课时达标检测(8) 圆的标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(八) 圆的标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(八) 圆的标准方程 　基础达标　 一、单项选择题 1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y＋2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析　因为圆心在y轴上，C项圆心为(1,3)不符合题意，排除C。又因为圆过点(1,2)，可排除A，D，只有B符合题意。故选B。 答案　B 答案与解析 2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 解析　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1。 答案　A 答案与解析 3．方程(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 解析　(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，所以方程(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0表示一条直线和一个圆。故选D。 答案　D 答案与解析 4．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 解析　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝eq \r(2－02＋－3－02)＝eq \r(13)。故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13。故选B。 答案　B 答案与解析 5．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析　根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B，D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确。 答案　C 答案与解析 6．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 解析　(x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方。因为点P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上，且点Q在圆C外，所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36。故选D。 答案　D 答案与解析 二、多项选择题 7．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的值可能是(　　) A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,13) C．－eq \f(1,13) D．－eq \f(1,2) 解析　过P可作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>eq \f(1,13)或m<－eq \f(1,13)，故选AD。 答案　AD 答案与解析 8．若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上存在到原点的距离为3的点，则实数a的值可以是(　　) A．1 B.eq \r(2) C．2 D．3 解析　由(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)，知圆心为(a，a)，半径为1，圆心到原点的距离为eq \r(2)a。若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上存在到原点的距离为3的点，则圆心到原点的距离eq \r(2)a∈[2,4]，即2≤eq \r(2)a≤4，解得eq \r(2)≤a≤2eq \r(2)。故选BC。 答案　BC 答案与解析 三、填空题 9．过点A(1,3)与点B(－2,5)且半径最小的圆的标准方程为___________________。 解析　由题意知，过点A(1,3)与点B(－2,5)且半径最小的圆是以AB为直径，AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))为圆心的圆，则r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)×eq \r(－2－12＋5－32)＝eq \f(\r(13),2)，故所求圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－4)2＝eq \f(13,4)。 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－4)2＝eq \f(13,4) 答案与解析 10．在平面直角坐标系中，已知点A(－4,2)是Rt△OAB的直角顶点，点O是坐标原点，点B在x轴上，则直线AB的方程是________；△OAB的外接圆的方程是________。 解析　因为点A(－4,2)是Rt△OAB的直角顶点，所以OA⊥AB。又kOA＝eq \f(2－0,－4－0)＝－eq \f(1,2)，所以kAB＝2，所以直线AB的方程为y－2＝2(x＋4)，即2x－y＋10＝0。易知B(－5,0)，△OAB的外接圆是以OB的中点为圆心，eq \f(1,2)|OB|为半径的圆。又OB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))，eq \f(1,2)|OB|＝eq \f(5,2)，所以所求外接圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)。 答案　2x－y＋10＝0　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4) 答案与解析 11．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且圆C过(0,2)，(－4,0)两点，则圆C的方程是______________。 解析　因为圆心在直线x＋y＝0上，所以可设圆心坐标为(a，－a)。又圆C过已知两点(0,2)，(－4,0)，所以(－a)2＋(2＋a)2＝(－4－a)2＋a2，解得a＝－3，所以半径为r＝eq \r(－32＋3－22)＝eq \r(10)，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10。 答案　(x＋3)2＋(y－3)2＝10 答案与解析 四、解答题 12．已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程。 解　要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，eq \a\vs4\al(|PB|)，|PC|的中间值。 因为|PA|＝eq \r(10)，eq \a\vs4\al(|PB|)＝eq \r(13)，|PC|＝5， 所以|PA|<|PB|<|PC|， 所以圆的半径r＝|PB|＝eq \r(13)。 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13。 13．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上。 (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程。 解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3。 又点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0。 (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y－6＝0，,3x＋y＋2＝0，))解得点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心， 又r＝|AM|＝eq \r(2－02＋0＋22)＝2eq \r(2)， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8。 素养升级　 14．方程|y|－1＝eq \r(3－x－22)所表示的曲线的长度是________。 解析　因为|y|－1＝eq \r(3－x－22)，所以|y|－1≥0，所以y≥1或y≤－1。将原式变形可得(x－2)2＋(|y|－1)2＝3，所以曲线为两个半圆，半径为eq \r(3)，所以曲线的长度为2π×eq \r(3)＝2eq \r(3)π。 答案　2eq \r(3)π 答案与解析 15．阿波罗尼斯(约公元前262—公元前190年)证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________。 解析　设经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1，0)。设P(x，y)，因为eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，所以eq \f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq \r(2)，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8。当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)。 答案　2eq \r(2) 答案与解析 16.如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成。已知隧道总宽度AD为6eq \r(3) m，行车道总宽度BC为2eq \r(11) m，侧墙高EA，FD为2 m，弧顶高MN为5 m。 (1)以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在圆的标准方程； (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 解　(1)由题意，有E(－3eq \r(3)，0)，F(3eq \r(3)，0)，M(0,3)。 因为所求圆的圆心在y轴上， 所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， 因为F(3eq \r(3)，0)，M(0,3)都在圆上， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3\r(3)2＋b2＝r2，,02＋3－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－3，,r2＝36。)) 所以圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36。 (2)设限制高度为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P， 则|CP|＝h＋0.5， 将点P的横坐标x＝eq \r(11)代入圆的方程， 得(eq \r(11))2＋(y＋3)2＝36， 解得y＝2或y＝－8(舍去)。 所以h＝|CP|－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)。 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m。 $$