课时达标检测(16) 抛物线及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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解析　因为点(－2,3)在第二象限，所以设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)。又点(－2,3)在抛物线上，所以9＝4p，p＝eq \f(9,4)或4＝6p′，p′＝eq \f(2,3)，从而所求抛物线方程为y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y。故选D。 答案　D 答案与解析 5．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析　因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))。 设M(x，y)，由抛物线的定义，知|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，得x＝5－eq \f(p,2)。因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心的横坐标为eq \f(5,2)。由已知，得圆的半径也为eq \f(5,2)，所以该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M(5－eq \f(p,2)，4)，代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，解得 p＝2或p＝8。所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x。故选C。 答案　C 答案与解析 6．已知M是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°(O为坐标原点)，△FMN的周长为12，则|NF|＝(　　) A．4 B．eq \r(17) C．3eq \r(2) D．5 解析　因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°。又M是抛物线C上一点，所以|FM|＝|MN|，则△FMN是等边三角形。又△FMN的周长为12，所以|NF|＝eq \f(12,3)＝4。故选A。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故eq \f(p,2)＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y，将点P的坐标代入x2＝－8y，得m2＝－8×(－2)，解得m＝±4。 答案　AD 答案与解析 8．对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线方程为y2＝10x的是(　　) A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以C不满足；由于抛物线 y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，设过该焦点的直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，当由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，k＝－2，此时满足条件的直线存在，所以D满足。故选BD。 答案　BD 答案与解析 三、填空题 9．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________。 解析　抛物线方程化为y2＝－eq \f(7,4)x，所以抛物线开口向左，2p＝eq \f(7,4)，eq \f(p,2)＝eq \f(7,16)，故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,16)，0))。 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,16)，0)) 答案与解析 10．以椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________________。 解析　由eq \f(x2,3)＋y2＝1得右焦点为(eq \r(2)，0)，所以抛物线的标准方程为 y2＝4eq \r(2)x。 答案　y2＝4eq \r(2)x 答案与解析 11．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是___________。 解析　若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x＝－2的距离相等，其轨迹是除去顶点的抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴。 答案　y2＝8x(x>0)或y＝0(x<0) 答案与解析 四、解答题 12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线和双曲线的方程。 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，根据点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在抛物线上可得(eq \r(6))2＝2p·eq \f(3,2)，解得p＝2。 故所求抛物线方程为y2＝4x， 抛物线的准线方程为x＝－1。 因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点，所以c＝1，即a2＋b2＝1。 故双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,1－a2)＝1。 因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，所以eq \f(9,4a2)－eq \f(6,1－a2)＝1，解得a2＝eq \f(1,4)或a2＝9(舍去)。 所以b2＝eq \f(3,4)，故所求双曲线的方程为4x2－eq \f(4,3)y2＝1。 13.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M。 (1)求抛物线的方程； (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。 解　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x。 (2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)。 又F(1,0)，所以kAF＝eq \f(4,3)，则直线FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)。 因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq \f(3,4)，则直线MN的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋2。 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)x－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5)))。 　素养升级　 14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝eq \r(2)|PF|，则△PMF的面积为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　如图所示，易得F(2,0)，过点P作PN⊥l，垂足为N。因为|PM|＝eq \r(2)|PF|，|PF|＝|PN|，所以|PM|＝eq \r(2)|PN|。所以|MN|＝|PN|。设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,8)，t))则|t|＝eq \f(t2,8)＋2，解得t＝±4，所以△PMF的面积为eq \f(1,2)·|t|·|MF|＝eq \f(1,2)×4×4＝8。 答案　B 答案与解析 15.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km。已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电。 (1)试建立适当的直角坐标系，求公路PQ所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度。 解　(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2，4)。因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线。设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y。 (2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|值最小。如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值时，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))。变电房M建在A地正南方向且与A地相距eq \f(7,2) km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km。 $$