第3章 §4 4.1 直线的方向向量与平面的法向量(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 空间向量与立体几何 　 §4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 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4.1　直线的方向向量与平面的法向量 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　如图所示,铜钱能够在线上移动,说明一个平面的垂线不能确定一个平面, 那么这条直线的方向向量也不能确定一个平面。一个平面垂线的方向向量再添加什么条件可以确定一个平面? 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 1．直线的方向向量与直线的向量表示 (1)点的位置向量。 在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量eq \o(OP,\s\up16(→))来表示，向量eq \o(OP,\s\up16(→))就是点P的_______________。 位置向量 (2)直线的方向向量。 如图所示，设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称_______________为直线l的方向向量。与eq \o(AB,\s\up16(→))平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量。 eq \o(AB,\s\up16(→)) (3)直线的向量表示。 如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量。那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得eq \o(MP,\s\up16(→))＝ta。反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此称eq \o(MP,\s\up16(→))＝ta为直线l的向量表示。 2．平面的法向量 (1)平面的法向量。 空间中给定一点和一条直线，可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面。因此，如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α。 (2)平面的向量表示。 如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有eq \o(MP,\s\up16(→))·n＝0。反之，满足上式的点P都在平面α内，因此称eq \o(MP,\s\up16(→))·n＝0为平面α的一个向量表示式。 如图所示，在空间直角坐标系中，设平面α的法向量n＝(A，B，C)，点M(x0，y0，z0)在平面α内，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有eq \o(MP,\s\up16(→))＝(x－x0，y－y0，z－z0)。 由eq \o(MP,\s\up16(→))·n＝0得A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0。 此即平面α的方程。 微思考 1．线段AB的中点M怎样用向量表示？ 2．平面的法向量有何作用？是否唯一？ 提示：线段AB的中点M的向量表达式为eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))。 提示：平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系。平面的法向量不唯一，它们都是共线的。 类型一 空间中点的向量表示 【例1】　已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以eq \o(AB,\s\up16(→))的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： ①AP∶PB＝1∶2； ②AQ∶QB＝2∶1。 求点P和点Q的坐标。 解　由已知，得eq \o(PB,\s\up16(→))＝2eq \o(AP,\s\up16(→))，即eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OP,\s\up16(→))＝2(eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))。设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝eq \f(2,3)(2,4,0)＋eq \f(1,3)(1,3,3)，即x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(8,3)＋eq \f(3,3)＝eq \f(11,3)，z＝0＋1＝1。因此P点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1))。 因为AQ∶QB＝2∶1，所以eq \o(AQ,\s\up16(→))＝－2eq \o(QB,\s\up16(→))，eq \o(OQ,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝－2(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OQ,\s\up16(→)))，eq \o(OQ,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))。设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1，3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6。因此Q点的坐标是(0,2,6)。 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标。 【变式训练】　已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\o(AC,\s\up16(→))|,|\o(AB,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，－3，2)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2))) 解析　设C(x，y，z)，因为C为线段AB上一点且eq \f(|\o(AC,\s\up16(→))|,|\o(AB,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,3)，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))，即(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(－2，－6，－2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3)，))所以x＝eq \f(10,3)，y＝－1，z＝eq \f(7,3)。因此点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))。故选C。 答案　C 答案与解析 类型二 求直线的方向向量 【例2】　在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AP,\s\up16(→))＝c，以{a，b，c}为空间的一组基，求直线AE的一个方向向量。 解　如图所示，eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(3,4)(eq \o(AP,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(3,4)(eq \o(AP,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(3,4)c。 故直线AE的一个方向向量是eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(3,4)c。 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算。 【变式训练】　若点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，\f(7,2)))在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，\f(2,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)，\f(1,3))) 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，\f(7,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))＝(1,2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，1))＝eq \f(1,3)(1,2,3)＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))，又因为与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量。故选A。 答案　A 答案与解析 类型三 求平面的法向量 【例3】　如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，求平面SCD与平面SBA的法向量。 解　因为AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，所以以A为原点，分别以eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AS,\s\up16(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)， eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一个法向量。 设平面SCD的一个法向量n＝(1，λ，μ)， 则解得所以n=1,-,。 综上，平面SCD的一个法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2)))，平面SBA的一个法向量为eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))。 待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)。 (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))。 (3)列方程组：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up16(→))＝0))列出方程组。 (4)解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up16(→))＝0。)) (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)。 (6)得结论：得到平面的一个法向量。 【变式训练】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：eq \o(DB1,\s\up16(→))是平面ACD1的一个法向量。 证明　设正方体的棱长为1，以D为原点，分别以eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(DD1,\s\up16(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则eq \o(DB1,\s\up16(→))＝(1,1,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq \o(AD1,\s\up16(→))＝(－1,0,1)。于是有eq \o(DB1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0。所以eq \o(DB1,\s\up16(→))⊥eq \o(AC,\s\up16(→))，即DB1⊥AC。 同理，DB1⊥AD1，又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，从而eq \o(DB1,\s\up16(→))是平面ACD1的一个法向量。 1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．a＝(1,2,3) B．b＝(1,3,2) C．c＝(2,1,3) D．d＝(3,2,1) 解析　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2,4,6)，所以与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量。故选A。 答案　A 答案与解析 2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) 解析　由eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，结合选项，验证知选项D符合题意。 答案　D 答案与解析 3．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，则m＝________。 解析　因为直线l∥α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))＝2＋eq \f(m,2)＋2＝0，解得m＝－8。 答案　－8 答案与解析 4．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)。若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为________，________。 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)。由c为平面α的法向量，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c·a＝0，,c·b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝2。)) 答案　－1　2 答案与解析 5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：eq \o(OB1,\s\up16(→))是平面PAC的法向量。 证明　建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)， 于是eq \o(OB1,\s\up16(→))＝(1,1,2)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－2,2,0)，eq \o(AP,\s\up16(→))＝(－2,0,1)， 所以eq \o(OB1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝－2＋2＝0，eq \o(OB1,\s\up16(→))·eq \o(AP,\s\up16(→))＝－2＋2＝0。 所以eq \o(OB1,\s\up16(→))⊥eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(OB1,\s\up16(→))⊥eq \o(AP,\s\up16(→))，即OB1⊥AC，OB1⊥AP。 因为AC∩AP＝A， 所以OB1⊥平面PAC，即eq \o(OB1,\s\up16(→))是平面PAC的法向量。 $$