14 6.1.2 导数及其几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1.2　导数及其几何意义 知识 目标 1.理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数在某点处的导数．　2.理解导数的几何意义．　3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 素养 目标 借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象素养；通过导数的几何意义，提升直观想象、数学运算素养. 问题．如图，当点Pn(xn，f (xn))(n＝1，2，3，4)，沿着曲线f (x)趋近于点P(x0，f (x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 提示：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P的切线． 知识点一　瞬时变化率与导数 1．定义：一般地，设函数y＝f (x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)＝k． 2．符号表示：f ′(x0)＝__． 3．实际意义：瞬时变化率f ′(x0)的实际意义：当自变量在x＝x0处改变量的绝对值|Δx|很小时，因变量对应的改变量的近似值为f ′(x0)Δx. [微提醒]　函数f (x)并不一定在定义域内的任意一点都存在瞬时变化率，如函数f(x)＝，在x＝0处就不存在瞬时变化率．因为＝＝，当Δx趋近于0时，瞬时变化率越来越大，无法趋近于一个确定的值． 知识点二　导数的几何意义 1．切线的定义：如图，在曲线y＝f (x)上任取一点P(x，f (x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． [提示]　曲线的切线与曲线不一定只有一个交点，如曲线y＝sin x与切线y＝1有无数个交点． 2. 导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝__＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． 学生用书↓第55页 [微提醒]　(1)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． (2)若f ′(x0)>0，则切线与x轴正向的夹角为锐角；若f ′(x0)<0，则切线与x轴正向的夹角为钝角；若f ′(x0)＝0，则切线与x轴平行． 3．切线方程：曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 1．已知函数f (x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为 (　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：B 解析：由题意，知f ′(3)＝ ＝－2.故选B 2．已知函数y＝f (x)的图象(如图)，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)<f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 答案：B 解析：由题图知f (x)在点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f′(xA)<f ′(xB)．故选B． 3．曲线y＝2x3在点A(1，2)处的切线的斜率等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 答案：D 解析：因为Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，所以＝＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6.由导数的几何意义知，曲线y＝2x3在点A处的切线的斜率等于6.故选D． 4．函数f (x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 答案：2 解析：因为f (x)＝x2，所以在x＝1处的瞬时变化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 5．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是______________． 答案：x＋y－3＝0 解析：点 A(1，2)处切线的斜率为k＝f ′(1)＝－1.所以切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 题型一　求函数在某点处的导数 例1　(1)求函数f (x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解：(1)因为Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2， 所以＝＝3－Δx， 所以f ′(－1)＝ ＝ (3－Δx)＝3. (2)令f(x)＝y＝3x2，因为Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， 所以＝6＋3Δx， 所以f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. 求函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数的步骤 　　 对点练1.求函数f (x)＝x－在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， 所以＝＝1＋， 所以f ′(1)＝ ＝ ＝2. 题型二　导数几何意义的应用 例2　 (1)已知函数f (x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)　 B．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)　 C．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) (2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　 )　　　　　 A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 学生用书↓第56页 [点拨]　(1)根据导数的几何意义进行判断．(2)由已知可得点(0，b)处的斜率为1，点(0，b)在切线上，列方程求解即可． 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．故选C． (2)由题意，知k＝y′|x＝0＝ ＝1，所以a＝1.又(0，b)在切线上，所以b＝1.故选A． 1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义． 2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．　　 对点练2.(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　 ) A．1 B． C．－ D．－1 (2)如图，函数y＝f (x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f ′(2)等于(　　 ) A．－4 B．3 C．－2 D．1 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)由题意可知，f ′(1)＝2.又 ＝ ＝lim (aΔx＋2a)＝2A．故2a＝2，a＝1.故选A． (2)直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知P(2，y)在切线上，故f(2)＝2，f ′(2)＝－1，所以f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.故选D． 题型三　求切点坐标 例3　 曲线 y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1) 平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． [点拨]　设出切点坐标，利用导数的几何意义求解即可． 解：设P(x0，y0)，f′(x0)＝ ＝ ＝2x0. (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，直线斜率为， 所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P(－，)是满足条件的点． (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P(－，)是满足条件的点． 1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标． 2．根据切线斜率求切点坐标的步骤 第一步：设切点坐标(x0，y0)； 第二步：求切线的斜率f ′(x0)； 第三步：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； 第四步：将x0代入f (x)求y0得切点坐标．　　 对点练3.已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标． 解：设切点P(m，n)，切线斜率为k， 由y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x， 得k＝y′|x＝m＝4m. 由题意可知4m＝8，所以m＝2. 代入y＝2x2－7得n＝1. 故所求切点P为(2，1)． 题型四　求曲线的切线方程 例4　 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． [点拨]　(1) (2) 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以切点P(1，1)． y′|x＝1＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3. 所以k＝y′|x＝1＝3. 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，y′|x＝x0＝ ＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， 即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，y′|x＝x0＝， 相应的切线方程为y＋＝， 即3x－4y＋1＝0. 学生用书↓第57页 利用导数的几何意义求切线方程的方法 1．若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． 2．若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．　　 对点练4.已知函数y＝x3－x的图象为曲线C． (1)求曲线C在点(1，0)处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，0)的切线方程． 解：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝ ＝ ＝ ＝ (1＋Δx)(2＋Δx)＝2， 所以曲线C在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2. (2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x－x0)，则切线斜率为 k＝ ＝ ＝[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2－1] ＝3x－1， 所以切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)， 所以0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，整理得2x－3x＋1＝0，即2(x－1)－3(x－1)＝0， 所以2(x0－1)(x＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－. 所以P(1，0)或P， 所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋. 易错点　不能正确识图致误 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　 ) A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好 C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 [易错分析]　本题易误解平均变化率的概念而误选C． [误区警示]　识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． [正解]　由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B． 1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线(　　 ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 答案：B 解析：由导数的几何意义可知选项B正确． 2．已知函数f (x)可导，且满足 ＝2 024，则函数y＝f(x)在x＝2 025处的导数为(　　 ) A．－2 025 B．－2 024 C．2 025 D．2 024 答案：B 解析：由题意， ＝－＝－f ′(2 025)，所以f ′(2 025)＝－2 024.故选B． 3．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　 ) A．f ′(1)<f ′(2)<a B．f ′(1)<a<f ′(2) C．f ′(2)<f ′(1)<a D．a<f ′(1)<f ′(2) 答案：B 解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，因为＝a，所以f ′(1)<a<f ′(2)．故选B． 4．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________． 答案： 解析：由导数的定义可求得y′＝ ＝2ax，所以曲线斜率k＝2ax＝1，所以x＝，y＝－1.代入y＝ax2，可解得a＝. 课时测评13　导数及其几何意义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下面说法不正确的是(　　 ) A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线 B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在 C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在 答案：ABD 解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A、B、D错误． 2．设f(x)存在导函数且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：A 解析：因为f (x)为可导函数，且满足lim＝－1，即f′′(1)＝－1，所以y＝f(x)在点(1，f (1))处的切线的斜率为f′′(1)＝－1.故选A． 3．若曲线f (x)＝x2在点P处的切线斜率等于2，则点P的坐标为(　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1) C．(1，1) D． 答案：C 解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′′(x0)＝ ＝lim ＝ lim (Δx＋2·x0)＝2x0，即2x0＝2.所以x0＝1，此时y0＝x＝12＝1.故点P的坐标为(1， 1)．故选C． 4．已知函数y＝f (x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′′(1)的值是(　　) A． B．1 C． D．2 答案：D 解析：因为(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以1－2f(1)＋1＝0，所以f(1)＝1.又f′′(1)＝，所以f(1)＋2f′′(1)＝1＋2×＝2. 5．(多选)已知函数y＝f (x)＝3x2－1的图象上一点(1，2)及该点的邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率记为f′′(1)，则下列结论正确的是(　　) A．＝2＋Δx B．＝3(2＋Δx) C．f′′(1)＝2 D．f′′(1)＝6 答案：BD 解析：＝＝3(2＋Δx)，f ′(1)＝lim ＝lim (6＋3Δx)＝6.故选BD． 6．已知函数f (x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f ′(1)，k2＝f ′(2)，k3＝f (2)－ f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为______．(请用“>”连接) 答案：k1>k3>k2 解析：结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，则k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系． 7．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝f ′(x)的图象可能是________(填序号)． 答案：② 解析：由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故②符合． 8．已知曲线y＝f (x)＝x3上一点P，则f (x)在点P处的切线的斜率为__________，在点P处的切线方程为________________． 答案：4　12x－3y－16＝0 解析：由导数的定义易得f ′(x0)＝x，所以f(x)在点P处的切线的斜率为4.所以切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 9．(10分)曲线f(x)＝x2＋x上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝3x＋1；(3分) (2)垂直于直线x－2y＋2＝0；(3分) (3)倾斜角为45°.(4分) 解：f ′(x)＝lim ＝ lim ＝2x＋1， 设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y＝3x＋1平行，所以2x0＋1＝3，所以x0＝1，y0＝2，即P(1，2)是满足条件的点． (2)因为切线与直线x－2y＋2＝0垂直， 所以(2x0＋1)·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为45°，所以其斜率为1. 即2x0＋1＝1，得x0＝0，y0＝0， 即P是满足条件的点． 10．(10分)已知曲线y＝. (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；(4分) (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．(6分) 解：(1)设过点A(1，0)的切线的切点坐标为， 因为lim ＝－， 所以该切线的斜率为－， 切线方程为y－＝－(x－a)　① 将A(1，0)代入①式，得a＝. 所以所求的切线方程为y＝－4x＋4. (2)设切点坐标为P， 由(1)知，切线的斜率为k＝－， 则－＝－，x0＝±. 那么切点为P或P′， 所以所求的切线方程为 y＝－x＋或y＝－x－. 11．(5分)(多选)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝0 B．x＝0 C．12x－y－24＝0 D．27x－y－54＝0 答案：AD 解析：因为f(x)＝x3，设切点(x0，x)．则k＝lim ＝lim[3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x，所以在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.故选AD． 12．(5分)在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为____________． 答案：3x－y－11＝0 解析：由导数的几何意义知，曲线y＝x3＋3x2＋6x－10上每一点处的切线的斜率等于函数f (x)＝x3＋3x2＋6x－10在该点处的导数，因此曲线切线的斜率k＝f ′(x0)＝lim ＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3≥3，当x0＝－1时斜率取到最小值3，此时，曲线上的点为(－1，－14)，切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0. 13．(10分)已知曲线y＝f(x)＝x2，y＝g(x)＝，过两条曲线的交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴围成的三角形的面积． 解：由得故两条曲线的交点坐标为(1，1)．两条曲线切线的斜率分别为 f ′(1)＝ ＝ ＝ ＝2， g′(1)＝ ＝ ＝ ＝－1. 所以两条切线的方程分别为y－1＝2(x－1)，y－1＝－(x－1)，即y＝2x－1与y＝－x＋2， 两条切线与x轴的交点坐标分别为，(2，0)， 所以两切线与x轴围成的三角形的面积为×1×＝. 14．(5分)(新定义)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，若f ′(x)＞0，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有＜f，则下列选项正确的是(　　 ) A．f(π)＜f(e)＜f(2) B．f ′(π)＞f ′(e)＞f ′(2) C．f ′(2)＜f(2)－f(1)＜f ′(1) D．f ′(1)＜f(2)－f(1)＜f ′(2) 答案：C 解析：因为∀x1，x2∈R(x1≠x2)，总有＜f，所以y＝f(x)的图象是向上凸起的，如图所示．所以f(2)＜f(e)＜f(π)，故A错误；因为f ′(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B错误；f(2)－f(1)＝，表示点A(1，f(1))与B(2，f(2))连线的斜率，由图可知f ′(2)<kAB＜f ′(1)，故C正确，D错误．故选C． 15．(15分)(开放题)已知曲线y＝x2＋1，则是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：由＝＝2x＋Δx， 得y′＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x. 设切点为P(x0，y0)， 则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0， 由点斜式可得所求切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)． 又因为切线过(1，a)，y0＝x＋1， 所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0， 解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是{a|a<2}． 学生用书↓第58页 学科网（北京）股份有限公司 $$