数) 　一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f ′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)．即f′(x)＝y′＝y′x＝ . [微提醒]　函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系 (1)“函数在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，只与x0有关，与Δx无关，不是变数． (2)导函数也简称导数． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)． 知识点二　几个常用函数的导数 原函数 导函数 y＝f(x)＝c y′＝0 y＝f(x)＝x y′＝1 y＝f(x)＝x2 y′＝2x y＝f(x)＝x3 y′＝3x2 y＝f(x)＝ y′＝－ y＝f(x)＝ y′＝ 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝axln__a f(x)＝ex f ′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ln x f ′(x)＝ [微提醒]　(1)导数定义本身给出了求导函数最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，所以求导数总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．但当用导数定义推导出常见函数的导数公式后，求函数导数就可用公式直接求导，简捷迅速． 学生用书↓第59页 (2)学习基本初等函数求导公式时不需要对公式进行证明．掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可． (3)要搞清一些函数的内部关系，合理转化函数关系式然后求导，如y＝，y＝可转化为y＝x，y＝x－4. (4)若f(x)＝ex，则f ′(x)＝ex，但反之不成立，由导数的定义可知对f(x)＝ex＋C(其中C为任意实常数)，都有f′(x)＝ex，也就是说由f′(x)＝ex，可以推出f(x)＝ex＋C． 　1.若y＝cos，则y′＝(　　 ) A．－ B．－ C．0 D． 答案：C 解析：cos＝－，为常数．常数函数的导数为0. 2．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　 ) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案：C 解析：因为f′(x)＝10xln 10，所以f′(1)＝10ln 10. 3．(多选)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 答案：ABC 解析：若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f ′(x)＝ex＞0，B中f ′(x)＝3x2≥0，C中f ′(x)＝(x＞0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f ′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．故选ABC． 4．函数f(x)＝，则f′(x)＝________，f ′＝________． 答案：x－　 解析：因为f(x)＝＝x，所以f ′(x)＝x－ .f ′＝×＝×＝. 5．函数f(x)＝sin x，则f ′(6π)＝________． 答案：1 解析：f ′(x)＝cos x，所以f ′(6π)＝cos 6π＝1. 题型一　利用导数公式求函数的导数 例1　 求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝4x；(4)y＝log5x； (5)y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1. [点拨] 解：(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝(4x)′＝4xln 4. (4)y′＝(log5x)′＝. (5)由y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1得y＝x3－1＋1，即y＝x3，所以y′＝(x3)′＝3x2. 　 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免运算失误． 3．要特别注意”与ln x“，”ax与logax“，”sin x与cos x“的导数区别．　对点练1.求下列函数的导数： (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos. 解：(1)因为y＝cos ＝，所以y′＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y′＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝x，所以y′＝x. (4)因为y＝lg x，所以y′＝. (5)因为y＝5x，所以y′＝5xln 5. (6)因为y＝cos＝sin x，所以y′＝cos x. 学生用书↓第60页 题型二　利用常用函数的导数求切线方程 例2　 已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程． [点拨]　先求导数，(1)中点P在曲线上，可直接利用导数求出斜率，写出切线方程．(2)中点Q不在曲线上，可先设切点为M(x0，y0)，利用导数求出斜率，再利用两点式求得斜率，由同一直线的斜率相等列方程求出x0，即可得到斜率k的值和M的坐标． 解：(1)因为P(1，1)在曲线y＝上，且y′＝－， 所以在点P(1，1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝－3； 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0. (2)设曲线y＝过点Q(1，0)的切线与曲线相切于点M， 则切线的斜率k＝－， 所以切线方程为y－＝－(x－x0)， 因为点Q(1，0)在切线上，所以－＝－(1－x0)， 解得x0＝. 故所求的切线方程为256x＋27y－256＝0. 　 常用函数求导数可依据结论直接写出结果， 不必再按定义求解．　 对点练2.(1)已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． (2)求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线方程． 解：(1)因为y′＝，所以k＝y′|x＝e＝，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. (2)由y＝ln x得y′＝，因为O(0，0)不在曲线y＝ln x上，所以设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.又切线的斜率k＝＝， 所以＝，即x0＝e， 所以Q(e，1)，所以k＝， 所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 题型三　导数的应用 例3　 如图，设直线l1与曲线y＝ 相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长． [点拨]　只需求出K、Q两点的横坐标即可． 解：设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝ . 因为直线l1与l2垂直，则kl2＝－2， 所以直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)． 因为点P(x0，y0)在曲线y＝上，所以y0＝. 在直线l2的方程中，令y＝0， 则－＝－2(x－x0)． 所以x＝＋x0，即xQ＝＋x0. 又xK＝x0，所以|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝. 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程，而切线斜率由导数求出，再求出l2的方程，即可表示出两点坐标，求出两点间线段长度．　　 对点练3.如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值． 解：设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0. 由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝. 由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝，解得x0＝. 所以y0＝＝，即点P的坐标为. 由点P(，)在曲线y＝f(x)上，得2×＋a＝，解得a＝. 所以点P的坐标为，a的值为. 学生用书↓第61页 易错点　不能正确理解切点的实质而致误 经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程． [易错分析]　本题易误把点P当成切点进行求解． [误区警示]　在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2，8)不一定是切点，做题时要高度关注． [正解]　易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，f ′(2)＝12，切线方程为12x－y－16＝0. 当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x. 因为A在曲线上，所以y0＝x，所以＝3x， 所以x－3x＋4＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0， 所以x0＝－1或x0＝2(舍去)， 所以y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0. 1．(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．若y＝2 025，则y′＝0 B．若y＝x，则y′＝1 C．若y＝x，则y′＝x D．若y＝，则y′＝－ 答案：ABD 解析：由公式易知ABD正确． 2．曲线y＝f (x)＝在点处的切线的斜率为(　　 ) A．2 B．－4 C．3 D． 答案：B 解析：因为f (x)＝，所以f ′(x)＝－，所以f ′＝－4.故选B． 3．若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex 答案：C 解析：对于A，f ′(x)＝2x，为奇函数；对于B，f ′(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f ′(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f ′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数． 4．曲线y＝f (x)＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________________________________________________________________________． 答案：y＝e2(x－1) 解析：因为f ′(x)＝ex，所以f ′(2)＝e2，所以在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2(x－1)． 课时测评14　基本初等函数的导数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．计算lim ＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 答案：B 解析：由导数的定义得lim ＝lim ＝(sin x)′|x＝0＝cos x|x＝0＝1.故选B． 2．若f(x)＝3x，则f′(1)＝(　　) A．3 B．3ln 3 C． D．ln 3 答案：B 解析：f(x)＝3x，则f′(x)＝3xln 3，所以f′(1)＝3ln 3. 3．若函数f(x)＝cos x，则f ′＋f的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 答案：A 解析：因为f(x)＝cos x．所以f ′(x)＝－sin x．所以f ′＋f＝－sin＋cos＝0. 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1) C．(2，8) D． 答案：B 解析：y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1)． 5．(多选)下列结论不正确的是 (　　) A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝ex，则y′＝－ex C．若y＝，则y′＝ D．若y＝，则y′＝ 答案：ABD 解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以A不正确；因为(ex)′＝ex，所以B不正确；因为′＝，所以C正确；因为()′＝，所以D不正确．故选ABD． 6．已知函数f(x)＝，g(x)＝x3，则满足f′(1)＋g′(x)＝1的x的值为________． 答案： 解析：因为f ′(x)＝′＝(x－)′＝－x－，所以f ′(1)＝－，又g′(x)＝3x2，f ′(1)＋g′(x)＝1，所以－＋3x2＝1，解得x＝±，又x＞0，所以x＝. 7．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f ′(x)＝________． 答案：2x 解析：因为f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，所以f(x)＝x2，f ′(x)＝2x. 8．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 答案：或－2 解析：f ′(x)＝若f ′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2. 9．(10分)求函数在下列各点处的导数： (1)y＝cos x，x＝；(2分) (2)y＝ex，x＝3；(2分) (3)y＝3，x＝8；(3分) (4)y＝log3x，x＝2.(3分) 解：(1)y′＝(cos x)′＝－sin x， 所以f ′()＝－sin＝－. (2)y′＝(ex)′＝ex，所以f ′(3)＝e3. (3)y′＝()′＝(x)′＝x－， 所以f ′(8)＝×8－＝. (4)y′＝(log3x)′＝， 所以f ′(2)＝. 10．(15分)(1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；(6分) (2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．(9分) 解：(1)因为y′＝()′＝x－，所以k＝y′|x＝1＝， 所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. (2)因为y′＝，曲线y＝ln x的一条切线的斜率等于4， 所以y′＝＝4，得x＝，此时y＝－ln 4， 所以切点为.所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 11．(5分)(新定义)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 答案：A 解析：对于函数y＝sin x，y′＝cos x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1＝cos x1，k2＝cos x2，令k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1，则x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(x2＝2kπ，x1＝2kπ＋π)，k∈Z，即存在这样的两点，所以具有T性质；对于函数y＝ln x，y′＝，k1·k2＝·，而x1>0，x2>0，所以k1·k2≠－1，所以函数y＝ln x不具有T性质；对于函数y＝ex，y′＝ex，k1＝ex1，k2＝ex2，显然均大于0.所以函数y＝ex不具有T性质；对于函数y＝x3，y′＝3x2，k1＝3x，k2＝3x，显然k1·k2≠－1，所以函数y＝x3不具有T性质．故选A． 12．(5分)已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝(　　 ) A．0 B． C． D．2 答案：C 解析：如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值，易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以|PQ|min＝＝. 13．(5分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝.故选B． 14．(5分)设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝(　　 ) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 答案：B 解析：根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f′0(x)＝－sin x，f2(x)＝f ′1(x)＝－cos x，f3(x)＝f ′2(x)＝sin x，f4(x)＝f ′3(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 025(x)＝f4×506＋1(x)＝f1(x)＝－sin x．故选B． 15．(15分)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：不存在，理由如下： 因为y1＝sin x，y2＝cos x， 所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x. 设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若两条切线互相垂直， 则cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1， 所以sin 2x0＝2，显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直． 学生用书↓第62页 学科网（北京）股份有限公司 $$