精品解析：浙江省台州市温岭中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题

2024—2025学年下学期高一3月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________． 13. 已知实数，满足，则的最大值是__________． 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． （1）求和解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）若对，都有，求实数m的取值集合． 18. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期高一3月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题的否定为. 故选：D． 3. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可. 【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，点是角的终边上的点， 所以，， 所以 故选：C 4. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解. 【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用“分段法”比较出的大小关系. 【详解】因为，，，所以. 故选：D 【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论. 【详解】因为在上单调递减，又，所以，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知函数，若图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项. 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以， 所以， 又，且，解得， 又因， 所以，解得， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以A正确； 对于B，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，因为在上单调递减，所以B正确； 对于C，定义域为，为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误； 对于D，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，当时，，因为在上单调递减， 所以D正确. 故选：ABD 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可. 【详解】由题意，作出函数的图象如图. 令，则函数，即，即，即. 由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标. 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0， 则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意. 综合以上，可知实数的取值范围为， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可. 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：1 13. 已知实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】81 【解析】 【分析】由直线与圆相切，即可求解； 【详解】由题意可知当直线与圆相切时， 取得最值，即：， 可得：， 解得：或， 所以的最大值是81， 故答案为：81 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将已知等式变，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案； （2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 等价于，解得或， 故或，， 而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由是的充分不必要条件，故为的真子集， 又， 故，解得， 故实数a的取值范围是. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【小问1详解】 依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． （1）求和解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）若对，都有，求实数m的取值集合． 【答案】（1）；； （2）在区间上单调递减，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式. （2）由函数单调性的定义法即可证明的单调性； （3）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以，且满足，即； 设，则，即， 又是定义在上的偶函数，则， 所以； 【小问2详解】 在区间上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 由可得，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. 【小问3详解】 因为是定义在上的偶函数， 且当时，，其对称轴为， 所以当时，单调递增， 对，都有，即， 由（1）可知，是定义在上的奇函数， 且时，单调递减， 所以， 所以，即或， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，实数m的取值集合为. 18. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2）14或 （3） 【解析】 【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析； （2）由（1）中的解析式得出，结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解； 【小问1详解】 设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，， 所以 依题意，所以， 当时，所以， 故； 【小问2详解】 令，即， 所以， 又，所以， 所以或，解得或， 即或时1号座舱与地面的距离为17米； 【小问3详解】 依题意，， 所以 令，解， 所以当时取得最大值， 故，解得， 所以. 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值． 【详解】（1）任意,, 因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数． （2）. 因为是“距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，，且为“2距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，，即恒成立， 所以, 得; 当时，， 得恒成立， 所以得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值 因为在R上是单调递增函数， 所以当，的最小值为；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$