课时达标检测(15) 双曲线的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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\f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1 C．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1 D．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 解析　因为双曲线一个顶点的坐标为(0,2)，所以a＝2，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,b2)＝1。根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝\r(2)c，,a2＋b2＝c2，,a＝2，))解得b＝2，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1。故选B。 答案　B 答案与解析 5．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A．eq \f(\r(7),3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,3) 解析　由题意知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，则e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，所以e＝eq \f(5,3)。故选D。 答案　D 答案与解析 6．如果椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，那么双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为(　　) A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(5,4) C．eq \r(2) D．2 解析　由椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，得eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以a2＝4b2。所以在双曲线中，e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5b2,4b2)＝eq \f(5,4)。所以双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2)。故选A。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程可能为(　　) A．eq \f(x2,3)－y2＝1 B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 C．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1 D．eq \f(y2,21)－eq \f(x2,7)＝1 解析　依题意，知渐近线与x轴的夹角为30°或60°，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x或y＝±eq \r(3)x，根据选项检验可知ABD均可能。 答案　ABD 答案与解析 8．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上的点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为eq \r(2) 解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确。由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误。点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确。由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确。故选ACD。 答案　ACD 答案与解析 三、填空题 9．已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________。 解析　由题意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝2。 答案　2 答案与解析 10．设双曲线C经过点(2,2)，且与eq \f(y2,4)－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________________，渐近线方程为________________。 解析　设双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2＝λ。将点(2,2)的坐标代入，得λ＝－3，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1。令eq \f(y2,4)－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为 y＝±2x。 答案　eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1　y＝±2x 答案与解析 11．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________。 解析　如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝eq \f(3,2)＋2＝eq \f(7,2)。 答案　eq \f(7,2) 答案与解析 四、解答题 12．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为e＝eq \f(5,3)； (2)经过点C(－eq \r(3)，eq \r(2))，且与双曲线eq \f(x2,8)－eq \f(y2,16)＝1有共同的渐近线。 解　(1)设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则2b＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，从而b＝4，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1。 (2)由题意可设所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，将点C(－eq \r(3)，eq \r(2))的坐标代入，得eq \f(3,8)－eq \f(2,16)＝λ，解得λ＝eq \f(1,4)， 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1。 13．已知点A(－eq \r(3)，0)和B(eq \r(3)，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2。 (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D，E两点，求线段DE的长。 解　(1)因为点A(－eq \r(3)，0)和B(eq \r(3)，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，|AB|＝2eq \r(3)>2。 所以点C的轨迹方程是以A(－eq \r(3)，0)和B(eq \r(3)，0)为焦点的双曲线，且a＝1，c＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)， 所以点C的轨迹方程是x2－eq \f(y2,2)＝1。 (2)因为点C的轨迹方程是2x2－y2＝2，经过点(2,0)且斜率为1的直线的方程为 y＝x－2。 所以联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2－y2＝2，,y＝x－2，))得x2＋4x－6＝0， 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6， 所以|DE|＝eq \r(1＋1×[－42－4×－6])＝4eq \r(5)。 故线段DE的长为4eq \r(5)。 14．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率。 解　直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 即bx＋ay－ab＝0。 于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c， 所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4。 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3)。 又b>a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2，则e＝2。 于是双曲线的离心率为2。 　素养升级　 15.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔。作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分。若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为(　　) A．eq \f(6,5) B．eq \f(5,4) C．eq \f(3,2) D．eq \f(5,2) 解析　设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4<|OA|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2)。 答案　D 答案与解析 16．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于不同的两点A，B。 (1)求双曲线C的离心率e的取值范围。 (2)设直线l与y轴的交点为P，且eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(5,12) eq \o(PB,\s\up16(→))，求实数a的值。 解　(1)由C与l相交于不同的两点， 知方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有两组不同的实数解， 消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0，)) 解得0<a<eq \r(2)且a≠1。 双曲线C的离心率e＝eq \f(\r(1＋a2),a)＝eq \r(\f(1,a2)＋1)。 因为0<a<eq \r(2)且a≠1，所以e>eq \f(\r(6),2)且e≠eq \r(2)， 即离心率e的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq \r(2)，＋∞)。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)。 因为eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(5,12) eq \o(PB,\s\up16(→))， 所以(x1，y1－1)＝eq \f(5,12)(x2，y2－1)，所以x1＝eq \f(5,12)x2。 因为x1，x2都是(1)中方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的根，且1－a2≠0， 所以x1＋x2＝eq \f(17,12)x2＝－eq \f(2a2,1－a2)， x1x2＝eq \f(5,12)xeq \o\al(2,2)＝－eq \f(2a2,1－a2)， 消去x2，得－eq \f(2a2,1－a2)＝eq \f(289,60)， 因为a>0，所以a＝eq \f(17,13)。 $$