第3章 §3 3.1 空间向量基本定理(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 空间向量与立体几何 　 §3　空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 3.1　空间向量基本定理 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 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第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.1　空间向量基本定理 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙 角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量,这三个空间向量是不共面的。 这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢? 1.了解空间向量基本定理及其意义。 2.掌握空间向量的正交分解。 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个_______________的向量，p是空间任意一个向量，那么存在_______________的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc。 2．空间的一组基 如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作基向量。 不共面 唯一 微思考 1．零向量能不能作为一个基向量？为什么？ 2．在四棱锥O­ABCD中，eq \o(OA,\s\up16(→))可表示为xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))＋zeq \o(OD,\s\up16(→))且唯一，这种说法对吗？ 提示：不能。因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面。 提示：由空间向量基本定理知这种说法是正确的。 类型一 用基表示空间向量 【例1】　如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq \o(AA′,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，eq \o(AC,\s\up16(→))＝c，M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基{a，b，c}表示向量eq \o(AM,\s\up16(→))，eq \o(AN,\s\up16(→))。 解　连接A′N(图略)。 eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC′,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC′,\s\up16(→))) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CC′,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2) eq \o(AA′,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA′,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)。 eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(A′N,\s\up16(→)) ＝eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(A′C′,\s\up16(→))) ＝eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))) ＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c。 (1)空间中，任一向量都可以用一组基表示，且只要基确定，则表示形式是唯一的。 (2)用基表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示。 (3)在空间几何体中选择基时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为一组基，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为一组基。 【变式训练】　如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OC,\s\up16(→))＝b，eq \o(OP,\s\up16(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用基{a，b，c}表示向量eq \o(BF,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(EF,\s\up16(→))。 解　连接BO，则eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c。 eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝－a＋eq \f(1,2) eq \o(CP,\s\up16(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \o(CO,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c。 eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PE,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c。 由题意得EF綊eq \f(1,2)CB， 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a。 类型二 证明空间位置关系 【例2】　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点。求证： (1)AD1⊥G1G； (2)AD1∥EF。 证明　设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0。 (1)因为eq \o(AD1,\s\up16(→))＝b＋c，eq \o(G1G,\s\up16(→))＝eq \o(G1A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DG,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a－c＋b＋eq \f(1,2)a＝b－c， 所以eq \o(AD1,\s\up16(→))·eq \o(G1G,\s\up16(→))＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0， 所以eq \o(AD1,\s\up16(→))⊥eq \o(G1G,\s\up16(→))，所以AD1⊥G1G。 (2)因为eq \o(AD1,\s\up16(→))＝b＋c，eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(CF,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AD1,\s\up16(→))，所以AD1∥EF。 【互动探究】　在本例条件下，求证：A1G⊥DF。 证明　因为eq \o(A1G,\s\up16(→))＝eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DG,\s\up16(→))＝－c＋b＋eq \f(1,2)a，eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝a－eq \f(1,2)b，所以eq \o(A1G,\s\up16(→))·eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c＋b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)b2＝0。 所以eq \o(A1G,\s\up16(→))⊥eq \o(DF,\s\up16(→))。 所以A1G⊥DF。 (1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可。 (2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的非零向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可。 【变式训练】　在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，求证：OA⊥BC。 证明　如图所示，因为eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OC,\s\up16(→))|·cos∠AOC－|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|·cos∠AOB＝0， 所以eq \o(OA,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，所以OA⊥BC。 类型三 求夹角与模长 【例3】　如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，试采用向量法解决下列问题。 (1)求eq \o(EF,\s\up16(→))的模长； (2)求eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(GH,\s\up16(→))的夹角。 解　(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c， 所以eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(b－a)， eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)c。 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→)) ＝－eq \f(1,2)(b－a)－a＋eq \f(1,2)c ＝eq \f(1,2)(c－a－b)， 所以|eq \o(EF,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,4)(c－a－b)2 ＝eq \f(1,4)(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c) ＝eq \f(1,4)(1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°) ＝eq \f(1,2)，故|eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(2),2)。 (2)在正四面体ABCD中，eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(c－a－b)，|eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(2),2)。 同理，eq \o(GH,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(b＋c－a)，|eq \o(GH,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(2),2)。 所以cos〈eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(GH,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(EF,\s\up16(→))·\o(GH,\s\up16(→)),|\o(EF,\s\up16(→))||\o(GH,\s\up16(→))|) ＝eq \f(\f(1,2)c－a－b·\f(1,2)b＋c－a,\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)) ＝eq \f(1,2)[(c－a)2－b2] ＝eq \f(1,2)(c2＋a2－2c·a－b2) ＝eq \f(1,2)(1＋1－2×1×1×cos 60°－1) ＝0，所以eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(GH,\s\up16(→))的夹角为90°。 求空间向量的夹角及模长问题，首先选好一组基，用基表示相应向量，利用夹角公式及模长公式计算。 【变式训练】　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,3)CD。 (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值。 解　(1)证明：设eq \o(DA,\s\up16(→))＝i，eq \o(DC,\s\up16(→))＝j，eq \o(DD1,\s\up16(→))＝k， 则{i，j，k}构成空间的一组基。 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(ED,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)k＋eq \f(1,2)(eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)j－eq \f(1,2)k，eq \o(B1C,\s\up16(→))＝eq \o(B1B,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝－i－k， 所以eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(B1C,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))·(－i－k)＝－eq \f(1,2)|i|2＋eq \f(1,2)|k|2＝0， 所以EF⊥B1C。 (2)eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)j－eq \f(1,2)k，eq \o(C1G,\s\up16(→))＝eq \o(C1C,\s\up16(→))＋eq \o(CG,\s\up16(→))＝－k－eq \f(1,3)j， |eq \o(EF,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))2＝eq \f(1,4)|i|2＋eq \f(1,4)|j|2＋eq \f(1,4)|k|2＝3， |eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \r(3)，|eq \o(C1G,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j))2＝|k|2＋eq \f(1,9)|j|2＝4＋eq \f(4,9)＝eq \f(40,9)，|eq \o(C1G,\s\up16(→))|＝eq \f(2\r(10),3)， 所以cos〈eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(C1G,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(EF,\s\up16(→))·\o(C1G,\s\up16(→)),|\o(EF,\s\up16(→))||\o(C1G,\s\up16(→))| ) ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j)),\r(3)×\f(2\r(10),3))＝eq \f(\f(4,3),\f(2\r(30),3))＝eq \f(\r(30),15)。 1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，若eq \o(AB,\s\up16(→))＝3i，eq \o(AD,\s\up16(→))＝2j，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝5k，则eq \o(AC1,\s\up16(→))＝(　　) A．i＋j＋k B．eq \f(1,3)i＋eq \f(1,2)j＋eq \f(1,5)k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 解析　eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＝3i＋2j＋5k。 答案　C 答案与解析 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F是侧面CC1D1D的中心，且eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋meq \o(AB,\s\up16(→))－neq \o(AA1,\s\up16(→))，则m，n的值分别为(　　) A．eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2)，eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)，eq \f(1,2) 解析　因为eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝－eq \f(1,2)。 答案　A 答案与解析 3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则|MN|＝________。 解析　eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(BN,\s\up16(→))－eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))，|MN|2＝eq \f(1,4)(|eq \o(BB1,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BA,\s\up16(→))|2)＝eq \f(3,4)a2，所以|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(3),2)a，即|MN|＝eq \f(\r(3),2)a。 答案　eq \f(\r(3),2)a 答案与解析 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为________。 解析　设正方体棱长为1，eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))，|eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝eq \r(3)，cos〈eq \o(AC1,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AC1,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(AC1,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)。即直线AC1与BC的夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3)。 答案　eq \f(\r(3),3) 答案与解析 5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1。 (1)求〈eq \o(CE,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))〉的余弦值； (2)求证：eq \o(BD1,\s\up16(→))⊥eq \o(EF,\s\up16(→))。 解　(1)eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))， eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1E,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))。 因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＝0，eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＝0， 所以eq \o(CE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up16(→))))＝eq \f(1,2)。 又|eq \o(AF,\s\up16(→))|＝|eq \o(CE,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(5),2)， 所以cos〈eq \o(CE,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(CE,\s\up16(→))·\o(AF,\s\up16(→)),|\o(CE,\s\up16(→))||\o(AF,\s\up16(→))|)＝eq \f(2,5)。 (2)证明：eq \o(BD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))， eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(ED1,\s\up16(→))＋eq \o(D1F,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))， 所以eq \o(BD1,\s\up16(→))·eq \o(EF,\s\up16(→))＝(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AA1,\s\up16(→))))＝－eq \f(1,2)(－eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AA1,\s\up16(→))2)＝0，所以eq \o(BD1,\s\up16(→))⊥eq \o(EF,\s\up16(→))。 $$