课时达标检测(25) 直线的方向向量与平面的法向量(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 解析　问题即求与n共线的向量。因为(－2,3，－1)＝－(2，－3,1)＝－n，所以D项符合题意。 答案　D 答案与解析 5．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1,1,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) 解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0，－1,1)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))·n＝－y＋z＝0，,\o(BC,\s\up16(→))·n＝－x＋y＝0，))所以x＝y＝z，又因为单位向量的模为1，故只有B正确。 答案　B 答案与解析 6．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　易求得平面ABC的一个法向量u＝(0,0,1)，而eq \o(AD,\s\up16(→))＝(1,1，x)，所以当AD⊂平面ABC时，eq \o(AD,\s\up16(→))·u＝0。所以1×0＋1×0＋x＝0。所以x＝0。 答案　B 答案与解析 二、多项选择题 7．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，－1，－4)，eq \o(AD,\s\up16(→))＝(4,2,0)，eq \o(AP,\s\up16(→))＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．eq \o(AP,\s\up16(→))是平面ABCD的一个法向量 D．eq \o(AP,\s\up16(→))∥eq \o(BD,\s\up16(→)) 解析　因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AP,\s\up16(→))＝0，eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AP,\s\up16(→))＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；又eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))不平行，所以eq \o(AP,\s\up16(→))是平面ABCD的一个法向量，则C正确；由于eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2,3,4)，eq \o(AP,\s\up16(→))＝(－1,2，－1)，所以eq \o(BD,\s\up16(→))与eq \o(AP,\s\up16(→))不平行，故D错误。 答案　ABC 答案与解析 8．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6)，\f(1,3)))，则下列四个点中在平面α内的是(　　) A．P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(7,2))) B．P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2))) C．P3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D．P4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2))) 解析　由点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(7,2)))，eq \o(P1A,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(3,2)))，得eq \o(P1A,\s\up16(→))·n＝0；由点P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2))) ，eq \o(P2A,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))，得eq \o(P2A,\s\up16(→))·n＝0；同理可得eq \o(P3A,\s\up16(→))·n≠0，eq \o(P4A,\s\up16(→))·n≠0。故选AB。 答案　AB 答案与解析 三、填空题 9．已知直线l1的一个方向向量为(－5,3,2)，另一个方向向量为(x，y,8)，则x＝________，y＝________。 解析　因为直线的方向向量平行，所以eq \f(x,－5)＝eq \f(y,3)＝eq \f(8,2)，所以x＝－20，y＝12。 答案　－20　12 答案与解析 10.棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为______。 解析　由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以eq \o(DB1,\s\up16(→))＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1)。 答案　(1,1,1)(答案不唯一) 答案与解析 11．已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上，存在一点E，使得eq \o(OE,\s\up16(→))⊥b(O为原点)，则E点的坐标为________。 解析　eq \o(OE,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋teq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，因eq \o(OE,\s\up16(→))⊥b，则eq \o(OE,\s\up16(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0。解得t＝eq \f(9,5)，因此存在点E，使得eq \o(OE,\s\up16(→))⊥b，此时E点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))。 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))) 答案与解析 四、解答题 12.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设eq \o(BC,\s\up16(→))＝a，eq \o(BD,\s\up16(→))＝b，eq \o(BA,\s\up16(→))＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线EF的一个方向向量。 解　eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)))－eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c。 故直线EF的一个方向向量为eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c。 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量。 解　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。 则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))。 由此得eq \o(GE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \o(FE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))。 设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)。 由n⊥eq \o(GE,\s\up16(→))，n⊥eq \o(FE,\s\up16(→))可得， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(GE,\s\up16(→))＝\f(1,2)y－\f(1,2)z＝0，,n·\o(FE,\s\up16(→))＝\f(1,2)x－\f(1,2)y＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(z＝y，,x＝y。)) 令y＝1，则x＝1，z＝1， 即平面GEF的一个法向量为n＝(1,1,1)。 　素养升级　 14．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________。 解析　由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1,1,1)，因为P∈α，所以eq \o(OA,\s\up16(→))⊥eq \o(AP,\s\up16(→))，又eq \o(AP,\s\up16(→))＝(x－1，y－1，z－1)，所以(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3。 答案　x＋y＋z＝3 答案与解析 15．已知A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)。 (1)求平面ABC的一个法向量； (2)证明：向量a＝(3，－4,1)与平面ABC平行。 解　(1)因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，－1,3)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，－3,2)。 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up16(→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝y，,z＝y，))令y＝1，则x＝1，z＝1， 所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)。 (2)证法一：若存在实数m，n使a＝m·eq \o(AB,\s\up16(→))＋n·eq \o(AC,\s\up16(→))， 即(3，－4,1)＝m(－2，－1,3)＋n(1，－3,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2m＋n＝3，,－m－3n＝－4，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(5,7)，,n＝\f(11,7)。)) 所以a＝－eq \f(5,7) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(11,7) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以向量a与平面ABC平行。 证法二：因为a·n＝(3，－4,1)·(1,1,1)＝3－4＋1＝0， 所以a⊥n，所以向量a与平面ABC平行。 $$