课时达标检测(10) 直线与圆的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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解析　由圆的一般方程可得圆心为M(－1,2)。由圆的性质易知M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0。 答案　A 答案与解析 4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－eq \f(5,3)或eq \f(5,3) B．－eq \f(3,5)或eq \f(3,2) C．－eq \f(2,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4) 解析　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0。又因为反射光线与圆相切，所以eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)。 答案　D 答案与解析 5．若点(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，则直线ax＋by＝r2与圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 解析　由题意，得a2＋b2>r2，从而圆心(0,0)到直线的距离为d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))∈(0，r)，所以直线与圆相交但不过圆心。 答案　C 答案与解析 6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)] 解析　设圆心到直线AB的距离d＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)。点P到直线AB的距离为d′。易知d－r≤d′≤d＋r，即eq \r(2)≤d′≤3eq \r(2)。又|AB|＝2eq \r(2)，所以S△ABP＝eq \f(1,2)·|AB|·d′＝eq \r(2)d′，所以2≤S△ABP≤6。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为(　　) 解析　由题意，可得a2>0，直线y＝ax＋a2显然过点(0，a2)，故ABD均不可能。 答案　ABD 答案与解析 8．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．x＋y＝4 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2。可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝±1；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则eq \f(|2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)。综上所述，所求直线方程可能为y＝±x或x＋y－4＝0。 答案　ABD 答案与解析 三、填空题 9．过点P(3,5)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线，则切线长为________。 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝4，得到圆心A坐标(1,1)，半径r＝|AB|＝2，又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|＝eq \r(3－12＋5－12)＝2eq \r(5)，由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，根据勾股定理得|PB|＝eq \r(|AP|2－|AB|2)＝eq \r(2\r(5)2－22)＝4，则切线长为4。 答案　4 答案与解析 10．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶距离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m。 解析　以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的铅垂线为纵轴，建立直角坐标系，如图所示。由题意可知，设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(其中r为圆的半径)，因为拱顶距离水面2 m时，水面宽12 m，所以设A(6，－2)，代入圆的方程中，得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1 m后，设A′(x0，－3)(x0>6)代入圆的方程中，得x0＝eq \r(51)，所以此时水面宽2eq \r(51) m。 答案　2eq \r(51) 答案与解析 11．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________________。 解析　令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)。因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝eq \f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2。 答案　(x＋1)2＋y2＝2 答案与解析 四、解答题 12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2eq \r(7)，求此圆的方程。 解　因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2。 又因为直线y＝x截圆得弦长为2eq \r(7)， 则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3b－b|,\r(2))))2＋(eq \r(7))2＝9b2， 解得b＝±1，故所求圆的方程为 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9。 13．已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上。 (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值。 解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r＝2，)) 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。 (2)根据题意画出示意图，并连接PM，由题意知，四边形PAMB的面积为 S＝S△PAM＋S△PBM＝eq \f(1,2)(|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|)。 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|。 而|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4， 即S＝2eq \r(|PM|2－4)。 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P， 使得|PM|的值最小。 所以(|PM|)min＝eq \f(|3＋4＋8|,\r(32＋42))＝3， 所以四边形PAMB面积的最小值为 S＝2eq \r(|PM|\o\al(2,min)－4)＝2eq \r(5)。 　素养升级　 14.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒(精确到0.1)。 解析　以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10,10－t)，可得出直线PQ的方程y－10＋t＝eq \f(20－2.5t,20)(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2.5t－20,2)－t＋10)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－2.5t,20)))2))≤1，整理得3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq \f(8\r(7)－8,3)，而eq \f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒。 答案　4.4 答案与解析 15.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)。规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上所有的点到点O的距离均不小于圆O的半径。已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)。 (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由。 解　设BD与圆O交于M，连接AM， 由AB为圆O的直径，可得AM⊥BM， 即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8， 以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系(图略)， 则A(0，－6)，B(－8，－12)，D(－8,0)。 (1)设点P(x1,0)，由PB⊥AB， 则kBP·kAB＝－1， 即eq \f(0－－12,x1－－8)·eq \f(－6－－12,0－－8)＝－1， 解得x1＝－17。 所以P(－17,0)， |PB|＝eq \r(－17＋82＋0＋122)＝15。 故道路PB长为15百米。 (2)当QA⊥AB时，QA上所有的点到圆心O的距离不小于圆的半径， 设此时Q(x2,0)，则kQA·kAB＝－1， 即eq \f(0－－6,x2－0)·eq \f(－6－－12,0－－8)＝－1， 解得x2＝－eq \f(9,2)，所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，0))。 由－17<－8<－eq \f(9,2)，知在此范围内，不能满足PB，QA上所有的点到O的距离不小于圆的半径， 所以P，Q中不能有点选在D处。 $$