课时达标检测(12) 椭圆及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十二) 椭圆及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 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5．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，则 △F1PF2的面积为(　　) A．9 B．12 C．10 D．8 解析　因为eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，所以PF1⊥PF2。所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且eq \a\vs4\al(|PF1|)＋|PF2|＝2a。又a＝5，b＝3，所以c＝4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝64　①，,|PF1|＋|PF2|＝10　②。)) ②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|·eq \a\vs4\al(|PF2|)＝18，所以△F1PF2的面积为S＝eq \a\vs4\al(\f(1,2)·)|PF1|·|PF2|＝9。故选A。 答案　A 答案与解析 6．已知P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝64，因为|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝60°。故选A。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,8)＝1的焦距为4，则m的值可能是(　　) A．12 B．10 C．6 D．4 解析　因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。故选AD。 答案　AD 答案与解析 8．对于曲线C：eq \f(x2,4－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1，下面四个说法中正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 解析　A项，当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；B项，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；C项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－k>0，,k－1>0，,k－1>4－k，))解得2.5<k<4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确；D项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－1>0，,4－k>0，,4－k>k－1，))解得1<k<2.5，所以D正确。故选CD。 答案　CD 答案与解析 三、填空题 9．过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程为________________。 解析　椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，±4)，设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则有a2－b2＝16　①，再代入点(eq \r(3)，－eq \r(5))，得eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1　②，由①②解得a2＝20，b2＝4。则所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1。 答案　eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 答案与解析 10．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上。若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________。 解析　由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2。在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝－eq \f(1,2)。故∠F1PF2＝120°。 答案　2　120° 答案与解析 11．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \o(PF1,\s\up16(→))⊥eq \o(PF2,\s\up16(→))。若△PF1F2的面积为9，则b＝________。 解析　因为F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \o(PF1,\s\up16(→))⊥eq \o(PF2,\s\up16(→))，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，所以36＝4(a2－c2)＝4b2，所以b＝3。 答案　3 答案与解析 四、解答题 12．求符合下列条件的椭圆的标准方程。 (1)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))； (2)过点(－3,2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点。 解　(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)。 因为椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＋n·\r(3)2＝1，,m·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＋n·12＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,9)。)) 所以所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,9)＝1。 (2)由题意得椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5。所以设所求椭圆方程为eq \f(x2,a′2)＋eq \f(y2,a′2－5)＝1。因为点(－3,2)在所求椭圆上，所以eq \f(9,a′2)＋eq \f(4,a′2－5)＝1。所以a′2＝15或a′2＝3(舍去)。所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1。 13．已知椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段PD的中点，求点E的轨迹方程。 解　设点E的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，点D的坐标为(x0,0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝\f(y0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝2y。)) 因为点P(x0，y0)在椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1上， 所以x2＋eq \f(2y2,4)＝1，即x2＋y2＝1。 所以点E的轨迹方程是x2＋y2＝1。 　素养升级　 14．化简方程eq \r(x－42＋y2)＋eq \r(x＋42＋y2)＝10的结果是(　　) A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,5)＝1 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1 解析　由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1。 答案　C 答案与解析 15．设P(x，y)是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由。 解　因为点P在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上， 所以y2＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25)))＝16×eq \f(25－x2,25)。　① 因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5， 所以kPA＝eq \f(y,x＋5)，kPB＝eq \f(y,x－5)， 所以kPA·kPB＝eq \f(y,x＋5)·eq \f(y,x－5)＝eq \f(y2,x2－25)。　② 把①代入②，得kPA·kPB＝eq \f(16×\f(25－x2,25),x2－25)＝－eq \f(16,25)。 所以kPA·kPB为定值，这个定值是－eq \f(16,25)。 16.船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子的两端系在桅杆的顶端，并按如图所示的方式绷紧。假设绳子位于两根桅杆所在平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离。(eq \r(6)≈2.45) 解　以两根桅杆的顶端A，C所在的直线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)。因为|AP|＋|PC|＝30，|AC|＝15，且|AP|＋|PC|>|AC|，所以点P在以A，C为焦点的椭圆上，此椭圆的方程为eq \f(x2,225)＋eq \f(4y2,675)＝1。因为点P的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P(－5eq \r(6)，－7.5)，所以点P到桅杆AB的距离为5eq \r(6)－7.5≈4.75(m)。 $$