第2章 圆锥曲线 测评卷(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 第二章测评卷 (时间：120分钟　满分：150分) 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 第二章测评卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　) A．(0,1) B．(1,0) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0)) 解析　抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，即p＝eq \f(1,8)，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))。 答案　C 答案与解析 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　　) A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 解析　由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2c＝6，,2a＋2b＝18，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4，,c＝3。))所以椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1。 答案　C 答案与解析 3．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q。则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 解析　连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P。故选B。 答案　B 答案与解析 4．设P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　) A．1或5 B．6 C．7 D．8 解析　双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2。又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7。 答案　C 答案与解析 5．过点M(1,1)作斜率为－eq \f(1,2)的直线与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于(　　) A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得eq \f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0。根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(2,a2)＋eq \f(2,b2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，所以a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以e＝eq \f(\r(2),2)。 答案　B 答案与解析 6．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5)。P是C上一点，且F1P⊥F2P。若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　解法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则＝eq \f(1,2)mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，所以a＝1。故选A。 解法二：由题意得＝eq \f(b2,tan 45°)＝4，即b2＝4，又eq \f(c2,a2)＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1。 答案　A 答案与解析 7．设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l。若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1 解析　解法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq \f(y,b)＝1，而eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝0和eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1。故选D。 解法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B，C。又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)， (0，b)，所以eq \f(b－0,0－1)＝－1，b＝1。故选D。 答案　D 答案与解析 8.我们把由半椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≥0)与半椭圆eq \f(y2,b2)＋eq \f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点。若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A．eq \f(\r(7),2)，1 B．eq \r(3)，1 C．5,3 D．5,4 解析　因为|OF2|＝eq \r(b2－c2)＝eq \f(1,2)，|OF0|＝c＝eq \r(3)|OF2|＝eq \f(\r(3),2)，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝1＋eq \f(3,4)＝eq \f(7,4)，得a＝eq \f(\r(7),2)。 答案　A 答案与解析 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可能为(　　) A．eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,84)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 C．eq \f(x2,84)＋eq \f(y2,100)＝1 D．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1 解析　因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9。所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1。 答案　BD 答案与解析 10.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心。设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是(　　) A．c1＝a2＋c2 B．a1＋c1>2(a2＋c2) C．e2＝2e1－1 D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 解析　由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则a1＝2a2，且|PF|＝a1－c1＝a2－c2。对于A选项，2a2－c1＝a2－c2，所以c1＝a2＋c2，A选项正确；对于B选项，因为a1＝2a2，c1＝a2＋c2>2c2，所以a1＋c1>2a2＋2c2＝2(a2＋c2)，B选项正确；对于C选项，因为c1＝a2＋c2，所以e1＝eq \f(c1,a1)＝eq \f(c2＋a2,a1)＝eq \f(c2＋a2,2a2)＝eq \f(1,2)e2＋eq \f(1,2)，即2e1＝e2＋1，所以e2＝2e1－1，C选项正确；对于D选项，因为e2＝2e1－1＝(e1－1)＋e1<e1，所以椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D选项错误。故选ABC。 答案　ABC 答案与解析 11．过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为eq \r(3)的直线l与抛物线交于P，Q两点(点P在第一象限)，以PF，QF为直径的圆分别与y轴相切于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A．抛物线C：y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0) B．|PQ|＝eq \f(32,3) C．|AB|＝eq \f(8\r(3),3) D．M为抛物线C上的动点，N(2,1)，则(|MF|＋|MN|)min＝6 解析　由题意可得抛物线的焦点F的坐标为(2,0)，所以A正确；由题意设直线PQ的方程为y＝eq \r(3)(x－2)，与抛物线方程联立整理可得3x2－20x＋12＝0，解得x＝eq \f(2,3)或x＝6，代入直线PQ的方程可得P(6,4eq \r(3))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4\r(3),3)))，所以|PQ|＝6＋eq \f(2,3)＋4＝eq \f(32,3)，所以B正确；因为P(6,4eq \r(3))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4\r(3),3)))，所以PF，QF的中点分别为(4,2eq \r(3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2\r(3),3)))，所以由题意可得A(0,2eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)))，所以|AB|＝2eq \r(3)＋eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(8\r(3),3)，所以C正确；如图，点M在抛物线上，ME垂直准线于E，可得|MF|＝|ME|，所以|MF|＋|MN|＝|ME|＋|MN|≥|NE|＝2＋2＝4，当N，M，E三点共线时，|MF|＋|MN|最小，且最小值为4，所以D不正确。 答案与解析 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________。 解析　双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，所以c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq \f(1,\r(2))x，即x±eq \r(2)y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)。 答案　(3,0)　eq \r(3) 答案与解析 13．斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________。 解析　由题意得直线方程为y＝eq \r(3)(x－1)，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，所以xA＋xB＝eq \f(10,3)，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3)。 答案　eq \f(16,3) 答案与解析 14.如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m。水位下降1 m后，水面宽为________m；已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，则A，B两点间的距离|AB|＝________。 解析　以拱顶为坐标原点建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－2，－2)代入x2＝－2py，解得p＝1，所以x2＝－2y。水位下降1 m后，设直线y＝－3与抛物线的交点为(x0，－3)，则有xeq \o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq \r(6)，所以水面宽为2eq \r(6) m。抛物线方程为x2＝－2y，焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，直线方程为y＝2x－eq \f(1,2)，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝－2y，,y＝2x－\f(1,2)，))得4y2＋36y＋1＝0，有y1＋y2＝－9，因为焦点在y轴负半轴，由焦点弦公式得|AB|＝－(y1＋y2)＋p＝10。 答案　2eq \r(6)　10 答案与解析 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分)命题p：方程eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m－6)＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程eq \f(x2,m＋1)＋eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线。 (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求m的取值范围。 解　(1)根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－6<0，,2m>0，,－m－6>2m，)) 解得0<m<2， 故命题p为真命题时，m的取值范围为(0,2)。 (2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)<0，解得－1<m<1， 故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)。 16．(本小题满分15分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E。 (1)求动点C的轨迹方程； (2)已知直线l2交轨迹E于P，Q两点，且PQ中点的纵坐标为2 ，则|PQ|的最大值为多少？ 解　(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，知点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线， 所以所求轨迹的方程为x2＝4y。 (2)由题意易知直线l2的斜率存在， 又抛物线方程为x2＝4y， 当直线l2的斜率为0时，|PQ|＝4eq \r(2)。 当直线l2的斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则有xeq \o\al(2,1)＝4y1，xeq \o\al(2,2)＝4y2，两式作差得xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2)＝4(y1－y2)， 即得k＝eq \f(x1＋x2,4)＝eq \f(t,2)，则直线l2的方程为y－2＝eq \f(t,2)(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0。 Δ>0⇒－2eq \r(2)<t<2eq \r(2)。 由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8。 |PQ|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(t2,4)))[4t2－42t2－8]) ＝eq \r(8－t24＋t2)≤6， 当且仅当8－t2＝4＋t2，即t＝±eq \r(2)时，等号成立。 即|PQ|的最大值为6。 17. (本小题满分15分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，焦距为2。 (1)求椭圆C的方程； (2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，椭圆C上存在点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，求四边形OAPB的面积。 解　(1)由题意知c＝1，a＝2，则b＝eq \r(3)， 故椭圆C的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，设直线l：y＝kx＋m。由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，)) 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 故Δ＝48(4k2＋3－m2)>0 且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－8km,3＋4k2)，,x1x2＝\f(4m2－12,3＋4k2)。)) 由eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝x1＋x2，,y0＝y1＋y2，)) 且点P在椭圆C上，四边形OAPB为平行四边形，所以eq \f(x1＋x22,4)＋eq \f(y1＋y22,3)＝1， 其中x1＋x2＝eq \f(－8km,3＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(6m,3＋4k2)， 代入eq \f(x1＋x22,4)＋eq \f(y1＋y22,3)＝1，化简可得4m2＝3＋4k2。 |AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(\r(1＋k2)4\r(3)\r(3＋4k2－m2),3＋4k2)， 坐标原点到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))。 所以四边形OAPB的面积S＝|AB|d＝eq \f(4\r(3)\r(3＋4k2－m2)·|m|,3＋4k2)＝eq \f(12m2,4m2)＝3。 18．(本小题满分17分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点A(－2，－1)，且a＝2b。 (1)求椭圆C的方程； (2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq \f(|PB|,|BQ|)的值。 解　(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1， 又因为椭圆过点A(－2，－1)， 所以有eq \f(4,4b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝2，a2＝8，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1。 (2)由题意知直线MN的斜率存在。 当直线MN的斜率为0时， 不妨设M(－2eq \r(2)，0)，N(2eq \r(2)，0)， 则直线MA：y＝eq \f(－1,－2＋2\r(2))(x＋2eq \r(2))， 直线NA：y＝eq \f(－1,－2－2\r(2))(x－2eq \r(2))， 则yp＝eq \r(2)，yQ＝－eq \r(2)，eq \f(|PB|,|BQ|)＝1。 当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)， 与椭圆方程eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1联立， 化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0， Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0， 解得m2>4。 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1y2＝eq \f(8,m2＋4)，y1＋y2＝eq \f(8m,m2＋4)。 直线MA的方程为y＋1＝eq \f(y1＋1,x1＋2)(x＋2)， 则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(－2y1＋1,x1＋2)－1))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(－m＋2y1,my1－2)))。 直线NA的方程为y＋1＝eq \f(y2＋1,x2＋2)(x＋2)，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(－2y2＋1,x2＋2)－1))， 即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(－m＋2y2,my2－2)))。 所以eq \f(|PB|,|BQ|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2y1,my1－2))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(my2－2,m＋2y2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(my1y2－2y1,my1y2－2y2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(8m,m2＋4)－2y1,\f(8m,m2＋4)－2y2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2－2y1,y1＋y2－2y2)))＝1。 综上，eq \f(|PB|,|BQ|)＝1。 19．(本小题满分17分) 如图,小明同学先把一根直尺固定在画板上面,把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿,再取一根细绳,它的长度与另一直角边相等,让细绳的一端固定在三角板的顶点A处,另一端固定在画板上的点F处,用铅笔尖扣紧绳子(使两段细绳绷直),靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象。已知细绳长度为3,经测量,当笔尖运动到点P处,此时,∠FAP=30°,∠AFP=90°。设直尺边沿所在直线为a,以过点F且垂直于直尺的直线为x轴,以过点F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系。 (1)求曲线C的方程; (2)斜率为k的直线l过点D(0,-3),且与曲线C交于不同的两点M,N,已知k的取值范围为(0,2),探究:是否存在λ,使得=λ,若存在,求出λ的范围,若不存在,说明理由。 解　(1) 根据题意建立平面直角坐标系,如图①。依题意,笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等,因此笔尖留下的轨迹为以F为焦点,a为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则F,由∠FAP=30°,∠AFP=90°,|PF|+|PA|=3,得|PA|=2|PF|,|PF|=1, 由∠FPA=60°,得点P的横坐标为-,而抛物线的准线方程为x=-,则-+=1,解得p=,所以轨迹C的方程为y2=3x。 (2) 假设存在λ,使得=λ,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=kx-3, 由消去y,得k2x2-(6k+3)x+9=0,而k∈(0,2),Δ=(6k+3)2-36k2=36k+9>0,x1+x2=,x1x2=,++2===++4,由=λ得x1=λx2,即λ=,于是λ+=++2,令t=∈,++2=t2+4t+2=(t+2)2-2∈,因此λ+>,又λ>0,即λ2-λ+1>0,解得0<λ<或λ>4,所以存在λ∈∪(4,+∞),使得=λ成立。 $$