1.2.3 直线与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系，通过几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）实现判断，衔接直线与圆的方程知识，为解析几何学习搭建关键支架。 该资料以“大漠孤烟直，长河落日圆”诗句情境引入，培养直观想象，通过一题多解（如几何法与代数法判断位置关系）发展数学运算与逻辑推理，母题探究（切线、弦长问题）强化模型观念。课中助力教师引导学生深度探究，课后分层练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.3　直线与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（直观想象、数学运算）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想（直观想象、数学运算）. 　　“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片. 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？ （2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与圆的位置关系 已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）和圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　2　个 　1　个 　0　个 判断方法 几何法：设圆心C（a，b）到直线l的距离为d＝　　（A，B不全为0） d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【想一想】 1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 提示：一定. 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 3.当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？ 提示：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有（）2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　×　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（　√　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　√　） （4）过圆外一点的直线与圆相离.（　×　） 2.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为（　　） A.0或2 B.2 C. D.无解 解析：B　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2. 3.（2025·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，2] B.（1，2] C.（0，2） D.（1，2） 解析：C　由题意得圆心到直线的距离为d＝＞，∴m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C. 4.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于　4　. 解析：圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25.故圆心为（3，4），半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4. 题型一　直线与圆的位置关系 〔一题多解〕直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0（a∈R）与圆（x＋1）2＋y2＝25的位置关系是（　　） A.相离　　 B.相切　　 C.相交　　 D.不能确定 解析：C　法一（代数法）　联立直线与圆的方程，消去y并整理得（a2－2a＋2）x2＋2a（2a－1）x＋（2a＋1）2－24＝0，则Δ＝[2a（2a－1）]2－4（a2－2a＋2）[（2a＋1）2－24]＝8（12a2－27a＋23）.由于（－27）2－4×12×23＜0，则12a2－27a＋23＞0，即Δ＞0，故直线与圆相交. 法二（几何法）　圆（x＋1）2＋y2＝25的圆心的坐标为（－1，0），半径r＝5.圆心到直线的距离d＝＝.而d2－r2＝（）2－52＝－2×，由a2－2a＋2＞0与12a2－27a＋23＞0知d2－r2＜0，即d＜r，故直线与圆相交. 法三　将直线方程化为（x＋2）a－（x＋y－1）＝0，由得即直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0过定点（－2，3）.又（－2＋1）2＋32＝10＜25，所以定点（－2，3）在圆（x＋1）2＋y2＝25的内部，故直线与圆相交. 通性通法 判断直线与圆的位置关系的方法 （1）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； （2）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. 特别地当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切. 1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 解析：C　直线x－ky＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）在圆上，故直线与圆相切或相交. 2.已知点（a，b）在圆C：x2＋y2＝r2（r≠0）的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是（　　） A.相切　 　B.相离 C.相交　 　D.不确定 解析：C　由题意知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交. 题型二　切线问题 （2026·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程. 解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2）， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝. 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1， 故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0， 所以切线方程为y＝－2. 2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 解：由题知，设切线长为d， d＝ ＝＝7. 通性通法 1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的两种方法 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长（最值）问题转化为圆心到直线的距离问题. 1.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：C　由题意易知圆心C（－1，2），半径长r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4. 2.切线的倾斜角为135°，且与圆O：x2＋y2＝25相切，则其切线方程为　x＋y＋5＝0或x＋y－5＝0　. 解析：由于切线倾斜角为135°，则切线的斜率为－1，设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－25＝0，∵直线与圆相切，∴Δ＝（－2b）2－4×2（b2－25）＝0，解得b＝±5，所求切线方程为x＋y－5＝0或x＋y＋5＝0. 题型三　弦长问题 〔一题多解〕求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 解：法一　圆C：x2＋y2－2y－4＝0，可化为x2＋（y－1）2＝5， 其圆心坐标为（0，1），半径r＝. 点（0，1）到直线l的距离为d＝＝， 所以截得的弦长为2＝. 法二　设直线l与圆C交于A，B两点. 由得交点A（1，3），B（2，0）， 所以弦AB的长为｜AB｜＝＝. 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例改为“过点（2，0）的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为”，求该直线方程. 解：由例题知，圆心C（0，1），半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离d＝＝＝. 又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x－2）， 所以d＝＝， 解得k＝－3或k＝， 所以直线方程为y＝－3（x－2）或y＝（x－2）， 即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0. 通性通法 求弦长常用的3种方法 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题； （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点为（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝. 1.若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为　0或4　. 解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0. 2.过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为　2　. 解析：设点A（3，1），易知圆心C（2，2），半径r＝2.易知点A在圆内，当弦过点A（3，1）且与CA垂直时为最短弦，｜CA｜＝＝，∴半弦长为＝＝，∴最短弦的长为2. 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析：B　∵圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又（0，0）不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 2.直线x－3y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得弦长为（　　） A. B. C.4 D.3 解析：A　圆（x－1）2＋（y－3）2＝10的圆心坐标为（1，3），半径r＝，圆心到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝＝，故弦长为2＝，故选A. 3.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P（3，3）的切线方程为（　　） A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 解析：B　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C（1，2），kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2（x－3），即2x＋y－9＝0. 4.过点P（2，3）且与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线方程为　x＝2或y＝3　. 解析：∵P（2，3）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1外，∴过点P（2，3）与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2. 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝9的位置关系是（　　） A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 解析：D　圆心（1，－1）到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，因为0＜d＜r，所以相交但不过圆心. 2.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　　） A.（x－）2＋y2＝1 B.（x－3）2＋y2＝3 C.（x－）2＋y2＝3 D.（x－3）2＋y2＝9 解析：B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 3.（2026·大庆期中）在圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 解析：B　由x2＋y2－2x－2y－1＝0，得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，如图，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，图中AB⊥MO，｜MB｜＝，｜MO｜＝，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，所以｜AB｜＝2＝2＝2.故选B. 4.（2026·中山期中）已知直线l：kx－y－k＋3＝0，若无论k取何值，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（　　） A.[3，5] B.（3，＋∞） C.[4，6） D.[5，＋∞） 解析：D　由直线l：kx－y－k＋3＝0的方程得（x－1）k＋（3－y）＝0，由解得即直线l恒过定点A（1，3），∴当点A（1，3）在圆上或圆内时，直线l与圆（x－5）2＋（y－6）2＝r2（r＞0）恒有公共点，∴（1－5）2＋（3－6）2≤r2，即r2≥25，又r＞0，∴r≥5，即r的取值范围为[5，＋∞）.故选D. 5.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2（r＞0），点A（a，b），则下列说法正确的是（　　） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：ABD　圆心C（0，0）到直线l的距离d＝，若点A（a，b）在圆C上， 则a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），则直线l与圆C相切，故A正确；若点A（a，b）在圆C内， 则a2＋b2＜r2，所以d＝＞r（r＞0），则直线l与圆C相离，故B正确；若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜r（r＞0），则直线l与圆C相交， 故C错误；若点A（a，b）在直线l上， 则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝r（r＞0），直线l与圆C相切， 故D正确.故选A、B、D. 6.〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 解析：ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：（1）直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；（2）直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去）. 7.若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则r＝　2　. 解析：如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又｜OD｜＝＝1，∴r＝2｜OD｜＝2. 8.由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为　　. 解析：圆心C（3，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝. 9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为　－或－　. 解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线所在直线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或k＝－. 10.已知圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长. 解：（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，若直线l与圆C相切，则＝2，解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－（x－4），即x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2×＝2. 11.（2026·泉州期中）若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A.［，2］ B.［，4］ C.［－2，－］∪（，2］ D.［，＋∞） 解析：B　直线l：kx－y－2＝0恒过定点（0，－2），由方程＝x－1，两边平方得（x－1）2＋（y－1）2＝1（x≥1），所以曲线C表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆，包括点（1，2），（1，0），如图所示，当直线l经过点（1，2）时，l与曲线C有一个交点，此时k＝4；当l与半圆相切时，由＝1，解得k＝，由图可知，当≤k≤4时，l与曲线C至少有一个公共点，故选B. 12.〔多选〕已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x－6）2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（　　） A.｜AB｜的最小值为2 B.P到l的距离的最大值为2 C.·的最小值为12－2 D.｜PR｜的最大值为4＋3 解析：ABD　如图所示，当直线l与x轴垂直时，｜AB｜有最小值，且最小值为2，所以A正确.当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为｜PQ｜＝2，所以B正确.设R（6＋3cos θ，3sin θ），则·＝6cos θ－12sin θ＋24，所以·＝6cos（θ＋φ）＋24，其中tan φ＝－，所以·的最小值为24－6，所以C错误.当P，C，R三点共线时，｜PR｜最大，且最大值为｜PC｜＋r＝4＋3，所以D正确. 13.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　10　. 解析：圆的方程化为标准形式为（x－1）2＋（y－3）2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦｜AC｜＝2，最短弦BD恰以E（0，1）为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为（1，3）.故｜EF｜＝，∴｜BD｜＝2＝2，∴S四边形ABCD＝｜AC｜·｜BD｜＝10. 14.已知圆C：x2＋（y－1）2＝r2（r为半径），圆C被x轴截得的弦长为2，直线l：y＝x＋m（m∈R），O为坐标原点. （1）求圆的方程； （2）若m＝－2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长｜PQ｜最小时，点P的坐标； （3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数m的值. 解：（1）由题意可知，圆心C（0，1）在y轴上，OC⊥x轴， 设x轴与圆C交于A，B两点，｜OA｜＝，｜OC｜＝1， r＝｜AC｜＝＝， 所以圆C的方程为x2＋（y－1）2＝3. （2）当m＝－2时，直线l的方程为y＝x－2， 因为△PQC为直角三角形， 所以｜PQ｜2＝｜PC｜2－｜QC｜2＝｜PC｜2－3. 当｜PC｜最小时，切线长｜PQ｜最小， 显然当PC⊥l时，｜PC｜最小， 因为kPC＝－1，C（0，1），所以直线PC：y－1＝－1×（x－0），即y＝－x＋1. 由 解得 即P（，－）. （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可得x1≠0，x2≠0， 联立得2x2＋2（m－1）x＋m2－2m－2＝0. 所以Δ＝4（m－1）2－8（m2－2m－2）＞0.x1＋x2＝－（m－1），x1x2＝. 因为OM⊥ON，所以·＝x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋（x1＋m）（x2＋m）＝2x1x2＋m（x1＋x2）＋m2＝0. 即2×－m（m－1）＋m2＝0. 整理得m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 经检验满足Δ＞0，所以m＝－1或m＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $