课时达标检测(3) 直线方程的两点式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0 解析　因为B(3，－3)，C(0,2)，所以BC中点的坐标为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))。则BC边上的中线应过A(－5,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))两点，由两点式，得eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，整理得x＋13y＋5＝0。故选C。 答案　C 答案与解析 5．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第二、三、四象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析　因为直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第二、三、四象限，所以直线在两坐标轴上的截距都小于0，所以a<0，b<0。故选D。 答案　D 答案与解析 6．两条直线l1：eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1和l2：eq \f(x,b)－eq \f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 解析　两条直线化为截距式分别为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，eq \f(x,b)＋eq \f(y,－a)＝1。假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析　由题意设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1或eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，把点(2,1)代入直线方程得eq \f(2,a)＋eq \f(1,a)＝1或eq \f(2,a)＋eq \f(1,－a)＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0。 答案　AC 答案与解析 8．下列语句中不正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 C．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示 D．经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示 解析　A不正确，该方程无法表示直线x＝x0；C不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D不正确，该方程无法表示与x轴垂直的直线，B正确。 答案　ACD 答案与解析 三、填空题 9．已知点P(x,2)在过点M(－2,1)和N(3，－4)的直线上，则x的值是________。 解析　由题意得，过M，N两点的直线的方程为x＋y＋1＝0，又P(x,2)在此直线上，所以x＋2＋1＝0，所以x＝－3。 答案　－3 答案与解析 10．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是eq \a\vs4\al(_______________)。 解析　由题意知直线过点(2,0)和点(1,3)，由两点式可得，eq \f(y－0,3－0)＝eq \f(x－2,1－2)，整理得3x＋y－6＝0。 答案　3x＋y－6＝0 答案与解析 11．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________。 解析　设直线l的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，依题意，a>0，b>0，又因为点P(2,1)在直线l上，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，即2b＋a＝ab。又因为S△OAB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)ab，所以S△OAB＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)(2b＋a)≥eq \f(2\r(2ab),2)＝eq \r(2ab)，当且仅当2b＝a时等号成立，所以eq \f(1,2)ab≥eq \r(2ab)，解这个不等式，得ab≥8。从而S△OAB＝eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当2b＝a时，S△OAB取最小值4。 答案　4 答案与解析 四、解答题 12．已知直线l过点P(4,1)， (1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程。 解　(1)因为直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)，所以直线l的方程为eq \f(y－1,6－1)＝eq \f(x－4,－1－4)，即x＋y－5＝0。 (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4)。 令x＝0，得y＝1－4k； 令y＝0，得x＝4－eq \f(1,k)。 所以1－4k＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)))， 解得k＝eq \f(1,4)或k＝－2。 所以直线l的方程为y－1＝eq \f(1,4)(x－4)或y－1＝－2(x－4)，即y＝eq \f(1,4)x或2x＋y－9＝0。 13．已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)。 (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积。 解　(1)由已知得直线l的两点式方程为eq \f(y－6,－8－6)＝eq \f(x－1,8－1)， 所以eq \f(y－6,－14)＝eq \f(x－1,7)，即eq \f(y－6,－2)＝x－1， 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8。 所以eq \f(x,4)＋eq \f(y,8)＝1。 故所求截距式方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,8)＝1。 (2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8，故S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×4×8＝16。 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16。 　素养升级　 14．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　) A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值 C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值 解析　线段AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1(0≤x≤3)，于是y＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,3)))(0≤x≤3)，从而xy＝4xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,3)))＝－eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋3，显然当x＝eq \f(3,2)∈[0,3]时，xy取最大值3；当x＝0或x＝3时，xy取最小值0。 答案　D 答案与解析 15．若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，因为直线经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，eq \a\vs4\al(\f(1,2)|ab|)＝2，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2\r(2)－2，,b＝2\r(2)－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)－2，,b＝－2\r(2)－2。))所以满足条件的直线有3条。故选C。 答案　C 答案与解析 16．直线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6。 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 解　设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12　①。 又因为直线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))， 所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1　②。 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，)) 所以所求直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(5x,12)＋eq \f(2y,9)＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0。 若满足条件(2)，则ab＝12　③， 由②③整理得a2－6a＋8＝0，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6，))所以所求直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0。 综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0。 $$