课时达标检测(13) 椭圆的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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解析　由题意得c＝2eq \r(5)，a＋b＝10，所以b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得a2＝36，b2＝16，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1。 答案　A 答案与解析 4．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　) A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 解析　由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1。故选D。 答案　D 答案与解析 5．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋x2＝1(a>1)的离心率e＝eq \f(2\r(5),5)，P为椭圆上的一个动点，若定点 B(－1,0)，则|PB|的最大值为(　　) A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．3 解析　由题意可得，e2＝eq \f(a2－1,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2，据此可得a2＝5，椭圆方程为eq \f(y2,5)＋x2＝1，设椭圆上点的坐标为P(x0，y0)，则yeq \o\al(2,0)＝5(1－xeq \o\al(2,0))，故|PB|＝eq \r(x0＋12＋y\o\al(2,0))＝eq \r(x0＋12＋51－x\o\al(2,0))＝eq \r(－4x\o\al(2,0)＋2x0＋6)，当x0＝eq \f(1,4)时，|PB|取得最大值eq \f(5,2)。故选C。 答案　C 答案与解析 6．已知点P(2,1)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，点M(a，b)为平面上一点，O为坐标原点，则当|OM|取最小值时，椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析　点P(2,1)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，可得eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，M(a，b)为平面上一点，O为坐标原点，则|OM|＝eq \r(a2＋b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(1,b2))))＝eq \r(5＋\f(4b2,a2)＋\f(a2,b2))≥eq \r(5＋2\r(\f(4b2,a2)·\f(a2,b2)))＝3，当且仅当a2＝2b2时，等号成立，此时由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝2b2，))解得a2＝6，b2＝3。所以e＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)。故选C。 答案　C 答案与解析 二、多项选择题 7．已知椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，则k的值可能是(　　) A．－4 B．4 C．－eq \f(5,4) D．eq \f(5,4) 解析　①当焦点在x轴上，即当k＋8>9，即k>1时，由椭圆的标准方程得a＝eq \r(k＋8)，b＝3，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(k－1)，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(k－1),\r(k＋8))＝eq \f(1,2)，解得k＝4。②当焦点在y轴上，即当0<k＋8<9，即－8<k<1时，由椭圆的标准方程得b＝eq \r(k＋8)，a＝3，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(1－k)，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(1－k),3)＝eq \f(1,2)，解得k＝－eq \f(5,4)。故选BC。 答案　BC 答案与解析 8．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R) 解析　因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图形可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))(*)所以a－c＝m＋R，故A正确；所以a＋c＝n＋R，故B正确；(*)两式相加得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c，))两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝eq \r(m＋Rn＋R)，故D正确。故选ABD。 答案　ABD 答案与解析 三、填空题 9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)。过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________________。 解析　设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由e＝eq \f(\r(2),2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)。由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋eq \a\vs4\al(|BF2|))＝4a＝16，故a＝4，所以b2＝8，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1。 答案　eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 答案与解析 10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤eq \f(\r(3),2)，则长轴长的取值范围为________。 解析　因为b＝1，所以c2＝a2－1。又eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－1,a2)＝1－eq \f(1,a2)≤eq \f(3,4)。所以eq \f(1,a2)≥eq \f(1,4)，即a2≤4。又a2－1>0，所以a2>1，故1<a≤2,2<2a≤4。 答案　(2,4] 答案与解析 11．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点，且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为eq \r(3)，则椭圆C的方程为________。 解析　因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点，所以有tan 60°＝eq \f(b,c)⇒b＝eq \r(3)c。又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为eq \r(3)，所以有a－c＝eq \r(3)，而a2＝b2＋c2，三个等式联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)c，,a－c＝\r(3)，,a2＝b2＋c2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,b＝3，))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1。 答案　eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 答案与解析 四、解答题 12．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程。 解　(1)因为c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，所以所求椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)。 设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)。 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，c＝eq \r(5)，所以a＝5，b2＝a2－c2＝20， 所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1。 (2)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 因为2c＝8，所以c＝4， 又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20。 所以椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1。 13．在①离心率e＝eq \f(1,2)，②椭圆C过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，③P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为eq \r(3)，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解答下列问题。 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2eq \r(3)，________，求椭圆C的方程。 解　选①，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1。 选②，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>b>0，,2b＝2\r(3)，,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1。 选③，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(1,2)×2c×b＝\r(3)，,)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1。 　素养升级　 14．如图，把椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝4的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝________。 解析　根据题意，把椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝4的长轴AB分成8等份，设另一焦点为F2，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，|P1F|＋|P7F|＝|P7F2|＋|P7F|＝2a，同理，其余两对的和也是2a。又|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a＝28。 答案　28 答案与解析 15．设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq \f(\r(5),10)。 (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB。 解　(1)由题设条件知，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))， 又kOM＝eq \f(\r(5),10)，所以eq \f(b,2a)＝eq \f(\r(5),10)。所以a＝eq \r(5)b，c＝eq \r(a2－b2)＝2b，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5)。 (2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，可得eq \o(NM,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(5b,6)))。 又eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－a，b)， 从而有eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(NM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,6)a2＋eq \f(5,6)b2＝eq \f(1,6)(5b2－a2)， 由(1)的计算结果可知a2＝5b2， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(NM,\s\up16(→))＝0，故MN⊥AB。 $$