第3章 §2 第2课时 空间向量的数量积(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 空间向量与立体几何 　 §2　空间向量与向量运算 第2课时　空间向量的数量积 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 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第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　空间向量的数量积 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(2)空间向量数量积的性质。 ①cos〈a，b〉＝_______________(a≠0，b≠0)； ②|a|＝_______________； ③a⊥b⇔_______________。 (3)空间向量的数量积运算满足的运算律。 ①交换律：a·b＝_______________。 ②分配律：a·(b＋c)＝_______________。 ③(λa)·b＝_______________(λ∈R)。 eq \f(a·b,|a||b|) eq \r(a·a) a·b＝0 3．投影向量与投影数量 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量eq \o(OB1,\s\up16(→))为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于_______________。 当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉_______________0； 当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉_______________0； ||b|cos〈a，b〉| > < 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，|b|cos〈a，b〉＝0。 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即a0＝________))，则向量b在向量a方向上的投影向量为eq \o(OB1,\s\up16(→))＝|b|cos〈a，b〉a0。 因此，称|b|cos〈a，b〉为投影向量eq \o(OB1,\s\up16(→))的_______________，简称为向量b在向量a方向上的投影数量。 结合空间向量数量积的定义可知：向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos〈a， b〉＝_______________＝a0·b。 eq \f(a,|a|) 数量 eq \f(a·b,|a|) 微提醒 向量的夹角与直线夹角范围的区别：两向量夹角的范围为[0，π]，两直线夹角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))。 空间向量数量积不满足结合律。 微思考 1．〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？ 2．由a·b＝a·c能得到b＝c吗？ 提示：〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；〈－a，－b〉＝〈a，b〉。 提示：不能。 类型一 空间向量的数量积运算 【例1】　已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示。求： (1)eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))； (2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·(eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→)))。 解　在正四面体OABC中，|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝1。 〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))〉＝〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))〉＝〈eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))〉＝60°。 (1)eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2)。 (2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·(eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→)))＝(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))) ＝(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))－2eq \o(OC,\s\up16(→)))＝eq \o(OA,\s\up16(→))2＋2eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))－2eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))2－2eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1。 求空间向量数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解。 【变式训练】　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1。 答案　A 答案与解析 (2)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \o(AO1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　eq \o(AO1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1O1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，则eq \o(AO1,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|2)＝1。故选C。 答案　C 答案与解析 类型二 利用空间向量数量积求夹角 【例2】　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5， ∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值。 解　因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))， 所以eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉－|eq \o(OA,\s\up16(→))||eq \o(AB,\s\up16(→))|cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－16eq \r(2)＋24。 所以cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(OA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(OA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)， 即OA与BC所成角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5)。 利用向量的数量积，求异面直线所成角的方法 (1)根据题设条件在所求的异面直线上分别取两个向量。 (2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题。 (3)利用向量的数量积求角的大小。 【变式训练】　已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　因为∠ACD＝∠BDC＝90°，所以eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(DB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DB,\s\up16(→)))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＋|eq \o(CD,\s\up16(→))|2＋eq \o(DB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝|eq \o(CD,\s\up16(→))|2＝1，所以cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(CD,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))||\o(CD,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,2)，所以AB与CD所成的角为60°。 答案　C 答案与解析 类型三 垂直问题 【例3】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。 证明　设eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝a，eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝b，eq \o(A1A,\s\up16(→))＝c，则a·b＝0， b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|。 因为eq \o(A1O,\s\up16(→))＝eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AO,\s\up16(→)) ＝eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))) ＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b， eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝b－a， eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(CG,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c。 所以eq \o(A1O,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a＝eq \f(1,2)(b2－a2)＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0。 所以eq \o(A1O,\s\up16(→))⊥eq \o(BD,\s\up16(→))，即A1O⊥BD。 同理可证eq \o(A1O,\s\up16(→))⊥eq \o(OG,\s\up16(→))，即A1O⊥OG。 又BD∩OG＝O， 所以A1O⊥平面GBD。 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直。 (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直应先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0。 【变式训练】　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。 证明　 因为AB⊥CD，AC⊥BD， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝0。 所以eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))·(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→))) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝0。 所以eq \o(AD,\s\up16(→))⊥eq \o(BC,\s\up16(→))，从而AD⊥BC。 类型四 距离问题 【例4】　在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝eq \f(1,2)ND，求MN。 解　因为eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CN,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,3)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))。 所以eq \o(MN,\s\up16(→))·eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))＝eq \f(1,9) eq \o(AB,\s\up16(→))2－eq \f(2,9) eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(4,9) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(4,9) eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,9) eq \o(AD,\s\up16(→))2＋eq \f(4,9) eq \o(AC,\s\up16(→))2＝eq \f(1,9)a2－eq \f(1,9)a2－eq \f(2,9)a2＋eq \f(2,9)a2＋eq \f(1,9)a2＋eq \f(4,9)a2＝eq \f(5,9)a2。 故|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝＝eq \f(\r(5),3)a。即|MN|＝eq \f(\r(5),3)a。 求两点间的距离或线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝eq \r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离。 【变式训练】　如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长。 解　因为eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))， 所以|eq \o(PC,\s\up16(→))|2＝(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))2 ＝|eq \o(PA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋|eq \o(DC,\s\up16(→))|2＋2eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋2eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＋2eq \o(DC,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→)) ＝62＋42＋32＋2|eq \o(AD,\s\up16(→))||eq \o(DC,\s\up16(→))|cos 120°＝61－12＝49。 所以|eq \o(PC,\s\up16(→))|＝7，即|PC|＝7。 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(C1A1,\s\up16(→)) C．eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(A1D1,\s\up16(→)) D．eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(B1A1,\s\up16(→)) 解析　四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°。故选A。 答案　A 答案与解析 2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A．0 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,4) D．eq \f(1,4) 解析　eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))·eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,4)。 答案　D 答案与解析 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．平行 C．垂直 D．无法确定 解析　设正方体的棱长为1，eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1E,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))，于是eq \o(AC1,\s\up16(→))·eq \o(CE,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))))＝0－eq \f(1,2)－0＋0－0－eq \f(1,2)＋1－0－0＝0，故eq \o(AC1,\s\up16(→))⊥eq \o(CE,\s\up16(→))，即AC1与CE垂直。 答案　C 答案与解析 4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　) A．0 B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(\r(15),5) 解析　根据题意可得，eq \o(A1E,\s\up16(→))·eq \o(GF,\s\up16(→))＝(eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DE,\s\up16(→)))·(eq \o(GC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AA1,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AA1,\s\up16(→))－\o(AD,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(DC,\s\up16(→))))＝eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))2－eq \o(AD,\s\up16(→))2－eq \f(1,4) eq \o(DC,\s\up16(→))2＝eq \f(1,2)×4－1－eq \f(1,4)×4＝0，从而得到eq \o(A1E,\s\up16(→))和eq \o(GF,\s\up16(→))垂直，所以直线AE1与GF所成角的余弦值为0。故选A。 答案　A 答案与解析 5.如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，求证：CC1⊥BD。 证明　设eq \o(CB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，eq \o(CC1,\s\up16(→))＝c， 则|a|＝|b|。 因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝b－a， 所以eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(CC1,\s\up16(→))＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0。 所以eq \o(CC1,\s\up16(→))⊥eq \o(BD,\s\up16(→))，即CC1⊥BD。 $$