第3章 §3 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 空间向量与立体几何 　 §3　空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 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自主预习·明新知 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。 1.若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 2.巨石受到的合力有多大? 1.掌握空间向量线性运算的坐标表示。 2.掌握空间向量数量积的坐标表示。 1．空间向量运算的坐标表示 (1)空间向量的坐标表示。 在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作_______________。 标准正交基 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk。 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应。这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)。单位向量i，j，k都叫作坐标向量。 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝_______________________。即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的_______________的坐标减去_______________的坐标。 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 起点 终点 x1x2＋y1y2＋z1z2 (2)空间向量运算的坐标表示。 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， ①a＋b＝______________________________； ②a－b＝______________________________； ③λa＝___________________，λ∈R； ④a·b＝____________________。 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) 2．空间向量平行(共线)和垂直的条件 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)。 (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2，,z1＝λz2。))当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔_______________。 (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0。 eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2) 3．空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)|a|＝eq \r(a·a)＝_______________。若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12)。 (2)cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝____________________________(a≠0，b≠0)。 eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1)) eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))) 微思考 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立吗？ 2．当0<cos〈a，b〉<1，及－1<cos〈a，b〉<0时，夹角的范围是？ 提示：不一定，当b1，b2，b3存在取0值时不成立。 提示：当0<cos〈a，b〉<1时，0<〈a，b〉<eq \f(π,2)，为锐角。 当－1<cos〈a，b〉<0时，eq \f(π,2)<〈a，b〉<π，为钝角。 类型一 空间向量的坐标运算 【例1】　(1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)。 解　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8。 (2)已知△ABC中，A(2，－5,3)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4,1,2)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(3，－2,5)，求顶点B，C的坐标及eq \o(CA,\s\up16(→))。 解　设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x－2，y＋5，z－3)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(x1－x，y1－y，z1－z)。因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4,1,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＝4，,y＋5＝1,z－3＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－4，,z＝5，)) 所以B的坐标为(6，－4,5)。 因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝(3，－2,5)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1－6＝3，,y1＋4＝－2，,z1－5＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝9，,y1＝－6，,z1＝10，)) 所以C的坐标为(9，－6,10)， eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－7,1，－7)。 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标。 【变式训练】　(1)已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，则a－b＋2c＝________。 解析　a－b＋2c＝(1,0，－1)－(1，－2,2)＋2(－2,3，－1)＝(－4,8，－5)。 答案　(－4,8，－5) 答案与解析 (2)已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________。 解析　因为p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1。 答案　－1 答案与解析 类型二 用向量运算解决平行与垂直 【例2】　已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)。 (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)已知向量a＝(2,0,1)，b＝(－1,2,0)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值。 解　(1)由a∥b得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k2m－1，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3，)) 所以λ＝eq \f(1,5)，m＝3。 (2)ka＋b＝k(2,0,1)＋(－1,2,0)＝(2k－1,2，k)， 2a－b＝2(2,0,1)－(－1,2,0)＝(5，－2,2)， 所以5(2k－1)－4＋2k＝0，解得k＝eq \f(3,4)。 向量平行与垂直问题主要有两种题型 (1)平行与垂直的判断。 (2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用。 解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的。 【变式训练】　设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则a＋b＝________。 解析　因为b∥c，所以2y＝－4，所以y＝－2，所以b＝(1，－2,1)，因为a⊥b，所以a·b＝x－2＋1＝0，所以x＝1，所以a＝(1,1,1)，所以a＋b＝(2，－1,2)。 答案　(2，－1,2) 类型三 立体图形中的角与距离 【例3】　已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点。建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求三棱柱的侧棱长； (2)M为BC1的中点，试用基向量eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))表示向量eq \o(AM,\s\up16(→))； (3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值。 解　(1)设侧棱长为b(b>0)，则A(0，－1,0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0,0)，C1(0,1，b)， 所以eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(－eq \r(3)，1，b)。 因为AB1⊥BC1， 所以eq \o(AB1,\s\up16(→))·eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2)。 (2)因为M为BC1的中点， 所以eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC1,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))。 (3)由(1)知eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－eq \r(3)，1,0)， 因为|eq \o(AB1,\s\up16(→))|＝eq \r(\r(3)2＋12＋\r(2)2)＝eq \r(6)， |eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \r(－\r(3)2＋12＋02)＝2， eq \o(AB1,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1,0) ＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2， 所以|cos〈eq \o(AB1,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉|＝eq \f(|\o(AB1,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→))|,|\o(AB1,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(|－2|,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6)。 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),6)。 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离问题的步骤 (1)根据几何图形的特点建立恰当的空间直角坐标系。 (2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标。 (3)利用空间向量的夹角公式和模的公式求解。 【变式训练】　如图，在长方体OABC­O1A1B1C1中，|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝2，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(AA1,\s\up16(→))|＝2，E为BC的中点。 (1)求eq \o(AO1,\s\up16(→))与eq \o(B1E,\s\up16(→))所成角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长。 解　建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)由已知得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)， 所以eq \o(AO1,\s\up16(→))＝(－2,0,2)，eq \o(B1E,\s\up16(→))＝(－1,0，－2)， 所以cos〈eq \o(AO1,\s\up16(→))，eq \o(B1E,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AO1,\s\up16(→))·\o(B1E,\s\up16(→)),|\o(AO1,\s\up16(→))||\o(B1E,\s\up16(→))|)＝eq \f(－2,2\r(10))＝－eq \f(\r(10),10)。 (2)因为eq \o(O1D,\s\up16(→))⊥eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→))，而C(0,3,0)，设D(x，y,0)， 则eq \o(O1D,\s\up16(→))＝(x，y，－2)，eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x－2，y,0)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－2,3,0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)。)) 所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))， 所以|O1D|＝|eq \o(O1D,\s\up16(→))|＝eq \f(2\r(286),13)。 1．(多选)下列各组空间向量中，平行的是(　　) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．a＝(1,0,0)，b＝(－5,0,0) C．a＝(4,0，－2)，b＝(0,0,0) D．a＝(2,5，－3)，b＝(－8，－20，－12) 解析　选项A中，b＝－2a，所以两向量平行，同理B，C的两个向量也平行，D中两个向量不平行。 答案　ABC 答案与解析 2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(2,0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于(　　) A．1 B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5) 解析　由已知得|a|＝eq \r(2)，|b|＝2eq \r(2)，a·b＝0，所以由(ka＋b)·(a＋kb)＝2可得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝eq \f(1,5)。 答案　D 答案与解析 3．已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，则cos〈a，b〉＝________。 解析　由已知得a＝(1，eq \r(2)，eq \r(3))，b＝(1,0，eq \r(3))，所以cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1＋0＋3,\r(6)×\r(4))＝eq \f(\r(6),3)。 答案　eq \f(\r(6),3) 答案与解析 4．已知a＝(－2,0,1)，b＝(1,0,2)，若a⊥(ka＋b)，则k＝________。 解析　由a⊥(ka＋b)，知a·(ka＋b)＝(－2,0,1)· (－2k＋1,0，k＋2)＝－2(－2k＋1)＋(k＋2)＝0，解得k＝0。 答案　0 答案与解析 5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq \o(B1P,\s\up16(→))＝eq \o(PD1,\s\up16(→))，若PQ⊥AE，eq \o(BD,\s\up16(→))＝λeq \o(DQ,\s\up16(→))，求λ的值。 解　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)， B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3eq \o(B1P,\s\up16(→))＝eq \o(PD1,\s\up16(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq \f(3,4)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，1))。由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以eq \o(PQ,\s\up16(→))·eq \o(AE,\s\up16(→))＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))＝0，即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝0，解得b＝eq \f(1,4)，所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))。 因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝λeq \o(DQ,\s\up16(→))，所以(－1，－1,0)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，所以eq \f(λ,4)＝－1，故λ＝－4。 $$